大一高數(shù)知識點(diǎn)與例題講解

1、.大一高數(shù)函數(shù)與極限第一節(jié) 函數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識）（）鄰域（去心鄰域）（）第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列極限的證明（）【題型示例】已知數(shù)列，證明【證明示例】語言1由化簡得，2即對，當(dāng)時，始終有不等式成立，第三節(jié) 函數(shù)的極限時函數(shù)極限的證明（）【題型示例】已知函數(shù)，證明【證明示例】語言1由化簡得，2即對，當(dāng)時，始終有不等式成立，時函數(shù)極限的證明（）【題型示例】已知函數(shù)，證明【證明示例】語言1由化簡得，2即對，當(dāng)時，始終有不等式成立，第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大的本質(zhì)（）函數(shù)無窮小函數(shù)無窮大無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論（）（定理三）假設(shè)為有界函數(shù)，為無窮小，則（定理四）在自變量的某

2、個變化過程中，若 為無窮大，則為無窮小；反之，若為無窮小，且，則為無窮大【題型示例】計(jì)算：（或）1函數(shù)在的任一去心鄰域內(nèi)是有界的；（，函數(shù)在上有界；）2即函數(shù)是時的無窮??；（即函數(shù)是時的無窮??；）3由定理可知（）第五節(jié) 極限運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則（）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關(guān)于多項(xiàng)式、商式的極限運(yùn)算設(shè)：則有（特別地，當(dāng)（不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點(diǎn)便可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解）【題型示例】求值【求解示例】解：因?yàn)椋瑥亩傻?，所以原式其中為函?shù)的可去間斷點(diǎn)倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解（詳見第三章第二節(jié)）：解：連續(xù)函數(shù)穿越定理（復(fù)合函數(shù)的極限求解）（）（

3、定理五）若函數(shù)是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，【題型示例】求值：【求解示例】第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限夾迫準(zhǔn)則（P53）（）第一個重要極限：，（特別地，）單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（P57）（）第二個重要極限：（一般地，其中）【題型示例】求值：【求解示例】第七節(jié) 無窮小量的階（無窮小的比較）等價(jià)無窮?。ǎ?2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：【求解示例】第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)連續(xù)的定義（）間斷點(diǎn)的分類（P67）（）（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去相應(yīng)公因式）【題型示例】設(shè)函數(shù) ，應(yīng)該怎樣選擇數(shù)，使得成為在上的連續(xù)函數(shù).【求解示例】12由連續(xù)函數(shù)定義第九節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點(diǎn)定理（）

4、【題型示例】證明：方程至少有一個根介于與之間【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；2（端點(diǎn)異號）3由零點(diǎn)定理，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得，即（）4這等式說明方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根第一章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義（P83）（）【題型示例】已知函數(shù) ，在處可導(dǎo)，求，【求解示例】1，2由函數(shù)可導(dǎo)定義【題型示例】求在處的切線與法線方程（或：過圖像上點(diǎn)處的切線與法線方程）【求解示例】1，2切線方程：法線方程：第二節(jié) 函數(shù)的和（差）、積與商的求導(dǎo)法則函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（）1線性組合（定理一）：特別地，當(dāng)時，有2函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：3函數(shù)商

5、的求導(dǎo)法則（定理三）：第三節(jié) 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（）【題型示例】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【求解示例】由題可得為直接函數(shù)，其在定于域上單調(diào)、可導(dǎo)，且；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（）【題型示例】設(shè)，求【求解示例】第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)（或）（）【題型示例】求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)【求解示例】，第五節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對求導(dǎo)）（）【題型示例】試求：方程所給定的曲線：在點(diǎn)的切線方程與法線方程【求解示例】由兩邊對求導(dǎo)即化簡得切線方程：法線方程：參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)【題型示例】設(shè)參數(shù)方程，求【求解示例】1.2.第六節(jié) 變化率問題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）第七節(jié) 函數(shù)的微分基本初等函

6、數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則（）第二章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 中值定理引理（費(fèi)馬引理）（）羅爾定理（）【題型示例】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，試證明：，使得成立【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）令顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)；2又即3由羅爾定理知，使得成立拉格朗日中值定理（）【題型示例】證明不等式：當(dāng)時，【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對，顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又，化簡得，即證得：當(dāng)時，【題型示例】證明不等式：當(dāng)時，【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2由拉格朗日

7、中值定理可得，使得等式成立，化簡得，又，即證得：當(dāng)時，第二節(jié) 羅比達(dá)法則運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟（）1等價(jià)無窮小的替換（以簡化運(yùn)算）2判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個前提條件 A屬于兩大基本不定型（）且滿足條件， 則進(jìn)行運(yùn)算： （再進(jìn)行1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出） B不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）【題型示例】求值：【求解示例】（一般地，其中）型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）【題型示例】求值：【求解示例】型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求

8、值：【求解示例】運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路（）通分獲得分式（通常伴有等價(jià)無窮小的替換）取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）取對數(shù)獲得乘積式（通過對數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前）第三節(jié) 泰勒中值定理（不作要求）第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（）【題型示例】試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【求解示例】1函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可導(dǎo)2令，解得：3（三行表）極大值極小值4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為【題型示例】證明：當(dāng)時，【證明示例】1（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)，（）2，（）3既證：當(dāng)時，【題型示例】證明：當(dāng)時，【證明示例】1（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)，（）2，（）3既證：當(dāng)時，連續(xù)函數(shù)

9、凹凸性（）【題型示例】試討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點(diǎn)【證明示例】 1 2令解得： 3（四行表） 4函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,；函數(shù)的極小值在時取到，為，極大值在時取到，為；函數(shù)在區(qū)間,上凹，在區(qū)間,上凸；函數(shù)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為第五節(jié) 函數(shù)的極值和最大、最小值函數(shù)的極值與最值的關(guān)系（）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果的某個鄰域，使得對，都適合不等式，我們則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極大值；令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值滿足：；設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果的某個鄰域，使得對，都適合不等式，我們則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極小值；令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值滿足：；【題型示例】求函數(shù)在上的最值【求解示例】1函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可

10、導(dǎo)2令，解得：3（三行表）極小值極大值4又第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪（不作要求）第七節(jié) 曲率（不作要求）第八節(jié) 方程的近似解（不作要求）第三章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念（）原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即當(dāng)自變量時，有或成立，則稱為的一個原函數(shù)原函數(shù)存在定理：（）如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，則在上必存在可導(dǎo)函數(shù)使得，也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)（可導(dǎo)必連續(xù)）不定積分的概念（）在定義區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為在定義區(qū)間上的不定積分，即表示為：（稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，則稱為積分變量）基本積分表（）不定積分的線性

11、性質(zhì)（分項(xiàng)積分公式）（）第二節(jié) 換元積分法第一類換元法（湊微分）（）（的逆向應(yīng)用）【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】第二類換元法（去根式）（）（的正向應(yīng)用）對于一次根式（）：令，于是，則原式可化為對于根號下平方和的形式（）：令（），于是，則原式可化為；對于根號下平方差的形式（）：a：令（），于是，則原式可化為；b：令（），于是，則原式可化為；【題型示例】求（一次根式）【求解示例】【題型示例】求（三角換元）【求解示例】第三節(jié) 分部積分法分部積分法（）設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其分部積分公式可表示為：分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對、冪、三、指”運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積分的基本步驟

12、：遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；就近湊微分：（）使用分部積分公式：展開尾項(xiàng)，判斷a若是容易求解的不定積分，則直接計(jì)算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）； b若依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重復(fù)、，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】第四節(jié) 有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)（）設(shè)：對于有理函數(shù)，當(dāng)?shù)拇螖?shù)小于的次數(shù)時，有理函數(shù)是真分式；當(dāng)?shù)拇螖?shù)大于的次數(shù)時，有理函數(shù)是假分式有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（）將有理函數(shù)的分母分拆

13、成兩個沒有公因式的多項(xiàng)式的乘積：其中一個多項(xiàng)式可以表示為一次因式；而另一個多項(xiàng)式可以表示為二次質(zhì)因式，（）；即： 一般地：，則參數(shù) 則參數(shù)則設(shè)有理函數(shù)的分拆和式為：其中 參數(shù)由待定系數(shù)法（比較法）求出得到分拆式后分項(xiàng)積分即可求解【題型示例】求（構(gòu)造法）【求解示例】第五節(jié) 積分表的使用（不作要求）第四章 定積分極其應(yīng)用第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的定義（）（稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，則稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間）定積分的性質(zhì)（）（線性性質(zhì)）（積分區(qū)間的可加性）若函數(shù)在積分區(qū)間上滿足，則；（推論一） 若函數(shù)、函數(shù)在積分區(qū)間上滿足，則；（推論二）積分中值定理（不作要求）第二節(jié) 微積分基本公式牛頓-萊布尼茲公式（）（定理三）若果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則變限積分的導(dǎo)數(shù)公式（）（上上導(dǎo)下下導(dǎo)）【題型示例】求【求解