巧用向量方法解決最值問題

1、巧用向量方法求解決最值問題梁常東'蔣曉云2（1欽州師專數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系廣西欽州5350002桂林師專數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系廣西桂林541001）在中學(xué)數(shù)學(xué)中，對(duì)某些代數(shù)式的最值問題通常使用湊配技巧（如配方法）求解，現(xiàn)在高 中數(shù)學(xué)增加了向量內(nèi)容，我們使用向量方法求解最值問題，特別是一些無理式的最值問題， 可以大大簡化解題過程，提高解題效率，收到事半功倍的效果。1利用向量的數(shù)量積求最值設(shè)向量iri = （x, y,）, n = （a,b）則用與亓的數(shù)量積為:m n = |/7/|-1/)| cosZ(/h, n) = ax+by,從 而有:mn<網(wǎng)冋，當(dāng)且僅當(dāng)用與亓同向時(shí)取等號(hào)(1)，

2、即”+燈絲啤cr +1廣當(dāng)且僅當(dāng)沆與亓同向時(shí)取等號(hào)完全類似地，設(shè)向量帀=（兀”z）, H=（a9b.c）9則帀與丘的數(shù)量積為:iri-n =ax + by + cz，從而也有:m n<|/n|-1«|,當(dāng)且僅當(dāng)歷與亓同向時(shí)取等號(hào)；2 » （nrn）-即/ + 2 *疋（屮'+）,當(dāng)且僅當(dāng)用與亓同向時(shí)取等號(hào)。1 1|n|a-+b+c-在求解某些初等代數(shù)最值問題時(shí)，根據(jù)條件和結(jié)論的特點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用 向量的數(shù)量積，往往能避免繁雜的湊配技巧，使解答過程直觀又易接受，下面舉例說明：例1設(shè)x,y R且x + 2y = 10,求函數(shù)w = x2 + y2的最小

3、值。解:設(shè)帀=（x,y）,H = （1,2）,由定義有:m n = x+2y = 10,|/n| =x + y2,|n|2 =5從而k- = x2 + y2 = l/nl2 >= = 20,當(dāng)且僅當(dāng)歷與亓同向，即- = ->0網(wǎng) 512時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x = 5,y = 2.5時(shí)，w = x2 + y2取得最小值20。例2設(shè)CpC2,C3 > 0且甘2 + C2x2 + C3X3 = C （c為正的常數(shù)）,求函數(shù)+C2X2 +C3X3的最小值。解：設(shè)m =（陽辰亓=（憶，忑，何），則y =胡+ c工+罔=時(shí) > 匹型=(g+g+yj =丄|/?|q + c? + c3q

4、 +c2 + c3當(dāng)且僅當(dāng)用與亓同向時(shí)即A| = x2 = x3 > 0取等號(hào)，所以當(dāng)X)= X, = x3 =時(shí)，C| + c2 + c3c2y取得最小值.C + 6 + c3X4V474例3 若 ,且 x + y + z = l,求 w= + + 的最小值。>v-y) z(i-z)4i-xj解：設(shè)/ 、歷=I兩務(wù)右命 |時(shí)5'阿司趙r君r洛廿罟二(x2 + y2 + z2J)1一/)+乙(1一刊+乂1一“)x+y+z3-x+y+zY屮占右 _<a-2)2(y2)2(z2)2心息有丙石礦喬迥+只匚7)(x2+y2+z2)2(x+y + Z)_X + y+即對(duì)任意的九

5、y當(dāng)x = y = z=丄時(shí)，(水)后一個(gè)不等式取等號(hào)，這時(shí)w剛好取得最小值丄。 382利用向量的三角不等式求無理多項(xiàng)式的最值向呈三角不等式主要有以下四個(gè)：(1) |m|4-|w|>|m+n|,當(dāng)且僅當(dāng)用與帀同向時(shí)取等號(hào)；(2) |m| + |n|>|m-n| 當(dāng)且僅當(dāng)用與亓反向時(shí)取等號(hào)；(3) |m|-|H|<|m-H|，當(dāng)且僅當(dāng)用與匝反向時(shí)取等號(hào)；|/m|-|H|<m-n，當(dāng)且僅當(dāng)歷與匝同向時(shí)取等號(hào)。利用這些不等式來求一類無理式的最值，?？梢院喕\(yùn)算，收到事半功倍的效果。關(guān)鍵是注意它們?cè)谑裁礂l件下等號(hào)成立。例4當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)y =4x + 13 + J-10x

6、+ 26有最小值，并求出這個(gè)最小值。分析：因函數(shù)y = J4x + i3 + J-0x + 26含有無理式，利用湊配技巧來求最 值比較麻煩，下面利用向量的數(shù)量積來求解。解：將函數(shù)變形為 y = J(x_2)2+3? +J(x5尸 + (_1)2 ,設(shè)用= (x-2,3),萬=(x-5,-l),則有 =7(x-2)2+32 +7(-v-5)2+(-l)2=|/i| + |n|>|/?i-n| = 732 +42 =5 ,c ai 7當(dāng)且僅當(dāng)帀與亓反向，即一 = <0時(shí)取等號(hào)；所以x =時(shí)，原函數(shù)的最小值為5。x-5-14I例5已知實(shí)數(shù)滿足條件x+y = 10,求z = 心+25 一庁

7、門的最大值。解：z = 77+25 - Jy2+4 = ylx2 + 25 -7(10-x)2+4 ,令 m = (x,5),/i = (10-兀,-2)則 ylx2 + 25 -7/+4 = |/7?| -1»| < m + n = a/102 +32 = VW9(*)對(duì)任意的 x, y e R,總有 z = yjx2 + 25 - J)，+ 4 < 心 +25 一 Jy，+ 4 < V109當(dāng)且僅當(dāng)歷與亓反向，即丄二| =丄<0時(shí)(杠)取等號(hào)，即當(dāng)x = , y = N時(shí), 兀5 133+ 25 -yy2 + 4 有最大值為 J109 ,且 Jx2 + 2

8、5 > yy2 +4 ,這時(shí)Z =厶2 +25 _ J" + 4 二厶2 +25 _ J? +4 取到最大值 J109。例6已知x,y是小于1的數(shù)，求2 = 2+),2 +J(x_)2+，2 + 儀+(_),)2 + J(_x)2 +(1一井的最小值。分析：因?yàn)榫W(wǎng)+ |對(duì)+網(wǎng)+ |劃引鬲+禺+鬲+元問題轉(zhuǎn)化為如何設(shè)和= 1,2,3,4, 使2 =囲+|引+網(wǎng)+馬|,且低+毛+百+引中不含x,y，還要保證這4個(gè)向量同向,此 時(shí)才能取等號(hào)。解：設(shè)召=(x,y),無2 =(1 -”，刃,壬3 =(兀，1 一刃，無4 =(1 一兒1 一y)，則 z = JF + y 2 + J(x 一 1)2 + y 2 +