《特殊平行四邊形》提高練習2(有答案)

1、?特殊平行四邊形?提高練習 21. 將一長方形紙片按照圖示的方式進行折疊：翻折紙片，使A與DC邊的中點M重合，折痕為EF;翻折紙片，使 C落在ME上，點C的對應點為H,折痕為MG翻折紙片，使 B落在ME上，點E 的對應點恰與H重合，折痕為GE根據(jù)上述過程，長方形紙片的長寬之比=.【解苔】解：由題意，導厶 aefamef, acmahwi;, abegaheg*/- MG2+GE2=EM2CM=HMJ CG=HG=G BE=HE ?連結E# F， ZEAE =120 ， Z 1 = Z3 f 盤E，=AE - DE =BE - ZA)Ey =ZB=60，A Z2+Z3=60，/- EAF=ZEZ

2、 昉在AAEF和2UE# F中(AEAEfEAF- ZEfAF AF-AF/ AAEFSS AAEz F CSAS)/EF=E? F叮ADEZ +ZADC=120* ，即虐F、D、寸不共線，DE，+DFEFABE+DFHFI(2 )當 A0=D - ZB4-ZD=13Qft , ZEF=|-BAD 時，EF=BE 十DF 感立-理由如T：如園(5)-VAB=AD-ffiAABE繞點A逆時軒fit轉GU)的J?數(shù)至盤DE ，如圖，* ZEAE? = ZB AD- l = Z3, AE -二AE，DE?二BE，厶 Di =B-J ZB+ZD 180 +6 ，二虐F、D、E共城J ZEAF=-BAD

3、.2A Z 1+22=lBADi2 2+3=丄 NBAD，J二 EAF 亠丘F，在AMF和AAE，F(xiàn)中1AE=AEIEAf-EfAF iAF=AF.AkFAAEr F SAS：)， .EF=E? F - / EF=UE +DF=BH+DF ； 歸納；在四邊f(xié)fMBCP中I點分別在E匚、CD上，當配二AD，ZB+ZD8D - ZEAF-iBAD時，EF = BE+DF -4. ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點(點 D不與B, C重合) ADF是以AD為邊的 等邊三角形，過點 F作BC的平行線交射線 AC于點E,連接BF.AA(1) 如圖 1,求證： AFBA ADC(2) 請判斷圖1中

4、四邊形BCEF的形狀，并說明理由;(3)假設D點在BC邊的延長線上，如圖 2,其它條件不變，請問(2)中結論還成立嗎？如果成立, 請說明理由.(2 )由 FAD-BAC-601 *只 ZFAB=FAD-ZSAD，ZDAC=ZBAC-ZBAIj ,-ZFAB=DAC-AflJEQAADCa ,tAF-ADJ RAF-CAD ETC/. AAFHAADC iSAS);器 ZAEF=2ADC.Sv ZADC4ZDAC=fin ZEAF+ZDAC=F1C4 “上丄IDO亠EAR -AFU-EAF J聶BFMREX BC f EF *:四邊JBCEFt平行四邊形*5定義：有一組對角相等而另一組對角不相等

5、的凸四邊形叫做“等對角四邊形.(1)：如圖1,四邊形ABCD是“等對角四邊形，厶，-S(r 求上c ,的度數(shù).(3)解：分兩種情況：ADC=ZAEC=9OC時，延農(nóng)AD相交于點E 如圈3所示:V ZABC=9Cct ZDAB=60i*，AB=5 - - ZE=30& ,- AE=2AE=I0i-DE=AE-AD=10-4-6-/ NEDmO。，ZE=3DC gwAC=jjZ?2+CD2=j42+(2A|J)2=2?當 ZBCD=zlDAB-6O4 時，過點D作皿丄AB于點恥Dil丄BC于點Jb如酗所示:P?(ZAND=30o四邊形BNDM是矩形*V DAB；=0O A ZAD=3Cft，d-B

6、W=AB-AM=5-2=3J：四邊f(xié)fENDM是逅Hb -DN=EM=3 ? BN=Dffl=2j3?v BCDSO*，綜上所述：肚的忻為27或2匝6如圖，在矩形 ABCD，點E在邊CD上將該矩形沿 AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG/ CD交AE于點G連接DG門(1) 求證：四邊形DEFG菱形；DE(2) 假設 CD=8, CF=4,求 CE 的值.CfiS ( 1 )證明,由折蠢的性嘖可知：DG=FG，ED二EF，Z1=Z2,TFG/CD Z2=Z3 +咒FG二FE，-DG-GFEF-DE-四邊形DEFG為菱形IC2)解：設DE=s *根據(jù)祈疊的性質，EF=DE-k E

7、C=B-x 在Rt AEFC 中 FCz+EC(1) 如圖1,當點E、F在線段AD上時，求證：/ DAG/ DCG猜測 AG與 BE的位置關系，并加以證明； 如圖2,在(1)條件下，連接 HQ試說明H0平分/ BHG 當點E、F運動到如圖3所示的位置時，其它條件不變，請將圖形補充完整，并直接寫出/BH0 的度數(shù).=EF5p即Q2+ (8-i) 2=x2-解淳；s=5 CE=8-k=3 j,C_3 DE 5圖I7.四邊形ABCD正方形，AC與BD相交于點 0,點E、F是直線AD上兩動點，且 AE=DF, CF所在 直線與對角線 BD所在直線交于點 G,連接AG直線AG交BE于點H.【解普】(L)

8、證明：丁四辺形庶匚D為正方形-DA=LCp ZADB=ZCDB=4B p在金尿和ACDG中AD = CD乙ADG= ZCDG -DG=DGA8-DCBAE-乙CDF， 且且二DF- AABEtt ADCF SAS) */ ZABE=ZDCF-t GAAGCG，/ SAG 沱 AEE,，- ZDAQ+ZBAG=eo ,-. 2ABE+ZBAG=5O0 ， 兒HB=9(T=AAG丄BE IA aadgacdg ( SAS),二 ZDAG = ZDCG ；鯛；翊丄BE，理由如下：四邊形AECD為正方形*幾細=DC，BAD=NCM=9Q&，左止BE粘ADCF中(2 )解：由(1 )可知幅丄師.如笞圖1

9、所示，過點0作0M丄BE于點1 ON丄也C于點lb測四邊形0肛IN為矩形.又 VOAOB， ZA01= ZBOI.- AON-+xiOII=9O,? 、：BOM+OBI=9O ,二 Z0Ali=Z0BWIS AAOU 與 ABOM 中,ZOAN= OBfOA = OBzLaon= bom/ AAOWBOM( aas).5=0 M，二拒形OMHM為正方形，.ED平ijZDHG -3)將圖膽補亢完整，如答圖2示，ZEHO=45.答圖2勻(1 )同理，可以證明朋丄EE 遣卓0作OM丄BE于點E ON丄昶于直Jb 與(2)同饉，可以證明AIONABOK- 可得OHHN為正方形，所以H0平分/EHS二

10、ZBHO=45&如圖1，點O是正方形 ABC頃對角線的交點，分別延長 OD到點G OC到點E,使O(=2ODOE=2OC然后以OG OE為鄰邊作正方形 OEFG連接AG DE(1) 求證：DEL AG(2) 正方形 ABCD固定，將正方形 OEFG繞點O逆時針旋轉 a角(0V aV360)得到正方形OE F G，如圖 2. 在旋轉過程中，當/ OAG是直角時，求 a的度數(shù)； 假設正方形 ABCD勺邊長為1,在旋轉過程中，求 AF長的最大值和此時 a的度數(shù)，直接寫出結果 不必說明理由.【解音】網(wǎng)：1如圉1 -延転ED交AG于點H，V點0是正方fABCD兩対甬線的交點，*OA=ODi 0盒丄0D，

11、vOG=OEi在AOG和AD&E中OA-ODJ AAOG= Z.DOE-9，OG=OEA AAOGADQE- SGgGEO，V ZAG0+GAO=30， GAO+ZDEO=SO A ZAHE=9O，即DE丄AG! v040D=1oLg 廣，2 2041Rt AOAGZ 中* 3inZAGy Q二：二兒0 = 30* JJ0A丄QPQA丄時，0D卅 Q ； ZDOCr030 *即ft=30 ?(II ) 由90増大到18曠 迥稈中，當ZOAG * =9曠 時:，罔理-30，諷二IE廣-30* -150綜上前謎，當ZOAG =90時，=30或150如圏了，當驗轉到必、Q，* F，在一條盲線上時的長

12、最大 :正方ffUBCP的邊托為“.A=OD-OC=OB=2!I.2/ dC=20DsZCOEZ -45e ，AB二吋二 0G 二 Q譏 itt時 a=315e .9 E, F分別為正方形 ABCD勺邊BC, CD上的點，AF, DE相交于點 G當E, F分別為邊BC,CD的中點時，有： AF=DEAFL DE成立.試探究以下問題：上迷結論，帕然卓立， 理由加*四邊砒肛匚D対正方形, A AD=BC ZECB-ZADC-900 ， Saadfjadce ,、Zadc-Zbcd-， AD = CD備-aadfadce SkS ),AF=DE，NEF，tZADG丄EDMCI*，門 ZADG+ZDA

13、F=90fl 、: ZAGD=90* 即 AF 丄 DE I(1) 如圖1,假設點E不是邊BC的中點，F(xiàn)不是邊CD的中點，且 CE=DF上述結論，是否仍然 成立？(請直接答復“成立或“不成立)，不需要證明)(2) 如圖2,假設點E, F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且 CE=DF,此時，上述結論，是 否仍然成立？假設成立，請寫出證明過程，假設不成立，請說明理由；(3) 如圖3,在(2)的根底上，連接AE和BF,假設點MN,P,Q分別為AEEF,FD,AD的中點,請判斷四邊形 MNP是 “矩形、菱形、正方形中的哪一種，并證明你的結論.r解：門丿上述結論，借然成立理由為：丁四邊形ABCD掏正

14、方形，幾直D二DC，在和中， DF-CE Z.4DC=Z5CD = 90 ad-CDAaDF ADCE IS： Rt AADP 和 Mt 亡ABF 中 (ADABAP=APA AADPS AABP那么/DAP=ZBAP；* AAOGSfi AADGiDAG；5-.- Z l + DAG+DAP + BAP=90* ，.2iDAG42NljAP“tT ，- DAG+ZDAP=45* ，T ：PAG=ZDAG + ZDAPZPAG=4 5 ? SOG 蘭 SDG，/ DG=OG*/ A.ADPSAABF- DP=BF *APG=DG+DP=OG+BP-(3) VAAOCAADG-/ 2：AGO=Z

15、AGD、又T E 1卡AGO二* Z2+ZFGC-90Q，Z 1 = Z2j zagozpgc -又丁 ZACO-ZACP p NAGQ 二丄山GD=ZPGC，又V ZAGO+ZAGD-FZP&C= 13 04 ，ZAGO=ZAGD=PGC=130 3=60 ，/. Z 1= Z2=30fl -CO* =30fl i 在 frt aaog 中，- A0=3 J/ OG=AOt ari30 =3X兒G點坐標為(Jji 0) J CG=3-JI-在RtAPCG 沖，PC=-=7T，5-Pjfi坐標対：(3- 3JJ-3 )- i殳直純PE的鯛析武為：yJjc+b，一T:盲線FE的解祈式為y=j3x

16、-3.U) OTQS1 為點征棗觀的員半鈾上時圖1v AG=Mt j 點A蜚宿為 3 :J) f譏點亞坐標為(C，-3 .&如區(qū)2*肖占M環(huán)寸的逐七錢.卜時,22 由3 RliflZA；0=PGC=i5a* !人EF與俯的交點満足恥二JIG，va的期里標是D，妨亙損坐標藥JI， 川的耆主標是2|3+縱堊標是3 兀點M壘標為2|J= 3 煤上，可狷點M坐際為0. -3前20 I -11. 如圖1,一丄-是等腰直角三角形，-二丄一，點-，是三-的中點.作正方形-, 使點一、-分別在二?和總玄上，連接一遼，匚.圖圖1 試猜測線段：和壷芒的數(shù)量關系是并證明.2將正方形3二繞點逆時針方向旋轉 ，判斷1中

17、的結論是否仍然成 立？請利用圖2證明你的結論;IED=ADZ3DG= Z4DE，DG = DE- ABDG A；XE CSAS)， BG=AE i匚2證明；連播AD，V Kt ABAC中D為斜邊比的扌點,AAD = 0B *丄BC1二 ZADG+ZGDB=SOJ，EFGD為正方形*DE = DG 且 ZGDE=90，二 zi ADG+ADE=SOe ，- EBDG二 GDE jbd=ad在 ABDG利血DE 申，彳 Zj3nG= ADE，GDED二 AEDGAADE ( SkS)-BGAE12 口ABCD對角線 AC與 BD相交于點 O,點P在邊AD上，過點P分別作PE! AC PF1 BD,

18、垂足分別為E、F, Pi PF(1)如圖，假設 PE= ，EO= 1,求/ EPF的度數(shù);(2)假設點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF= BO 3、一 一4，求BC的長.偌苔】解：(1如圖，連4P0- VPE丄心EO=1， t anZEPO=-Z、PE 3- ZEPO=30、 -.-PEAC - PF 丄 BD，A ZPEO=ZPFO=0D*，POPoSRt APEOQRt APF0中 fE=PF-RtAPEORtAFFO (HL) -.-.ZFPO=EPO=30* ，(1)圖ZEPF=ZFPO+ZEPO=3Dq +30q =02如圉，叮點P星直D的中點，旦F是DO的中點，.PFAAOD

19、 中位紙-APF/MO -且YPF 1ED -，- ZPFP=90a * ZAOP=FFD=eO ，JZTFE 丄 AC r-AEF=90， ZAOP=ZAEP，APE/OD ,-點P是皿的中點，F(xiàn)E是厶的D的申位線，PE 丄OD 2VPE = PF，-*-AO = OD* 且M 丄0D，平行四邊砒A骯D是正方形, 設SC=x!13.如圖，ABCD是一矩形紙片，AD=BC=1, AB=CD=5,在矩形 ABCD勺邊AB上取一點 M在CD上取一點N,將紙片沿 MN折疊，使MBW DN交于點K,得到 MNK(1) 假設/仁70。，求/ MKN勺度數(shù)；(2) 當折痕MNW對角線AC重合時，試求 MN

20、K勺面積.(3) MNK勺面積能否小于0.5?假設能，求出此時/I的度數(shù)；假設不能，試說明理由;BA駄DCDCA8AB備用圖【解善】解：(四邊是矩盼- 1，丫 ZKMN=Z1，7 Z1=70 ，- ZKNM.ZKMN-70s，脈腳iSAMM= SZUCJt=11 3的血相的力1.九理宦如卩：過m點作紅丄喬定芮魚g那么肛二妙=1,田門)知，ZKKMZKMN- WK-NK-, ME=AD = 1 L- WK1*-.L -f IfVE二釵宋* M蛀扌HIAHKKS的最D值為扌，下可幅小于D.G14 我們知道平行四邊形有很多性質現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結論，

21、如圖，平行四邊形ABCDK/ B= 30o，胭*，將 ABC沿AC翻折至丄兒月C，連接月D .發(fā)現(xiàn)與證明:如圖1：求證：厶AGC是等腰三角形；月Q / AC .應用與解答:如圖2:如果AB=, BC= 1,丄 與CD相交于點 己，求厶AEC的面積.拓展與探索如果 AB = 2語,當BC的長為多少時， AB D是直角三角形?21c=【應用與解窖】:如罔2,作匚F于F，-Zaez c=3afl , CF=丄站 O丄骯二丄，EP =2 2 2 / AB =AE2jI ；g運-孚斗1 iAE=CEf 那么EelJI-曲2VCF+EFCE4 -4.4 過Ip 2=x2 2解得纖乎盤Em巫心他的面碣3F寺

22、平斗爭【拓展與探索】：如囹D9V AD=BC BC=B? C，iD=Bz C VACB? m四邊形AC D是等瞎梯形,v B3 0 ， A ZABZCDA30 ，V A1BIJ昱頁甬三甬世,當 MB J1D=0D* I ABBCa圖5lZADB =ZCBZ D=y*二 /加 l=y-30 /D+ZADEZ -90*7-30 +y=3O ，iWy=0O -/- NA前 =y-30 =30 ,n =AB=2j3-PD巫-當 ZADB =S0 ， ABAEC 時，如圖 3,人 ZAB? C=30s，-Gsb#2 2是EC:的中點，在RTAAEG中，當D=B0a時F如囹VAD=ECi EC=By Cj

23、二 AD=E* 匚-.AC/B7 D，:四邊形ACDE是等播梯形，v ZAB丿 D=SOC f-四邊JBacdb是拒形，幾 ZBAC=90 I/ Z：B30* =.*AD=BC，BC-By Jug E Iij二四邊f(xié)fACB z Ii是等皤梯世*V ZADBr =90 ，人四邊f(xié)fUCB r L是矩世，兒二沁-/- ZACE=90，.* ZB=30fl AE=2|Is /.BC=AE=X2 jy=3 !22 HAD=90* ABBC時！如囹4 ?VAD=BC - 8C-Sy C*.AD=BZ 匚，D，D=5Q，二 ZS G匚=90* iV ZB=30 、AE=：2|7-已SBC的農(nóng)藥2或3或q

24、或E時，AAB D是盲角三角形.15 如圖，在矩形 ABCD，將矩形折疊，使 B落在邊AD 含端點上，落點記為 E,這時折痕 與邊BC或者邊CD 含端點交于 F,然后展開鋪平，那么以 B E F為頂點的三角形厶BEF稱為矩形 ABC啲“折痕三角形1 由“折痕三角形的定義可知， 矩形ABC啲任意一個“折痕 BEF是一個三角形.2 如圖，在矩形 ABCD中, AB=2，BC=4,當它的“折痕 BEF的頂點E位于AD的中點時， 畫出這個“折痕厶BEF，并求出點F的坐標；3 如圖，在矩形 ABCDK AB=2，BC=4,該矩形是否存在面積最大的“折痕BEF ?假設存在， 說明理由，并求出此時點 E 的

25、坐標？ 假設不存在，為什么?團EA0AiEa3K(EXcHeh2)如連lBE-畫BE的中垂線交肚與點F，逹接EF，ABEF杲矩形軸CD的一個折痕三甬形.T折痕垂盲平分BE j AE=.AE=2 p.點A在EE的中毎結上，即折痕經(jīng)過點A四邊形ABFE為正芳冊.-BF=AB=2i-F 2 D) (3) 矩ABGD存在面租最丸的折痕三角形EEF】其面稅為理由如下；當F在邊0C上時，如囹所示.S6BEFASCD即當F與C重臺時面科最大為當F在邊3上時，如圖所示対F作FHB匚交AB于點H，交EE于K* S 心 ekf- KF AHFD t5/尸新甸老新甸二扣訶fh， S i g-E F ySj?.?Afl-e&=4 *即當R為CD中點時，BEF面稅最大為Q.T面求茴籾最大時，點E的塑標. 當F與點C重合時如圖題所示由折疊可知CE=CB-4：住Rt CDE 中=ED二CD =)4“一2二4 * AE=4_2 0-E (4-23 - 2) 當F在邊DC的申蟲時，點E與點窪重合，如圖所示.此時E 1 D，2?蹤上斯述，折痕ABEF的最夫畫積為4時，點E的坐|示芮E (U? 2)或E(4-2JT- 2) 3 SFDE目交恥于點F，-BF丄直G于直F jZAED=ZBFA=9Q&，丁四邊形山BCD是正方形，-AD=AD 且-BAF+ZEAD=&Q& 、叮 ZEAD+ZADE=90?，上NBHF