典型問(wèn)題歸納與總結(jié)

1、第八章各章節(jié)典型問(wèn)題總結(jié)一、第一章典型問(wèn)題1. 當(dāng)X X。時(shí)，函數(shù)f(x)的極限等于A的充分必要條件是了_1 -x, x : 0例1 f(x)=，在點(diǎn)x=0處極限存在，則a =2x , a, x _ 0lim f (x) =lim (1 一x) =1，所以x0 x0 2lim f(x) = lim (x a) =1二 a =1 ；x -0 x 0 0用它可以計(jì)算三角函數(shù)的型的極限問(wèn)題1lim (1 x) =e.2. 兩個(gè)重要的極限(熟練掌握)(1) .重要極限哩乎=1.1(2) .重要極限 lim (1 -)x =e .xYx解 limSin(2x-1) imx 1 i1 12 2Sin(x-

2、1)-lim 1 limx)x 1x1 x 1 X1x 112.limsin2xsin 2x2 sin2xsin 2xlimlim2 lim2 1 = 2.x 0 x x )02x 2x 10 2x1例 4 lim(1)x=x護(hù)3x解叫-八叫1 土宀J33. 當(dāng)x；:時(shí)，針對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)的商55+2X m. HX解先用X2同時(shí)除分子分母，然后取極限，得limx_f3x二 lim x ”2X=04. 代入法 lim f(x)二 f (Xo)x0例6 lim啞1)X-2x 1解 佃怡嗆-1)=伽(2-1)七門(mén)17 x-12-1常見(jiàn)的錯(cuò)誤做法：第一個(gè)重要極限公式或等價(jià)無(wú)窮小代換，把它錯(cuò)誤理解為型例7l

3、n (x 1) limx 1 x 1解ln (x 1) lim=ln(1 1)ln 2x 1 x 11 125 不含三角函數(shù)的0型0方法：設(shè)法消去分子分母中趨于零的因子，消去此因子基本方法是分解因式題例 8 lim 9.(08 年第 21 題)T X -3解所給函數(shù)的分子分母的極限都為零，可約去公因子X(jué)-3，故X2 -9 lim x 3 x - 3(x-3)(x3)x 3x2 _ 4x 亠 3lim (09 年第 11 題)x 3 x -3x所給函數(shù)的分子分母的極限都為零，可約去公因子x-3，故解x2 -4x 3. (x-3)(x-1) x-12解 lim 2limlimxt x -3x i

4、(x3)x t x 3、第二章的典型問(wèn)題1.導(dǎo)數(shù)定義2.已知f(l) = 2, Wlimk*o圧0例1解析：此題容易錯(cuò)選答案為/(t + 2 山)T U 二AjvC. 2D. 4C,錯(cuò)誤的原因是定義表達(dá)式中兩個(gè).lx的地方?jīng)]有統(tǒng)一。因?yàn)閘im f(1 小 f(1)，所以2lim f（1小八鮒）=2 2=422.導(dǎo)數(shù)f （xj的幾何意義是曲線y二f（x）在點(diǎn)M（Xo，yo）處的切線斜率例2 y =ax在x=1處切線平行于直線y=2x-1，則a =（）解析：兩直線平行，斜率相等，所以切線的斜率 k=2,，據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，也就是y =ax3在x=1處的導(dǎo)數(shù)為 2,，而y=3ax2,即 k= y |

5、x3 a 12=2,所以2a =33,直接求導(dǎo)法M設(shè)函數(shù)ylnx ,則,A.丄B. - C. Inx例3解析：直接利用第4個(gè)公式x例4，、訟總電、* U忙/ r則V -.解析： y = (xcosx) = x cosx x(cosx) = 1 cosx x(-sin x)=cosx-xsin x例 5 y=x2+sinx+ln 2,貝Uy，=1 A. 2x+sinx B.2x+cosx C. 2x+cosx+ D。2x2解析：注意此題In2是常數(shù)，不是對(duì)數(shù)函數(shù)，y 二(x2)(sin x) (ln 2) = 2x cosx例 6 f (x) =xsinx,則y= 解析： y = (xsin x

6、) = x sin x x(sin x) = 1 sin x x(cosx) = sin x xcosx例 7 f (x) = ge,則f (1) =11A.2+e B.1+e C. D.221 1 11解析：f (x) =：xy e0，則f (1)=2jx2jx2j124復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例82,設(shè)函數(shù)y二+5,則/二A. /B. 2/C. 2/ +5 D. 2e* + 5】解析：y = (e2x)5 = e2x(2x)0 = e2x 25二階導(dǎo)數(shù)例 9 y=ln(1+x),則y = _ (10 年第 15題)2=-(1 x) (1 x)=12(1 x)解析：1 1 1y tx(11j(1 x)，

7、6導(dǎo)數(shù)應(yīng)用例10求下列函數(shù)在(0, ：)內(nèi)單調(diào)減少x1A. y =x B .y=e C .y=lnx D .y = y解析：前面三個(gè)答案對(duì)應(yīng)的函數(shù)在(0,=)內(nèi)都是增函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊膶?dǎo)數(shù)在1(0:)內(nèi)是大于0,而(D) y 2 f(1)，則x的取 值范圍是A. ( T -1)B. ( - C.(l,+oo)D. ( - co , + 00 )解析：f(x)在區(qū)間(-X，+X)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，且f(x)f(1)，根據(jù)定義1可知X :： 1例12設(shè)函數(shù)/d+丄任工二j處取得極大值5.求常數(shù)a和b.求函數(shù)f(x)的極小值.解：(1) f(%) =3a? +2te + l根據(jù)題總./(I) =a +

8、fe + l -5, f =3a + 2 + i =0+解得a = -9 b -13.(2)令fGV 即 27八2駆-=(J解得夠=h x1-務(wù)又 fH(x) = -54x+26因?yàn)槭?估28 0所以/(需2 -潔為極小值*例1326 (本題滿分10分)a7求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).【答案】解 f的定義域(-F o)u(o, +-).卩24r(x)=2+-,xx3分*令F仗)=0,得x=l.屮令芒仗)=6得x = /2 卩X*3*卜co, -1)卩十(F 0)卩(0,近 H(邁 , y+門(mén)y+心+農(nóng)十心0松yp值3PA八拐點(diǎn)J(/2 ? o)/P所以函數(shù)f仗)的單調(diào)減少區(qū)間為 E

9、 -1). 單調(diào)增加區(qū)間為Kb o)u(o, +3). *j f (-1) = 3 %極小值A(chǔ)函數(shù)f)的凹區(qū)間為(-8, 6?u啟+s)：劃凸區(qū)間為4虢)，儀拐點(diǎn)坐標(biāo)為(袒，0人 4例14設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為A B,在它們所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形 ABCD如圖所示)設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面 積為S(x).(1) 寫(xiě)出S(x)的表達(dá)式；(2)求S(x)的最大值.解析：2y - I -%由.解得x= 1,則A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1 , 0)和 B(1 , 0), M 二 2-2 分(1) S(x) =y(2 +2x)(1 -x2) =(1 +%)(! -x).4

10、 分(2) SJ) = -3? -2x + l,令 Sf（x） =0, BP（3x-l）（x + l） =0.6分8分10分得兀二x2 = - 1 （舍去）.S（攵）| = （ -6% -2）! - -4 0tJC = 丁X =則s（*） =|為極大值.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，話為最大值.例1515.曲線y二*?亠/+ 1的拐點(diǎn)坐標(biāo)（悶，y0）=解析：先確定定義域，再求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),y = x2 -2x, y =2x-2 = 2（x _1），再令 y = 0,得x = 1,在（_曲,1）, y ： 0； 在（1 :），y 01所以拐點(diǎn)為（1，3二、第二章典型問(wèn)題1. 直接積分法解析：被積函數(shù)先變形，再

11、利用第二個(gè)公式1X CV C解析：被積函數(shù)先變形，再利用第二個(gè)公式1、xdx 二 x2dx-1x21 12. 湊微分法（第一換元積分法）計(jì)算f竺山蘭比J X解析:cos In x .dxxJ cos In xdln x-sin In x + C*計(jì)算 |sin5xdx.解析：sinSxd 戈=-Jsin5x(15x=cos5x + C.3. 分部積分法例 5 求 arcsin xdx解析:xarcs in xdx 二 xarcs inx -dx-xarcsi nx 12 _1_d - x2d(1 _x2)=xarcsinx1 - x2 C .設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為解：由題意知/(X)= (x

12、e11)f = / +2/ J = J %-xfx) - J/(x)dx二兀(e 4- 2x2 ) 一 xe + C = 2/$ +C4. 定積分17.豐 )=ax解析：變上限定積分定理1 答案 x3 x例818. f x( 1 + Jx )dx =*J o答案-10解析 牛頓-萊布尼茨公式(先把積的運(yùn)算變成和的運(yùn)算)例97. J =D” IA* 2B. - C* 0解析：f(x)是L a,a上的奇函數(shù)，貝Uf(x)dx=O .例10 (1)求曲線y=ex及直線x=1, x=0, y=0所圍成 的圖形D(如圖所示)的面積S.(2)求平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積Vx.卩J解：(1)

13、jdx 二疋 0= e - I(2) Vt =(eA )2d% = it jedxJ)四、第四章典型問(wèn)題1一階、二階偏導(dǎo)數(shù)求法例1&設(shè)函數(shù)/+3八則乎二dxA.2x + 3yR.C.2x +3D.2x+討解析根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的求法，得答案:S.設(shè)函數(shù) z=tarL (xy),xA.:cosXCOS2 (莎cos (xy)D.7cos (xy)著復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)選C+9設(shè)函數(shù)/火A. 2y2答案A則掙B. 4xyC.2二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)例4設(shè)z=z(x , y)是由方程所確定的隱函數(shù),dz解令=x4-y+z-e-,e, = 盯saF花- k - = aF花az一砂一一 - 一 e 辿新一色理血1 一一一

14、-盯一3%世加因此3.二元函數(shù)極值例5九戀r二二工二八左二丁 _： ?卞宜【解析】此題屬于二元函數(shù)極值的基本題目，先求一階偏導(dǎo)，解方程組求駐點(diǎn), 再求二階偏導(dǎo)，然后判斷駐點(diǎn)處的極值情況，最后求出極值。az_t&尸 I a W-2x4-4 = 0x = 2=Oj。=硬込耳B-=-80,所UA f （-2, 2）=-10 為極小值.例6卞二兀皿廠一+：嚴(yán)d W+-：丁庚隊(duì)在以往試題中，條件極值和無(wú)條件極值都考過(guò)，都是典型問(wèn)題，但后者次數(shù)多一 些。本題是條件極值也屬正常。不僅考查知識(shí)，更是考查能力。解：設(shè)超（?！?）二于（兀閉）+ 2（乳+2丿一 4）酬酬朋酬莎1-令=H + 卩亠胡+ 乂(兀 + 2y-4)=+ y + 丸=0,= 2+a + 24 = 0,=x + 2y-4 = 0由與消去丸得x=Dj代入得y=2*J 所施數(shù)f(xv-)的極值為4.五、第五章典型問(wèn)題1. 概率例1有10件產(chǎn)品，其中8件是正品，2件是次品，甲、乙兩人先后各抽取一件 產(chǎn)品，求甲先抽到正品的條件下，乙抽到正品的概率.【答案】設(shè)事件A表示甲抽到正品，事件B表示乙抽到