平方根提高知識(shí)講解

1、平方根(提咼)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根.2了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開(kāi)方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2 a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根(規(guī)定o的算術(shù)平 方根還是0) ； a的算術(shù)平方根記作a，讀作“ a的算術(shù)平方根”，a叫做被開(kāi)方數(shù)要點(diǎn)詮釋：當(dāng)式子有意義時(shí)，a 一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即,3> o, a> 0.2.平方根的定義如果x2 a，那么x叫做a的平方根求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平 方平 方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算 a

2、 (a> 0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為,a (aO)，其中a是a的算術(shù)平方根.要點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1區(qū)別：(1)定義不同；(2)結(jié)果不同：f和72 聯(lián)系：(1)平方根包含算術(shù)平方根；(2) 被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；(3) 0的平方根和算術(shù)平方根均為0.要點(diǎn)詮釋：(1 )正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的 算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.(2)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立 即寫出它的另一個(gè)平方根因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研 究平方根.要點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)要點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根

3、的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位例如：.62500250,: 625256252.5，、0.0625 0.25 .【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念1、(2015秋？張家港市校級(jí)期中)已知2a- 1的平方根是土 3, 3a+b9的 立 方根是2, c是：的整數(shù)部分，求a+b+c的平方根.【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)平方根與立方根的概念可得2a1與3a+b9的值，進(jìn)而 可得a、b的值；接著估計(jì)打二的大小，可得c的值；進(jìn)而可得a+b+c,根據(jù)平方根的 求法可得答案.【答案與解析】解：根據(jù)題意，可得2a 仁9, 3a+b9=8;故 a=5 , b=2;又2v%迪v3，c=2 'a+b+

4、c二5+2+2=9 9的平方根為土 3.【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義及無(wú)理數(shù)的估算能力，還要掌握實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算技能，靈活應(yīng)用.舉一反三：【變式】已知2a 1與一 a + 2是m的兩個(gè)不同的平方根，求m的值.【答案】2a 1與一a + 2是m的平方根，所以2a 1與一a + 2互為相反數(shù). 解：當(dāng) 2a 一 1 +（一 a + 2）= 0 時(shí)，a 二 一 1，所以 2a1 2 2（1） 123 2 9G2、x為何值時(shí)，下列各式有意義（1）X2;一 C; （3）；一X3【答案與解析】解：（1）因?yàn)?quot;0,所以當(dāng)x取任何值時(shí)，都有意義.（2）由題意可知：x4 0

5、，所以x4時(shí)x4有意義.x 1 0, ,（3）由題意可知：解得：1 x 1 .所以1 x 1時(shí)x 1.1 x1 x0有意義.x 10（4）由題意可知：，解得x1且x3 .X30所以當(dāng)X 1且x 3時(shí)，一 x_1有意義.X3【總結(jié)升華】（1）當(dāng)被開(kāi)方數(shù)不是數(shù)字，而是一個(gè)含字母的代數(shù)式時(shí)，一定要討 論，只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)時(shí)，式子才有意義. 當(dāng)分母中含有字母時(shí)，只 有當(dāng)分母不為0時(shí)，式子才有意義.舉一反三：【變式】已知b 4.3a 2【答案】 1 122 3a 2，求-的算術(shù)平方根.Qo O解:根據(jù)題意，得乙2 3aaHu 貝o 5o，所以 b-2,a13a b2a b二的算術(shù)平方根為一：2 .

6、a b. a b類型二、平方根的運(yùn)算G 3、求下列各式的值.(1) J252 242 g J32 42 ; (2) A20- -70.36 A/900 .435【思路點(diǎn)撥】(1)首先要弄清楚每個(gè)符號(hào)表示的意義(2)注意運(yùn)算順序.【答案與解析】解:(1) 252 242 g . 32 42.49 g. 25 7 5 35 ;1 1(2) - 20, 0.36431R1 1199000.6 - 305V4 35 0.2 621.7 .【總結(jié)升華】(1)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方幵方，再乘除，后加減，同一級(jí) 運(yùn)算按先后順序進(jìn)行.(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來(lái)解， 熟練后直接

7、根據(jù) a2 a(a 0)來(lái)解.類型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x.(1) X2 3610；2(2) x 1289;(3) 9 3x264 0【答案與解析】 解：(1)V x2 3612X 361x .36?19289 X 1、289x+ 7 =±17x 二 16 或 x 二一18.2(3) v 93x2 640264-3x268二 3x232十14x -或x 99【總結(jié)升華】本題的實(shí)質(zhì)是一元二次方程，開(kāi)平方法是解一元二次方程的最基本方 法.(2) (3)小題中運(yùn)用了整體思想分散了難度.舉一反三：【變式】求下列等式中的x:(1)若 X2 1.21 則 x 二;(2) X2 1

8、69，則 x 二;29 22(3)右 x ,則 x = ;4【答案】61 )± 1.1 ; ( 2)± 13;( 3)類型四、平方根的綜合應(yīng)用【高清課堂:389316平方根:例5G5、已知a、b是實(shí)數(shù)，且|b,2|0【答案與解析】解：a、b是實(shí)數(shù)，,2a 6二 2a 6 0，b、20 .XV貝2X 若 )/解尖于x的方程(a 2)x b2 a 1 .|b、0 ，,2a 60 ，|b 、 . 2| 04，一 x 二2)x b2 a 1，得一 x + 2二.【總結(jié)升華】本題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與方程的知識(shí)相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出 a、 b的值，再解方程此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)

9、平方根、絕對(duì)值三者的非負(fù) 性，只需令每項(xiàng)分別等于零即可.舉一反三：【高清課堂:389316平方根:例5練習(xí)】【變式】若x2 1 .y1 0，求好。"嚴(yán)伍的值.【答案】解：由 X2 1 y 10，得 / 10，y 1 *2012(1)2 .X 二2011 2012,2011當(dāng)1 y二一1時(shí)，x y 1當(dāng) x 二一1, y 二一1 時(shí)，x2011 y2012 ( 1 )2011 ( 1 )2012 0 .【高清課堂:389316平方根:例626、小麗想用一塊面積為400 cm?的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片，使它長(zhǎng)寬之比為 3:2，請(qǐng)你說(shuō)明小麗能否用這塊

10、紙片裁出符合要求 的長(zhǎng)方形紙片【答案與解析】解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3x ( x >0) cm，貝U寬為2x cm，依題意 得3x 2x 300.26x 300.x2 50./ x >0、 x .50 . 長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3. 50 cm. 50 > 49, 、50 7. 3.5021，即長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)大于20cm由正方形紙片的面積為400 cm2,可知其邊長(zhǎng)為20cm, 長(zhǎng)方形的紙片長(zhǎng)大于正方形紙片的邊長(zhǎng)答：小麗不能用這塊紙片裁出符 合要求的長(zhǎng)方形紙片.【總結(jié)升華】本題需根據(jù)平方根的定義計(jì)算出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再判斷能否用邊長(zhǎng) 為20-的正方形紙片裁出長(zhǎng)方形紙片.舉一反三：【變式】(2015春？臺(tái)安縣月考)某小區(qū)為了促進(jìn)全民健身活動(dòng)的開(kāi)展，決定在一 塊面積約為1000m的正方形空地上建一個(gè)籃球場(chǎng)，已知籃球場(chǎng)的面積為420m,其中 長(zhǎng)是寬的一倍，籃球場(chǎng)的四周必須留