數(shù)學(xué)教學(xué)新幫手——動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra

1、數(shù)學(xué)教學(xué)新幫手動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件 GeoGebra曹一鳴，郭衎（北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）摘要：動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件 GeoGebra 為每個(gè)人帶來充滿活力的數(shù)學(xué)， 幫助設(shè)計(jì)有趣的代數(shù)、 幾何、 統(tǒng)計(jì)和微積分教學(xué)。本文介紹了 GeoGebra 的可視化、多重表征和幫助實(shí)驗(yàn)探索的特點(diǎn)，能 支持從小學(xué)算術(shù)到大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)。 這款免費(fèi)的開源軟件帶來的新思維與新技術(shù)必將引起 課堂教育技術(shù)的重大變革，實(shí)可謂數(shù)學(xué)教學(xué)的新幫手。關(guān)鍵字： GeoGebra 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué) 可視化 多重表征 實(shí)驗(yàn)探索 教育技術(shù)1 引言提到數(shù)學(xué)軟件，很多人會(huì)想到Maple 、Matlab 等，這些軟件在專業(yè)領(lǐng)域都可謂是功能強(qiáng)大，如 Maple 擅

2、長(zhǎng)符號(hào)計(jì)算， Matlab 則專于矩陣運(yùn)算，而這些專業(yè)軟件往往開發(fā)的指向性 單一， 兩者都不具備演示功能， 所以不能直接用于數(shù)學(xué)教學(xué)。 另外大家可能會(huì)想到在中學(xué)幾 何教學(xué)中數(shù)見不鮮的幾何畫板， 這是一款優(yōu)秀的幾何教學(xué)演示軟件， 但其功能主要是教學(xué)演 示，而且僅限于在平面幾何教學(xué)的使用。那么有沒有一款既能用于學(xué)習(xí)研究， 又能用于教學(xué)演示； 既能勝任基礎(chǔ)數(shù)學(xué)， 又能擔(dān)當(dāng) 高等數(shù)學(xué)的功能齊全的教學(xué)軟件呢？動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件 GeoGebra 在這方面有了突破性的發(fā)展。 顧名思義，“動(dòng)態(tài)”說明軟件具有動(dòng)態(tài)特性， 具備演示功能； 而 GeoGebra 這個(gè)名稱由 geometry （幾何）和 algebra

3、（代數(shù)）兩詞組合而成， GeoGebra 兼?zhèn)鋷缀?、代?shù)、統(tǒng)計(jì)、微積分等功 能，其在幾何方面的表現(xiàn)就幾乎覆蓋了幾何畫板的所有功能， 在某種程度上還超越了幾何畫 板傳統(tǒng)意義上的動(dòng)態(tài)幾何概念， 是一款具有功能全、 跨平臺(tái)、 易操作等的特點(diǎn)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟 件。2 GeoGebra 簡(jiǎn)介GeoGebra 是一款全免費(fèi)的開源軟件， 支持多平臺(tái)， 已經(jīng)被翻譯成了 58 種語言。 從 2001 年發(fā)展至今， GeoGebra 在歐洲及美國(guó)獲得過數(shù)十項(xiàng)教育軟件大獎(jiǎng)，已被 190 多個(gè)國(guó)家的教 學(xué)工作者所使用，有 30多個(gè)國(guó)家將GeoGebra寫入教科書。僅2010年一年，軟件下載量已 逾 380 萬。GeoGe

4、bra 支持幾何、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)、微積分等功能，幾乎覆蓋整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域。圖 1 就是 GeoGebra 軟件截圖，軟件功能區(qū)域分為：代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)和電子表格（在新 的測(cè)試版中還有第二繪圖區(qū)、 CAS 區(qū)和觸控鍵盤等區(qū)域，方便在平板電腦等手持設(shè)備上使 用）。這三個(gè)區(qū)域相互關(guān)聯(lián)，并不是為了拓展軟件功能而拼湊在一起的獨(dú)立個(gè)體?？?M.圖1. GeoGebra軟件界面截圖在繪圖區(qū)中可以使用繪圖工具很方便的繪制點(diǎn)、線、多邊形、圓錐曲線等， 還可以通過修改屬性調(diào)整對(duì)象的顏色、粗細(xì)和樣式等，使得構(gòu)圖更加美觀。除了繪圖工具外，GeoGebra 還具備測(cè)量、邏輯判斷、動(dòng)畫等功能，選定相應(yīng)工具，點(diǎn)擊一下鼠標(biāo)就可以方

5、便的測(cè)量出線 段長(zhǎng)度、圖形面積、角度；利用復(fù)選框，通過邏輯運(yùn)算，可以控制圖形是否顯示，在什么狀 態(tài)下顯示；利用滑桿工具，可以控制圖形手動(dòng)或自動(dòng)變化。在繪制每個(gè)圖形的同時(shí)，代數(shù)區(qū)中都會(huì)生成一個(gè)相應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式，修改幾何對(duì)象則代數(shù)表達(dá)式也會(huì)跟著改變；同樣，修改代數(shù)表達(dá)式，相應(yīng)的幾何對(duì)象也會(huì)隨之改變。此外，還 可以通過在命令框中輸入命令，直接生產(chǎn)代數(shù)和幾何對(duì)象。值得一提的是命令輸入是支持 LaTex語法的。在即將發(fā)布的 GeoGebra 4.2版中，新增了更完善、更易于操作的的 CAS （計(jì) 算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，此前版本已有，但置于后臺(tái)運(yùn)行），可以方便的進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，如：求微分、求積分、分解因式、解方程等

6、，軟件的代數(shù)功能變得更為強(qiáng)大。電子表格功能類似 Excel，錄入數(shù)據(jù)后，可以根據(jù)需要在左側(cè)生成一系列的統(tǒng)計(jì)圖表， 甚至可以利用電子表格中的兩列數(shù)據(jù)描點(diǎn)，在繪圖區(qū)進(jìn)行擬合， 在代數(shù)區(qū)得到回歸方程。這些功能的實(shí)現(xiàn)，僅需點(diǎn)點(diǎn)鼠標(biāo)即可完成。GeoGebra還成立了專門的機(jī)構(gòu)以支持教師培訓(xùn)、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)分享以及科研工作。其總部國(guó)際 GeoGebra 學(xué)院（International GeoGebra Institute）設(shè)在歐洲，全球已有 60 多個(gè) GeoGebra 學(xué)院。2011年5月，北京師范大學(xué)成立了北京師范大學(xué)GeoGebra學(xué)院（中國(guó)總部），該學(xué)院致力于GeoGebra相關(guān)的數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作，頒

7、發(fā)中國(guó)GeoGebra用戶水平認(rèn)證，提供師范生和在職教師培訓(xùn)，分享數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)的成功案例和先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)中國(guó)各地方學(xué)院間的合作與交流。此外，使用者還可以通過GeoGebra維基分享教學(xué)案例，通過用于論壇尋求幫助，如果英文水平較好，還可以獲得軟件設(shè)計(jì)研發(fā)人員的親自指導(dǎo)。3 GeoGebra的特點(diǎn)3.1可視化GeoGebra可以使數(shù)學(xué)的推理演繹過程可視化，讓學(xué)生們可以“看到”抽象的概念。抽象的符號(hào)往往是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重大障礙，在接觸抽象概念時(shí)，大部分學(xué)生可能都一時(shí)半會(huì)接手不了，有的可以通過教師講解逐步理解，有的通過習(xí)題逐漸鞏固，但是有的學(xué)生可能只是留下了一個(gè)形式化的記憶，似懂非懂，似是而非。美國(guó)

8、當(dāng)代著名教育心理學(xué)家Richard E.Mayer指出，基于計(jì)算機(jī)的多媒體學(xué)習(xí)環(huán)境由圖像和文字等組成，為發(fā)展學(xué)生的理解能力提供了一種具有潛在優(yōu)勢(shì)的有力工具。一方面，教師在繪制圖形的過程就是一個(gè)動(dòng)態(tài)展示的過程。和傳統(tǒng)的幻燈片直接呈現(xiàn)相比，學(xué)生們看到的不是結(jié)果，而是過程。教師在黑板上畫圖，雖然能夠展示過程，但是卻不 如計(jì)算機(jī)作圖準(zhǔn)確、方便。另一方面，GeoGebra還提供了動(dòng)畫功能，通過滑桿可以在繪圖區(qū)中實(shí)現(xiàn)一個(gè)變量、多個(gè)變量或者角度的動(dòng)畫效果。此外，還可以通過手動(dòng)修改或者利用鍵盤方向鍵實(shí)現(xiàn)手動(dòng)變化效果。圖2展示的是一個(gè)由兩個(gè)函數(shù)加和成新函數(shù)的教學(xué)案例，通過GeoGebra制作的課件，使得參數(shù)變化

9、和函數(shù)圖像變化都變得可視化。如果只勾選f(x)，那么繪圖區(qū)將只顯示f(x)=sin(ax+b)的函數(shù)圖像。通過滑桿改變a和b的值，學(xué)生可以很直觀的看到函數(shù)圖像發(fā)生 的變化，這不但使得正弦函數(shù)周期和相位的變化形象直觀，而且大大簡(jiǎn)化了教師的作圖工作。如果勾選f(x)+g(x)將可以看到兩個(gè)正弦函數(shù)圖像的疊加效果，這不僅可以作為一個(gè)數(shù)學(xué)可視化參數(shù)的教學(xué)案例，也是一個(gè)物理中聲音疊加的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?.2多重表征GeoGebra能幫助學(xué)生把多重表征聯(lián)系起來。表征是現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的重要概念，指的是某一對(duì)象的內(nèi)部表達(dá)，所以有時(shí)也成為內(nèi)部表征。人們對(duì)某一對(duì)象的理解可以有多重的內(nèi)部表征，當(dāng)學(xué)生接受一個(gè)新的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)

10、，或在行動(dòng)中體驗(yàn)內(nèi)容、或以圖像表示內(nèi)容、或以語言描述內(nèi)容，不同表征有其特殊的表達(dá)功能， 如：圖像表征能夠傳達(dá)直觀信息，符號(hào)表征能夠傳達(dá)抽象信息每種表征都能加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化。但是學(xué)生習(xí)得新知識(shí)時(shí)，對(duì)于各種表征往往只有松散的組合，不能把它們連接起來，教師連接各個(gè)表征的教學(xué)是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的主要方式2。計(jì)算機(jī)能夠提供相聯(lián)系多重外部表征，進(jìn)而幫助形成能夠建立關(guān)聯(lián)的內(nèi)部表征，所以經(jīng)過合理設(shè)計(jì)的多媒體材料是催進(jìn)學(xué)生建立多重表征間聯(lián)系的理想環(huán)境。p *十耳書28圖3.分?jǐn)?shù)乘法教學(xué)案例圖3所示的分?jǐn)?shù)乘法的教學(xué)案例， 通過調(diào)整滑桿可以更改兩分?jǐn)?shù)的值，勾選“顯示答案”可以選擇顯示答案，點(diǎn)擊拖動(dòng)右側(cè)方塊左上方的點(diǎn)

11、可以移動(dòng)該方塊與左側(cè)方塊重合。在這個(gè)教學(xué)案例中，既有代數(shù)表達(dá)式也有圖形表示，通過移動(dòng)圖形計(jì)算重疊面積可以幫助理解分?jǐn)?shù)乘法的概念，勾選顯示答案可以驗(yàn)證猜測(cè)，調(diào)整滑桿還能生出其他數(shù)值的例子，可謂將多重外部表征有機(jī)整合，將助于學(xué)生連接內(nèi)部表征。3.3實(shí)驗(yàn)探索GeoGebra不但是教師演示軟件，同樣也是學(xué)習(xí)軟件。GeoGebra的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)功能可以幫助學(xué)生做一些探索與嘗試。圖4.泰奧楊森的海灘機(jī)械怪獸圖4所示的是泰奧楊森的海灘機(jī)械怪獸模型。海灘機(jī)械怪獸由塑料管制成，它不依 靠化學(xué)燃料，只要有風(fēng)，這只怪獸就能在海灘上行走。 這只機(jī)械怪獸完全依托機(jī)械原理設(shè)計(jì) 而成，沒有任何的電子設(shè)備。 相信即便是數(shù)學(xué)或是物

12、理專業(yè)的大學(xué)生也沒法再短時(shí)間內(nèi)看明 白這個(gè)設(shè)計(jì)奇巧的“怪獸”吧。在傳統(tǒng)教學(xué)條件下，了解這樣一個(gè)復(fù)雜的機(jī)械，可以要先畫圖、制作模型、實(shí)物檢驗(yàn)等一系列步驟，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，學(xué)生多半會(huì)望而卻步。而利用GeoGebra制作模擬模型，學(xué)生不但可以從“怪獸”的行走中了解機(jī)械結(jié)構(gòu)原理，甚至還可以通過調(diào)整滑桿來調(diào)試機(jī)械，改變部 件的大小、位置，繪制行進(jìn)軌跡，每一步的修改都可以即時(shí)呈現(xiàn)在動(dòng)態(tài)模型上，從而將模型調(diào)整的最佳狀態(tài)。在 GeoGebra的支持下，一個(gè)中學(xué)生就足以勝任這樣一個(gè)在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境 下連大學(xué)生都覺得復(fù)雜的工作。創(chuàng)造不是來自于機(jī)械的訓(xùn)練，而對(duì)新問題的探尋，其中技術(shù)可以成為學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)和登上數(shù)學(xué)與科學(xué)高峰

13、的“云梯”?？梢哉f動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件 GeoGebra為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探索能力提供了技術(shù)支持和智力保障。4 GeoGebra的適用范圍GeoGebra支持從小學(xué)算術(shù)到高等數(shù)學(xué)，小到6歲的小學(xué)生，大到 20歲以上的大學(xué)生,GeoGebra都有其用武之地。當(dāng)然，如果算上教學(xué)工作者，適用的年齡訪問就更廣了。針對(duì) 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，GeoGebra還推出了 GeoGebraPrim （小學(xué)版），這個(gè)版本只保留了一些簡(jiǎn)單 的繪圖工具，不但方便小朋友使用，而且對(duì)硬件的配置要求很低，大大降低了設(shè)備成本。下面就舉例說明 GeoGebra的適用范圍：4.1小學(xué)算術(shù)3-7 = 4圖5.整數(shù)減法教學(xué)案例在整數(shù)減法中，當(dāng)

14、減號(hào)右邊的數(shù)大于左邊，也就是說差為負(fù)數(shù)時(shí)，常常是學(xué)生學(xué)習(xí)的一 個(gè)難點(diǎn)。不少學(xué)生可能無法理解減完了怎么還能再減這樣一個(gè)問題。圖5所示是一個(gè)整數(shù)減法的教學(xué)案例。使用滑桿可以改變 a和b的值來得到減法式，教師可以通過前進(jìn)三步再后退 七步等于后退四步這個(gè)一個(gè)過程來講解圖中的減法算式3 - 7= -4。利用“移動(dòng)兔子”滑桿，可以生的展現(xiàn)一只兔子的移動(dòng)過程，使學(xué)生對(duì)應(yīng)差為負(fù)數(shù)有一個(gè)形象直觀的理解。相信不少教師在教授這樣的減法算式時(shí)也會(huì)想到運(yùn)用前進(jìn)后退的概念，但是動(dòng)畫的演示遠(yuǎn)比語言講解的效果對(duì)于小學(xué)生的理解要方便得多。而且，使用GeoGebra制作這樣的一個(gè)生動(dòng)有趣的課件還用不了 5分鐘的時(shí)間。4.2箱式圖

15、Wd'fAQ1彳他數(shù)q3笊人悄圖6.統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例箱式圖圖6所示是統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的一個(gè)箱式圖的教學(xué)案例，數(shù)據(jù)由電子表格錄入。 根據(jù)預(yù)設(shè)的模型，輸入數(shù)據(jù)后即可得到最大值、最小值、中位數(shù)和兩個(gè)四分位數(shù)。利用箱式圖可以方便的 進(jìn)行多組數(shù)據(jù)平均水平和變異程度的直觀分析比較，觀察數(shù)據(jù)的分布形態(tài)。相比于Matlab的統(tǒng)計(jì)工具箱，GeoGebra生成的箱式圖更為簡(jiǎn)單方便，省卻了復(fù)雜的命 令輸入。通過修改電子表格中的數(shù)據(jù)或者利用鼠標(biāo)移動(dòng)某一數(shù)據(jù)點(diǎn)，箱式圖即可隨之改變。 這種即時(shí)的演示效果和方便的操作相比于復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)軟件更加有利于課堂教學(xué)。4.3微積分圖7.微積分教學(xué)案例微積分中的極限概念常常是高等數(shù)學(xué)中的一

16、個(gè)難點(diǎn)，其實(shí)也并不是因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)本身的難度，而是因?yàn)樵诮佑|極限概念之前，學(xué)生們自小學(xué)到高中以來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中沒有相關(guān)的知識(shí)基礎(chǔ)，習(xí)慣了計(jì)算都能得到準(zhǔn)確值的學(xué)生們通過抽象想象往往很難理解“趨近而又達(dá)不到” 的這樣一種狀態(tài)。既然學(xué)生無法通過想象完成這一概念的理解，教師就應(yīng)該通過其他手段輔助學(xué)生的直觀想象，幫助他們理解好“極限”這塊高等數(shù)學(xué)的入門磚。如圖7所示，是用GeoGebra制作的一個(gè)微積分教學(xué)的課件，通過移動(dòng)滑桿，n值逐漸變大，-1和1.5之間分個(gè)的條數(shù)增多，上和和下和的值夜越來越接近。這樣的一個(gè)動(dòng)態(tài)過程 不但能幫助大學(xué)生理解微積分，如果運(yùn)用得到甚至可以幫助中學(xué)生構(gòu)建微積分思想，為高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠

17、定良好基礎(chǔ)。5 后記GeoGebra為每個(gè)人提供充滿活力的數(shù)學(xué)，同時(shí)也為每個(gè)人提供了更快樂、更方便的數(shù) 學(xué)教與學(xué)。GeoGebra不止是一個(gè)軟件，提供免費(fèi)的教育技術(shù)；GeoGebra是一個(gè)團(tuán)隊(duì)，培訓(xùn)交流，團(tuán)結(jié)協(xié)作；GeoGebra更是一種分享的精神，已建立起了一個(gè)超過15000個(gè)教學(xué)案例的在線資源庫(kù)，官方網(wǎng)站提供免費(fèi)下載， 北京師范大學(xué) GeoGebra學(xué)院（中 國(guó)總部）已經(jīng)建立了文件鏡像服務(wù)器，方便中國(guó)用戶下載。與動(dòng)輒90多兆的幾何畫板相比，GeoGebra不到5兆的身材絕對(duì)稱得上是輕量級(jí)了。但是體積小并不意味著功能少，動(dòng)態(tài)幾何功能自不必說，GeoGebra的計(jì)算代數(shù)系統(tǒng)、命令輸入、電子表格等都在功能覆蓋上全面超越了幾何畫板，突破了傳統(tǒng)“動(dòng)態(tài)幾何”軟件的概念，是一款“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)”軟件。同時(shí)，觸控版的GeoGebra已在測(cè)試中，不久就可在平板電腦、智能手機(jī)等其他手持設(shè)備上運(yùn)行，將為人們帶來更方便快捷的數(shù)學(xué)教學(xué)。參考文獻(xiàn)1 Mayer R E. Multimedia learni ngJ. Psychology of Lea