數(shù)學(xué)建模之人口預(yù)測

1、河南理工大學(xué)2014年數(shù)學(xué)建模競賽論文答卷編號（競賽組委會填寫）:題目編號：（ E）論文題目：中國人口預(yù)測參賽隊員信息（必填）:姓名專業(yè)班級聯(lián)系電話隊員1劉兵電氣12-0618300609766隊員2常自杰電氣12-0618300609985隊員3/答卷編號（競賽組委會填寫）:評閱情況（學(xué)校評閱專家填寫）:評閱1評閱2.評閱3.中國人口預(yù)測摘要我國是一個人口大國，人口問題是關(guān)系到我國經(jīng)濟發(fā)展，社會進步的重要問 題。因此，認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，作岀較準確的預(yù)報，不僅具有實際意義， 也是有效控制人口增長的前提。本文采用由淺到深，由簡單到復(fù)雜的建模原則，依次介紹了三個預(yù)測人口的 模型，即指數(shù)增長模

2、型，阻滯增長模型和考慮年齡結(jié)構(gòu)和生仃模式的人口模型， 并利用我國1999年至2013年人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對模型中的參數(shù)進行求解，最后用 它預(yù)測未來30年我國人口數(shù)量，并分析比較“單獨二孩”政策對人口變化的影 響模型一：建立了指數(shù)增長模型。根據(jù)規(guī)律建立模型公式一一年增長率r不變。 我們要驗證該模型是否適用。取題目中給出的數(shù)據(jù)1999年至2006年的，數(shù)據(jù)擬 合用MATLAB軟件計算的增長率r以及初始人口數(shù)。將以上兩參數(shù)帶入公式，算 的人口數(shù)量，將Z與實際人口數(shù)相比較畫出對比圖形，發(fā)現(xiàn)比較相符。乂取1999 至2013年的數(shù)據(jù)，重復(fù)剛才步驟。發(fā)現(xiàn)算出數(shù)據(jù)前半部分相符，但后半部分不 太符合。所以Malt

3、hus人口模型只適用于短期，并不適用于長期的人口預(yù)測。 因為人口在增長到一定程度時，由于資源和環(huán)境對人口增長的阻滯作用使增長率 下降。模型二：建立了阻滯增長人口阻滯增長模型。根據(jù)査到的數(shù)據(jù)和公式做出人 口的時間變化率與人口容最的關(guān)系圖，以及人口與時間的關(guān)系圖。用MATLAB軟 件計算出增長率和人口容量。根據(jù)得到的數(shù)據(jù)帶入公式，計算人口數(shù)量?？梢钥?出這個模型的吻合度較好。于是阻滯增長人口模型，有效的預(yù)測在以后一段時間 人口增長。模型三：對模型進行了進一步的修正。最后，考慮年齡結(jié)構(gòu)和生育模式對人 口數(shù)量的影響。由此構(gòu)造的模型是我們討論的重點最后，對第三個模型進行優(yōu)缺點評價與改進。關(guān)鍵字人口預(yù)測；

4、mat lab軟件；人口指數(shù)增長模型；阻滯增長模型：年齡結(jié)構(gòu)；生 育模式；優(yōu)化模型1一、問題重述人口的數(shù)量和結(jié)構(gòu)是影響經(jīng)濟社會發(fā)展的覓要因素。從20世紀70年代后期 以來，我國鼓勵晚婚晚育，提倡一對夫妻生育一個孩子。該政策實施30多年來, 有效地控制了我國人口的過快增長，對經(jīng)濟發(fā)展和人民生活的改善做出了積極的 貢獻。但另一方面，其負面影響也開始顯現(xiàn)。如小學(xué)招生人數(shù)（1995年以來）、 高校報名人數(shù)（2009年以來）逐年下降，勞動人口絕對數(shù)量開始步入下降通道, 人口撫養(yǎng)比的柑變時刻即將到來，這些對經(jīng)濟社會健康、可持續(xù)發(fā)展將產(chǎn)生一系 列影響，引起了中央和社會各界的重視。二、問題分析人口的變化受到眾

5、多方而因素的影響，因此對人口的預(yù)測與控制也就十分復(fù) 雜，很難在一個模型中綜合考慮到各個因素的影響。為了更好的解決此問題，我 們先建立兩個簡單的，粗糙的模型，然后，不斷的改進得到最終的優(yōu)化模型。1. 先擬合出指數(shù)增長模型屮的參數(shù)，再檢驗實際人口增長是否相符。由于經(jīng) 歷的時間比較長，所以我們分為長期和短期分別檢驗。就會發(fā)現(xiàn)規(guī)律，短期的符 合該模型，而長期誤差較大。對于這個問題我們認為。由于資源、環(huán)境問題，使 人口增加到一定數(shù)最時，增長率會減慢。據(jù)此改進，我們就得到了第二個模型。2. 得到第二個模型后，先找出增長率隨時間的變化規(guī)律以及人口容量值。分 析人口隨吋間的變化率與人口容量的關(guān)系。然后得出人口

6、與時間的關(guān)系。最后檢 驗計算值與實際值是否相符，結(jié)果顯示符和較好。3. 分析兩模型的優(yōu)缺點，進而，得到最終的優(yōu)化模型，用它預(yù)測未來三十年 中國人口數(shù)量并借它討論分析“單獨二孩”政策對人口變化的影響。三、模型假設(shè)1 模型一人口指數(shù)增長模型（馬爾薩斯Maltlius, 1766-1834）1）時刻t人口增長的速率與當(dāng)時人口數(shù)成正比，增長率為常數(shù)r。2）以P（t）表示時刻t我國的人口數(shù)，設(shè)人口數(shù)P（t）足夠大，可以視作連續(xù)函數(shù)處 理，且P（t）關(guān)于t連續(xù)可微。2. 模型二阻滯增長模型（Logistic）1）地球上的資源有限，不妨設(shè)為1：而一個人的正常生存需要占用資源1/Pm（t）:2）在時刻爲(wèi)人口增

7、長的速率與當(dāng)時人口數(shù)成正比，為簡單起見也假設(shè)與當(dāng)時剩 余資源s = l-P/P,n成正比；比例系數(shù)表示人口的固有增長率；3）設(shè)人口數(shù)P（t）足夠大，可以視作連續(xù)變量處理，且P（t）關(guān)于t連續(xù)可微。3 模型三1) 基于模型一和二，對模型二進行了進一步的修正，得到考慮年齡相關(guān)性和生 育模式的人口增長預(yù)測模型；2) 只考慮自然的出生與死亡，不計遷移等社會因素的影響；3) 在社會安定的局面下和不太長的時間內(nèi)，死亡率大致與時間無關(guān)，于是可近 似的假設(shè)U(r,t) = U(r)；4) 在穩(wěn)定環(huán)境下可近似認為H(r,t)=H(r)«V符號說明模型一t表示某一時刻；P(t)表示時刻t我國的人口數(shù)，P

8、o = P(O)：r表示人口增長率為常數(shù)。2. 模型二t表示某一時刻；P(t)表示時刻t我國的人口數(shù)；Pm(t)表示自然資源和環(huán)境條件能容納的最大人口數(shù)最：I為固有增長率，表示人口很少是(理論上是X=0)的增長率。3 模型三1) F(r,t)：人口分布函數(shù)：2) f(t):嬰兒出生率;3) /(t):總和生育率：4) h(r, t):生育模式。五、模型的建立5.1指數(shù)増長橫型5.1.1 «型建立記時刻t的人口數(shù)為P(t),當(dāng)考察我國的人口時，P(t)是一個很大的整數(shù)。 利用微積分知識，將P(t)視為關(guān)于t連續(xù)可微。記初始時刻(t=0)的認可為P。 加上假設(shè)人口增長率為常數(shù)r,即單位時

9、間內(nèi)P(t)的增最等于r乘以P(t)o當(dāng) 考慮t到t+At時間內(nèi)人口的增最，則有P(t+At) P(t)二 r PZkt (1)令厶tfO,得到P(t)滿足微分方程(4)dP門dt 由這個方程可以解出P(t)=PoeHr>0時，表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長。利用線性最小二乘法，將(3)式取對數(shù)，得到y(tǒng)=rt+a, y=ln P , a=ln P°運用Mat lab編程(程序見附錄1),以1999-2006年至的數(shù)據(jù)對(4)進行數(shù)據(jù) 擬合，得到相關(guān)的參數(shù)a=lnP0=7. 1385; r=0. 0063,得到 P0=exp(a) =1259. 5 (百萬)。 因此可以得到指

10、數(shù)增長模型的方程為：P(t)二1259. 5 *exp(O. 0063*t)(5)同理可得：若以全部數(shù)據(jù)擬合對(4)進行數(shù)據(jù)擬合，得到指數(shù)增長模型的方 程為：P(t)= 1262. 6*exp(0. OO55*t)(6)5.1.2結(jié)果分析與模型檢驗將(5)、(6)式的計算結(jié)果與實際數(shù)據(jù)作比較，表二中人口片是用1999年至 2006年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，P?是用1999年至2013年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，圖1、 圖2是它們的圖形表示(*是實際數(shù)據(jù)，曲線是計算結(jié)果)。(程序見附錄1)表一中國實際人口與按指數(shù)增長模型計算的比較(單位：億)年份1999200020012002200320042005實際人口

11、11578612.674312.762712.845312 922712 998813 0756指數(shù)模型12 625312.694912764912835312 906112 977313 04892006200720082009201020112012201313.144813 212913.280213 345013409113.473513 540413 607213.120913 193213.266013 339113 412713 486713 561113 6359513102356圖1指數(shù)增長模型擬合圖形(19992006)12300圖2指數(shù)增長模型擬合圖形(19992013)

12、可以看出，用這個模型基本上能夠描述二十世紀以前中國人口的增長，但是5進入21世紀以后，中國人口增長率變慢，這個模型就不合適了。顯然，用它作短期人口預(yù)測也可以得到較好的結(jié)果。即在這種情況下：模型 的基本假設(shè)人口增長率是常數(shù)大致成立。但是從長期來看，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，即指數(shù)模型不能描述 也不能預(yù)測較長時期的人口演變過程。排除災(zāi)難、戰(zhàn)爭等特殊時期，一般來說, 當(dāng)人口較少時，增長較快，即增長率較大；人數(shù)增長到一定數(shù)量以后，增長就會 慢下來，即增長率減小。預(yù)測未來30年中國人口的數(shù) P(t)= 1262.6*exp(0.0055*t)(白萬) 以下表格中的數(shù)據(jù)單位為 (億)年份201420

13、1520162017201820192020指數(shù)模型13 78713 86313 9401401714 09414 17214 2502021202220232024202520262027202814.3291440814 48714 56714.64714.72814 80914 8912029203020312032203320342035203614 97315 05615 13915 22215 36C15 39115047615 561203720382039204020412042204315 64715 73315.82015.90715 99516 08316 172査權(quán)威數(shù)

14、據(jù)可知，我國最大的人口容量是15-16億，上表中的數(shù)據(jù)大于16 億，并有繼續(xù)上升的趨勢，因此，此模型誤差較大，究其原因，主要在于沒有資 源、環(huán)境的限制。5. 2阻滯增長模型5. 2.1模型建立人口增長到一定數(shù)量后增長率下降的主要原因中，自然資源、環(huán)境條件等因 素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大。阻滯 增長模型就是考慮了這些因素，對指數(shù)增長的基本假設(shè)進行修改后得到的。阻滯增長作用主要是體現(xiàn)在對人口增長率r的影響上，使得隨著r的增長人 口數(shù)量P(t)的增長而下降。則可以把r表示為P的函數(shù)r(P),且它應(yīng)是減函數(shù)。 于是方程應(yīng)該改寫為= rP, P(0) =P0(1)d

15、t假設(shè)r(P)是一個關(guān)于P的線性函數(shù)，即r(P) =r-Ps(r>=0, s>0)(2)其中這里的r為固有增長率，表示人口很少是(理論上是戸0的增長率。引入口然資源和環(huán)境條件能容納的最大人口數(shù)SP,(t)當(dāng)P(t)二P.(t)時，人口不再增長,即增長率r(P)=0,代入得到s二二于是有P(t)=r(l-_)Pm將(3)代入方程得竽=P),P(O)=Po(4)dtPill解方程(4)可得：心人P(5)1+(-根據(jù)方程(4)作出 %卩曲線圖，見圖1-1,由該圖可看出人口增長率隨 人口數(shù)的變化規(guī)律.根據(jù)結(jié)果(5)作岀Pt曲線，見圖1-2,由該圖可看出人口數(shù) 隨時間的變化規(guī)律.人口變化率雖

16、人口數(shù)量増加的變化曲線20.080.060.040.0215°0510人口數(shù)/億人(d y/d t 即為 ci p/d t)一PMPUSA 無蘭©< y8圖1-25. 2. 2結(jié)果分析與模型檢驗據(jù)中國科學(xué)院國情研究中心公布的資料，中國的整個自然環(huán)境最多能容納 1516億人口，做保守估計，取r=0. 0405,Pm=1500百萬.將卩00405, P二1500代入公式(5)則有：1500理)=求出用阻滯增長模型預(yù)測的2014-2043的人口數(shù)，也可將方程(4)離散化 得：P(f + 1) = P(O + AP = P(O + r(lt 二 16,

17、17, 18,(6)預(yù)測未來30年中國人口的數(shù):用公式(6)預(yù)測2014-2043的人口數(shù)，結(jié) 果見表以下表格中的數(shù)據(jù)單位為(億)年份2014201520162017201820192020阻滯模型13 709413 762813 814513.864413 912713 959514 00462021202220232024202520262027202814 048314 090414 131214 170514 208514.245214 280614 31472029203020312032203320342035203614 347714 379414410114 439714468

18、214 495714 522114 5477203720382039204020412042204314 572314 596014 618814 640814 662014 682414 7020圖三 阻滯增長模型擬合圖形（以1999年為起點）可以看出，這個模型，但是最后一段（21世紀中葉以后）吻合得很好。且從 表中可以看到，誤差是較小的，在允許的誤差范圍之內(nèi)，與上圖情況一樣。所以 這個模型能夠更好的預(yù)測人口增長。5. 3優(yōu)化橫型5. 3.1模型建立指數(shù)增長模型和阻滯增長模型都是針對人口總數(shù)和總的增長率，不涉及年齡 結(jié)構(gòu)。事實上，在人口預(yù)測中人口按年齡的分布狀況是十分重要的，因為不同年 齡的

19、人的生育率和死亡率有著很大的差別，兩個國家或地區(qū)目前人口一樣，如果 一個國家或地區(qū)年輕人的比例明顯高于另一個國家或地區(qū)，那么二者人口的發(fā)展 狀況將大不一樣。在考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口模型中，除了時間變量外年齡是另一個 變量使人口數(shù)屋和結(jié)構(gòu)變化的因素不外乎岀生，死亡和遷移。為簡化起見，考慮 門然的岀生與死亡，不計遷移等社會因素的影響。為研究任意時刻不同年齡的人 口數(shù)量，引入人口的分布函數(shù)和密度函數(shù)時刻t年齡小于I的人口稱為人口分布 函數(shù)F(r,t),其中r,t為非負數(shù)，均為連續(xù)變量，設(shè)F是連續(xù)的，可微的。年份 t的人口總數(shù)為N(t),人的最大壽命為"，理論推導(dǎo)時設(shè)一無窮。于是對于 非負非降函

20、數(shù)F(r,t),則有如下關(guān)系：F(0,/)= 0,心，/)= N(z)(1)人口密度函數(shù)的定義:drp(r, t)dr表示時刻t年齡在區(qū)間r, r+dr)內(nèi)的人數(shù)。記M (r, t)為時刻t年 齡r的人的死亡率，其倉義是U (r, t)p(r, t) dr表示時刻t年齡在r, r+dr)內(nèi)單 位時間死亡的人數(shù)。為了得到P(r,t)滿足的方程，考察時刻t年齡在r, r+dr)內(nèi)的人到時刻t+dt 的情況。他們中活著的那一部分人的年齡變?yōu)閞+drl, r+dr+drl),這里drl=dt, 而在dt這段時間內(nèi)死亡的人數(shù)為U (r,t)p(r,t)drdto于是p(r, t) dr-p(r+drl,

21、 t+dt)dr= U (r, t)p(r, t)drdt (3)上式可寫作p(r+drl, t+dt)-p(r, t+dt) dr+p(r, t+dt)-p(r, t) dr 二- U (r, t)p(r, t)drdt注意到drl二dt,就可得到：字 + 嬰=-(4) dr dt這是人口密度函數(shù)p(r, t)的一階偏微方程，其中P (r, t)為己知函數(shù)。上方程有兩個定解條件：初始密度函數(shù)記作p(r, 0)=p0(r)：單位時間出生 的嬰兒數(shù)記作p(0,t)=f(t),稱為嬰兒出生率。Po(r)可由人口調(diào)査資料得到，是 己知函數(shù)：f(t)則對預(yù)測和控制人口起著重要作用，后面將它進一步分析，

22、將方 程(13)及定解條件寫作or dt< p（F,O） = pQ （r）, r > 0P（0，dQ）,宀0這個連續(xù)型人口發(fā)展方程描述了人口的演變過程，從這個方程確定出密度函 數(shù)p(r,t)以后，立即可以得到各個年齡的人口數(shù)，即人口分布函數(shù)方程(14)的求解過程比較復(fù)雜，我們給出一種特殊情況下的結(jié)果。在社會10安定的局面下和不太長的時間內(nèi)，死亡率大致與時間無關(guān)，于是可近似的假設(shè)口 (r, t)= P (r) o這時(14)的解為pgt)=pg 一匚#讀者可以驗證(16)式滿足方程(14) o這個解在tOr平面上有一個淺顯的解釋: 圖5中對角線wt將tOr半面(t, r>=0)

23、分為兩部分，tr區(qū)域，p(r,t)完全由年 齡為r-t的人口初始密度pO(r-t)和這些人的死亡率決定；而在t>r區(qū)域,p(r, 1) 則由未來的生育狀況及死亡率決定.生育率和生育模式#在方程仃4)或解(16)中pO(r)和可從人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到，也可以由粗略估 計。這樣，為了預(yù)測和控制人口的發(fā)展狀況，人們主要關(guān)注和可以用作控制手 段的就是嬰兒出生率了。下面對做進一步分解。記女性性別比函數(shù)k(r,t),即時刻t年齡在r, rdr的女性人數(shù)為 k(r, t) p(r, t) dr,將這些女性在單位時間內(nèi)平均每人的生育數(shù)記作b(r,t),設(shè)存齡區(qū)間為rltr29則：(10)再將 b(r, t)

24、定義為:b(r, t) = 0(t)H(r,t)t2其中H(r,t)滿足： 卩(和)応1rlr2于是Z?(0= b(r,t)drrlr2/a)=處)Jrl由(20)式可以看出，的直接含義是時刻t單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育 數(shù)。如果所有育齡女性在她存齡期所及的時刻都保持這個生育數(shù)，那么也表示 平均每個女性一生的總和生育數(shù)，所以稱為總和生育率或生育胎次。從(18), (19)兩式及b(r,t)的含義可以看出,H(r,t)是年齡為女性的生育 加權(quán)因子，稱生育模式。在穩(wěn)定環(huán)境下可以近似地認為它與t無關(guān)，即 H(r,t)=H(r)o H(r)表示了在哪些年齡生育率高，哪些年齡生育率低。圖八給出 T

25、H(r,t)的示意圖，表明附近生育率最高。由人口統(tǒng)計資料可以知道當(dāng)前實際 的H(r,t)。做理論分析時，人們常采用的H(r)的一種形式是借用概率論中的F 分布12#并取0二2, a =n/2,這是有仃2)r(c)=rl+n-2可以看出，提高門意味著晚婚，而增加n意味著晚育。這樣，人口發(fā)展方程和單位時間出生的嬰兒數(shù)的表達式，構(gòu)成了我們的連續(xù) 型人口模型。模型中死亡率函數(shù)M (r),性別比函數(shù)k(r,t)和初始密度函數(shù)p0(r) 可以由人口統(tǒng)計資料直接得到，或在資料的基礎(chǔ)上估計，而生育率卩(t)和生育 模式H(r,t)則是可以用于控制人口發(fā)展過程的兩種手段。生育率函數(shù)可以控制 生育的多少，年齡為女

26、性的生育模式可以控制生育的早晚和疏密。而我國的計 劃生育政策正是通過這兩種手段實施的。模型的求解通過査閱人口統(tǒng)計資料，整理制表，并作擬合，我們得到關(guān)于U(!)的以下數(shù) 據(jù)不同年齡段的死亡 率年齡段死亡率0-150. 0041616350. 0015836600. 013365以上0. 19254擬合得到的曲線圖(程字見附錄)說明:擬合時，取各個年齡段的中值,即(8, 0. 00416),(25, 0. 00158)(48, 0. 0133), (7& 0. 19254)由擬合的程序，我們得到u (r)的表達式n (r) = 0. 0001r-0. 0038x4-0. 0361(13)通

27、過查閱人口統(tǒng)計資料，整理制表，并作擬合，我們得到關(guān)于k(r,t)的以 下數(shù)據(jù)年份raft2003200520072009平均值11913. 0512. 1412.4512. 5712. 5525204420.2120. 1920.1520. 0220. 1425456412. 2311.9812.1812. 0812. 117565以上4.85. 24. 94. 84. 925總計50. 2949.5149.4849. 4749. 6875擬合得到的曲線圖(程序見附錄)132220說明：擬合時,取各個年齡段的中值,即(10,12.55), (31,20.14)(54,12.5), (80, 4

28、.9)通過觀察表()，可以發(fā)現(xiàn)一女性性別比k與時間t基本無關(guān)，所以可以近似 認為 k(r, t)=k(r)由擬合的程序，我們得到k(r)的表達式：k(r)=-0. 0064r+0. 4437r(14)通過查閱人口統(tǒng)計資料，整理制表，并作擬合，我們得到關(guān)于po(r,t)的以下數(shù)據(jù)年份1999200020012002200320042005出生率0. 14640. 14030. 13380. 12860. 12410. 12290. 124年份2006200720082009201020112012出生率0. 12090. 1210. 12140. 11950. 1190. 11930. 121擬

29、合得到的曲線圖(程字見附錄)由擬合的程序，我們得到f(t)的表達式f(t)=O. 0003t2-0. 00541+0. 1443(15)通過査閱人口統(tǒng)計資料，整理制表，并作擬合，擬合得到的曲線圖(程丿子見附錄)由擬合的程旳 我們得到P°(r)的表達式(萬)(16)p0(r)= -0. 6r+27. 2r+2139. 5(2) 模型的求解中的轉(zhuǎn)化在建立了考慮年齡相關(guān)性的連續(xù)預(yù)測模型后，在求解該方程時，我們認為如 果直接從該偏微分方程組解出P(r，0的解析解困難較大，故在求解該模型的解 時，我們采用的指導(dǎo)思想為：將連續(xù)模型離散化，采用遞推算法，并結(jié)合Matlab程序進行求解。設(shè)X(rM)

30、為第t年，年齡為r周歲但不滿r+1周歲的x人群人口總數(shù)，貝lj：rl+1=J P(r,t)drrlm為人可以活到的最大年齡數(shù)。對丁在考慮年齡的人口預(yù)測連續(xù)性模型中，我們推導(dǎo)出的P(* t)滿足:P(r + dt、t + dt) 一 PQ、t + dt) + P(it + dt) 一 P(r,t) = -u(r9t)P(i ,t)dt 要將該模型離散化，可令：dr = l,dt = l代入上式對r從r到r+1積分可得：r+1XQ +1+1) - X(r,t) = - fu(r,0P(r,O-對丁該式使用積分屮值定理可以得出:u(it)P(iyt)dr = u(r,0j P(r,t)dr = M(

31、廠)X(廠,t)該式中的M() =0. 053即為各年齡加權(quán)平均死亡率。因此，我們得到：X(r + 1, Z + 1) - ",/) =/)下面我們考慮模型中邊界條件的離散化。根據(jù)我們已掌握的數(shù)據(jù)資料，我們以1999年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)作為初始條件。設(shè)1999年人口總數(shù)為N(0)，各年齡人口所占百分比為力(匕0)1999年年齡為I人口總數(shù)X(fJ)為:X0,O) = N(0)x力(匕0)171.0而每年的新生兒出生率應(yīng)該滿足：“(°=J卩rl其中”(r)為x人群的總和生育率，即表示一定時期(如某一年)各年齡組婦女 生育率的合計數(shù)，說明每名婦女按照某一年的各年齡組生育率度過育齡期

32、，平均 可能生育的子女?dāng)?shù)，而Hg)即為我們建立的育齡婦女生育模式函數(shù)。綜上所述，我們所建立的考慮年齡的連續(xù)性模型經(jīng)過離散化改寫后，可以寫為：+1+1) - X(rQ =29X(0,t +1)=工 Pit) x XQ +13,/：i x H0)+ X(0j)r-0y,0) = N(0) x A(r,0)(一)模型的求解結(jié)果依據(jù)所建立的模型，我們利用Mat lab軟件程序編程預(yù)測出了中國人口在未來90 年的增長。通過調(diào)節(jié)與不同年份t之間的關(guān)系可以達到人口控制的目的，同時可以17滿足短、屮、長期人口變化趨勢的需求。但是由于生育政策的調(diào)節(jié)欲實施效 果是需要一定時間才能在人口總數(shù)中反映出來的，即我們通常

33、意義下的效應(yīng) 時間，因此，建立隨時間t的連續(xù)變化函數(shù)是不符合，我們近似的認為B (t)二1.3 (通過査閱各年的B (t)值，并取平均值)。依據(jù)我們改進后的模型 得出的解，中國人口總數(shù)將在2025年達到峰值，最高值為14. 71億。從2014 年起30年后，即2043年，人口數(shù)是14. 5億。如果考慮在2014年全面開放“單獨二孩”政策，則B (t)值應(yīng)取2。由 模型得出的解，中國人口總數(shù)將在2033年達到峰值，最高值為15. 21億。 從2014年起30年后，即2043年，人口數(shù)是15.0億。模型的評價一、模型的優(yōu)點：1、建立模型時從預(yù)測模型的基本模型入手，由淺入深，分別建立了三種預(yù) 測中國

34、人口總數(shù)的數(shù)學(xué)模型：Maul thus模型、Logistic模型，以及考慮年齡的 連續(xù)性預(yù)測模型。我們對每一種模型的缺陷都進行了討論，最后得出最終的模 型2、在模型三中我們充分考慮到不同年齡的個體具有不同的生育能力和死亡 率，建立年齡結(jié)構(gòu)的離散模型，并通過合理假設(shè)，對人口數(shù)量僅此進行了預(yù)測， 得到人口數(shù)量變化趨勢.3、由于在我們的模型中引入了、兩個控制人口增長模式的因子，因此，我 們建立的模型不僅可以預(yù)測人口總數(shù)的趨勢，還可以通過調(diào)節(jié)這兩個控制因子， 得到不同生育模式下的人口變化，從而可以為政府在制定生育政策吋提供參考的 依據(jù)。4、在得到模型的解后，我們預(yù)測了未來30年中國人口，并分析比較了“

35、放 開二孩”政策對人口變化的影響二、模型的缺點：1、在模型假設(shè)中我們未考慮如自然條件的突變，社會經(jīng)濟的波動等因素。2、我們在模型求解時，是將人口的死亡率和出生率視為與時間無關(guān)的函數(shù)，這 在短期內(nèi)是符合中國社會的實際情況的，但是在進行長期預(yù)測時，時間對于出生、 死亡率的影響會明顯加強，因此對于長遠的估計便會產(chǎn)生一定的誤差。3、在我們建立的模型中并沒有考慮農(nóng)村人口與城市人口的遷移率，因此在較長 的時間內(nèi)，由于部分農(nóng)村人口遷移到城市后，其生育率實際上是低于農(nóng)村人口， 若沒有考慮由于人口流動帶來的生育率的變化，該預(yù)測模型對于長遠的人口總數(shù) 預(yù)測是不精確的。三、模型的改進及推廣四.模型的改進：1、進一步

36、考慮人口遷移，城市化，人口老齡化等因素對人口變化的影響2、建立出生率及死亡率會隨時間的動態(tài)模型四、模型的推廣本文首先不考虔環(huán)境和資源的限制，建立了短期預(yù)測人口的指數(shù)增長模型； 接著，我們考慮該因素的影響，建立了阻滯增長模型：然后進一步考慮年齡結(jié)構(gòu) 和生育模式對人口增長的影響，逐步改進，建立了優(yōu)化模型，對人口增長進行預(yù) 測，這種由簡到繁，逐步加深的思想，可以應(yīng)用到較復(fù)雜問題的處理上。參考文獻1 姜啟源，謝金星，數(shù)學(xué)模型，高等教育岀版社，2010,第四版2 王綿森，馬知恩，工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)，高等教育出版社，2006,第二版3 李信真，歐陽潔等，計算方法，西北工業(yè)大學(xué)出版社，2010,第二版4 劉美

37、麗，MATLAB語言及其應(yīng)用，國防工業(yè)出版,2012,第一版5 河南理工概率論與數(shù)理統(tǒng)計教研組，高等教育出版社，2013,第一版http:/www. stats, gov. cn/zjtj/gjtjj/201311/t20131108_457871. html附錄1、以1999年至2006的數(shù)據(jù)對(4)進行數(shù)據(jù)擬合并畫出指數(shù)增長擬合圖形： t= 0:1:7;y二1257. 86, 1267. 43, 1276. 27, 1284. 53, 1292. 27, 1299. 86, 1307. 56, 1314. 48； yl=log(y);a二polyfit (t, yl, 1) a -0. 0

38、0637. 1385» plot (t, y,' *')>> Hold on>> exp (7. 1385)ans =1.2595e+003» y2=1259. 5*exp(0. 0063*t);>> plot (t, y2,' r )2、以1999年至2013的數(shù)據(jù)對(4)進行數(shù)據(jù)擬合并畫出指數(shù)增長擬合圖形：t= 0:1:15;y二1257. 86, 1267. 43, 1276. 27, 1284. 53, 1292. 27, 1299. 88, 1307. 56, 1314. 48, 1321. 29, 13

39、28. 02, 1334. 50, 1340. 91, 1347. 35, 1354. 04, 1360. 72; yl=log(y);a=polyfit (t, yl, 1)0. 00557. 1409 » plot (t, y,' *')>> Hold onexp(7. 1409)ans =1. 2626e+003» y2=1262. 6*exp(0. 0055*t):» plot (t, y2,' r )3、阻滯增長模型擬合圖形(以1999年為起點) c0=16, 0. 5, 0. 006;» f P n=inl

40、ine C c(l). /(1+c (2). *exp(c (3)*t)' c',' t');» b=nlinfit (t, y, f U n, cO)b = 15. 19290. 20700. 0405yl=l5. 1939. /(1+0. 207. *exp(-0. 0405*t)；» plot (t, y,' *')» Hold on>> plot (t, yl,' r )xlabelf 從 1999 年起 時間 t/H')» /label C 人口數(shù)/億')» grid» titleC阻滯增長增長模型擬合效果圖')4、模型變化率y3=dsolve Dy=0. 0405*y*(l-y/15)',' y(0)=12. 5786'， t') y3=15. / (1+0. 1925. *exp(-0. 0405*t);t 二0:100;plo