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1、數(shù)理統(tǒng)計考試試卷一、填空題(本題 15分,每題3分)1、 總體XN(20,3)的容量分別為10,15的兩獨立樣本均值差 X -Y ;2、 設(shè)XX2,,乂花為取自總體 X N(0,0.52)的一個樣本,若已知7(2.01(1632.0,則16PZX >8=;i 43、 設(shè)總體XN(j;2),若和二2均未知,n為樣本容量,總體均值的置信水平為1 -«的置信區(qū)間為(X k,X +入),則k的值為4、 設(shè)X1,X2,.,Xn為取自總體XN(4;2)的一個樣本,對于給定的顯著性水平:,已知 關(guān)于CT2檢驗的拒絕域為 7- 2<晉七(n-1),則相應(yīng)的備擇假設(shè) H1為;5、 設(shè)總體X
2、N(7;2),匚2已知,在顯著性水平0.05下,檢驗假設(shè)H。: _ *,H 1 : : J , 拒絕域是。11、 N(0,) ;2、0.01;23、怙(n 1)卓;2n2 24、 - 0 ;5、 Z Z0.05。二、選擇題(本題 15分,每題3 分)1、設(shè)X1,X2,X3是取自總體X的一個樣本,是未知參數(shù),以下函數(shù)是統(tǒng)計量的為(1(A) :-(X1 X2 X3)(B) X1 X2 X3(C)X1X2X3a2、設(shè)X1,X2, Xn為取自總體XN(;2)的樣本,X為樣本均值,1 3 2(D) (X)23 yS2(Xi -X)2 n i#則服從自由度為n -1的t分布的統(tǒng)計量為((A )- n( J
3、)(B )2Sn(C)n(X)CJ(D) n(X)Sn3、設(shè)X1,X2/ ,Xn是來自總體的樣本,D(X)=;2 存在,S21 nTX(Xi-x)2,則(A) S2是二2的矩估計(B) S2是二2的極大似然估計(C) S2是二2的無偏估計和相合估計(D) S2作為二2的估計其優(yōu)良性與分布有關(guān)4、設(shè)總體X N(叫,g2),YN(,;採)相互獨立,樣本容量分別為n 1, n2,樣本方差分別為S; , M,在顯著性水平:下,檢驗H 0 : of _ 匚;,H1 :;; : ;I 的拒絕域為((A)-2 _F(n2 -1,n1 -1)62s2(B )- A F g( n2 1 n1 - 12Si(C)
4、2 _F-.(ni 1,n2 )2S2(D)2 蘭 Ft a(n1 1, n2 1)S12S1設(shè)總體XNK2),匚2已知,Xi,X2, X 是來自總體的樣本觀察值,已I的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(4.71,5.69),則取顯著性水平 a =0.05時,檢驗假H0 -5.0, H1 : )=5.0 的結(jié)果是((A )不能確定(B)接受H0(C)拒絕H°(D)條件不足無法檢驗1、B; 2、D;3、C; 4、A; 5、B.三、(本題14分)設(shè)隨機變量X的概率密度為:2 x 0 . 0fEfJ其他,其中未知參數(shù)二0,X1/ ,Xn是來自X的樣本,求(1)二的矩估計;(2)二的極大似然估
5、計。解:(1) E(X)二 _.xf (x)dx =令詢次弓,得幾滬為參數(shù)'的矩估計量。似然函數(shù)為:L(xD,0 :Xi :m,(i =1,2,,n),im廿 廿 im而L(v)是二的單調(diào)減少函數(shù),所以 二的極大似然估計量為 -maxX1,X2 ,Xn。四、(本題14分)設(shè)總體XN(0,二2),且X1,X2 X10是樣本觀察值,樣本方差s2 =22(1)求匚 的置信水平為 0.95的置信區(qū)間;(2)已知Y二務(wù)2(1),求dX2的置信解:(1)c 2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為18180.025(9)0.975(9),即為(0.9462, 6.6667);(2)X2T71DCTX2T
6、7,D 2(1)=c2僅2、2由于2是匚2的單調(diào)減少函數(shù),置信區(qū)間為2丿即為(0.3000, 2.1137)。五、(本題10分)設(shè)總體X服從參數(shù)為二的指數(shù)分布,其中二 0未知,X1,,Xn為取自n總體X的樣本, 若已知U = 、 Xi2(2n),求:日y(1)二的置信水平為1-:的單側(cè)置信下限;(2) 某種元件的壽命(單位:h)服從上述指數(shù)分布,現(xiàn)從中抽得容量為16的樣本,測得樣本均值為5010( h),試求元件的平均壽命的置信水平為0.90的單側(cè)置信下限。(監(jiān)05(31) =44.985,監(jiān)10(32) =42.585)。解:(H竿 <卷(2n)=1a, P T > 嚴(yán)-a,.M
7、l即日的單側(cè)置信下限為 g = 2“X ; ( 2) g = 2 "6工5010 =3764 706 。 -2(2 n)一 42.585六、(本題14分)某工廠正常生產(chǎn)時,排出的污水中動植物油的濃度X N(10,1),今階段性抽取10個水樣,測得平均濃度為10.8 (mg/L),標(biāo)準(zhǔn)差為1.2 ( mg/L ),問該工廠生產(chǎn)是 否正常? ( a =0.05乙。25(9) =2.2622盜025(9)=19.023,瞪75(9) = 2.700)解:(1 )檢驗假設(shè)H。:二2=1 , H1:匚2工1;取統(tǒng)計量:2 (n -1)s時;拒絕域為:'2W 7 2。( n1) = 72
8、 975 (9) =2.70 或/ 2/一 ;(n 1)=猛25=19.023 ,1i1經(jīng)計算:2 2(n _1)S9 1.212.96,由于 2 =12.96. (2.700,19.023) 2,01故接受H0,即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油濃度的方差為c 2=1。X 10(2 )檢驗假設(shè)H 0: » =10, H:式10 ;取統(tǒng)計量:t= t丹(9);S/11O 210 R _ 10 拒絕域為 t 蜀0025(9)=2.2622t = 10.8 二=2.1028<2.2622,所以接受 H0,1.2M/10即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油的平均濃度是10(mg/L)。綜上,認(rèn)
9、為工廠生產(chǎn)正常。七、(本題10分)設(shè)X1,X2,X3,X4為取自總體 XN(i,42)的樣本,對假設(shè)檢驗問題H。:=5, H1 :=5,( 1)在顯著性水平0.05下求拒絕域;(2)若=6,求上述檢驗所犯 的第二類錯誤的概率1。解: (1)拒絕域為 z J更;5Zz0.025 =1.96;4/442(2)由(1)解得接受域為(1.08,8.92),當(dāng)卩=6時,接受H0的概率為=P1.08 : X :8.928.92一6 一門 1.08 _6 =0.921。I 2丿I 2丿八、(本題8分)設(shè)隨機變量 X服從自由度為(m,n)的F分布,(1)證明:隨機變量 1服從X自由度為(n,m)的F分布;(2
10、)若口可,且PX =0.05,求PX 丄的值。Ct證明:因為X F(m,n),由F分布的定義可令 x二匕山,其中U2(m),V 2(n),U V /n與V相互獨立,所以丄二YZ2f(n,m)。X U /m當(dāng)m=n時,X與1服從自由度為(n, n)的F分布,故有PX = = PX -,X«111從而 PX = P : : =1P:二 =1 Px :=1 0.05 = 0.95。aXX數(shù)理統(tǒng)計試卷參考答案、填空題(本題 15分,每題3分)1、 N(0,-) ;2、0.01;2S3、n -1)-.2n2 _ 24、- 0 ;5、z _ _z0.o5。、選擇題(本題 15分,每題3 分)1、
11、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B.三、(本題14分)解:(1) E(X) = (x)dx =_ n3 令E(f) =X = 71,得?=X為參數(shù)71的矩估計量。32n 2x2n n似然函數(shù)為:L(xD 汕 Xi ,0 :Xi ,(i =1,2, ,n),iT廿 廿im而L(R是的單調(diào)減少函數(shù),所以的極大似然估計量為 =maxX1,X2 ,Xn。四、(本題14分)解:六、(本題14分)解:(1 )檢驗假設(shè) H0:=1 , H1:豐1 ; 取統(tǒng)計量:2 (n -1)s2 ;_J;- 0拒絕域為:: a(n 1)=益.975(9)=2.70 或 2":(n1)= 025=19.0
12、23,22經(jīng)計算:2 =5 _?S =9 1.2 =12.96,由于 2 =12.96 (2.700,19.023) 2, % 1故接受H0,即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油濃度的方差為c 2=1。(1) ;2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為1820.025180.975(9),即為(0.9462, 6.6667);(2) DX23 a12D<T12 <1D 2(1) = 22 ;a由于2 22是二的單調(diào)減少函數(shù),置信區(qū)間為2 22 , 2 CT CF即為(0.3000, 2.1137)。五、(本題10分)解:(1)匸P*竽:2(2n)2nX>2 1 -,:.(2n)即'的單側(cè)置信下限為簽;(2宀2 16 50103764.706。42.585(2)檢驗假設(shè)H0:T0,、10 ;取統(tǒng)計量: UX 一10仁(9);S/J102拒絕域為 t Zt0 025 (9) =2.2622 ; = t =10.8H=2.1028<2.2622,所以接受 H;,1.2M/10即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油的平均濃度是10(mg/L)。綜上,認(rèn)為工廠生產(chǎn)正常。七、(本題10分)解:(1)拒絕域為”斜羅詁25“96;(2)由解得接受域為(1.08, 8.92),當(dāng)卩=6時,接受H0的概率為P = P1.08 c8.92='8.92 一6 L門&q
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