平面向量專題復(fù)習(xí)學(xué)生

1、平面向量一、復(fù)習(xí)要求1、向量的概念；2 、向量的線性運(yùn)算：即向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義，運(yùn)算律；3、向量運(yùn)算的運(yùn)用二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1 、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法一一有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的 基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時(shí)甚至更簡捷。向量運(yùn)算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義一一 共線；定比分點(diǎn)基本圖形一一起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。2、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是

2、向量,兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn)算圖形語言付號語言坐標(biāo)語言加法與減法Br*弓 弓 OA +OB =OC弓弓弓 OB - OA =AB、弓記 OA=(xi,yi) , OB =(x i,y 2)弓亨貝9 OA + OB =(x i+X2,y i+y2)今 今OB - OA = (X2-x i,y 2-y i)40 <弓 弓 OA + AB = OB實(shí)數(shù)與向量的乘積才-TTAB =入 a入 R、T 記 a =(x,y)T貝V入a =(入x,入y)兩個(gè)向量的數(shù)量積TTTT a b =| a | b |T T cos&l

3、t; a , b >pTT記 a =(x i,y i), b =(x 2,y 2)ru TT貝寸 a b =xiX2+yiy23、運(yùn)算律、 TTTT TT TT TT力口法： a+b = b+ a， (a + b)+c = a+(b + c)TTTTTTTT實(shí)數(shù)與向量的乘積：入(a + b)=入a +入b ；(入+卩)a =入a +卩a ,入(卩a )=T(入卩)aTTTTTTTTTT TTTTTTT兩個(gè)向量的數(shù)量積： a b = b a ;(入 a ) b = a (入 b )=入(a b) , ( a + b) c = a -c + b c說明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性

4、運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算，例如(a ± b ) 2= a _2a b b(x,y );當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量AB坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A (xi,y i), B (x2,y 2),則4、重要定理、公式(1) 平面向量基本定理；如果ei, e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量 a ,有且只有一對實(shí)數(shù) 入i,入2,滿足玄=入i ei+入2 e2，稱入i ei +入2 e2為ei , e2的線性組合。根據(jù)平面向量基本定理， 任一向量a與有序數(shù)對(入i,入2) 對應(yīng)，稱(入i,入2)為a在基底 ei , e

5、2下的坐標(biāo)，當(dāng)取 ei , e2為單位正交基底 i , j 時(shí)定義(入i,入2)為向量a的平面直角坐標(biāo)。A(x , y)，則 0A =向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若TAB =(x 2-x i,y 2-y i)(2) 兩個(gè)向量平行的充要條件符號語言：若a / b ,坐標(biāo)語言為:設(shè) a = (xi,y i),TT Tb =(x 2,y 2)，貝y a / b = (xi,y i)= X(X2,y 2),即xiy,或 xiy2-x 2yi=0在這里，實(shí)數(shù)X是唯一存在的，當(dāng)a與b同向時(shí),X >0;當(dāng)a與b異向時(shí),X <00TI X 1= 回,X的大

6、小由a及b的大小確定。因此，當(dāng)a , b確定時(shí)，X的符號與大小就確定了。這就是|b|實(shí)數(shù)乘向量中X的幾何意義。(3) 兩個(gè)向量垂直的充要條件符號語言:T TT Ta 丄 ba b =0坐標(biāo)語言：設(shè) a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，則 a 丄 bx1x2+y1y2=0(4) 線段定比分點(diǎn)公式如圖，設(shè)RP 盒PP2' 1 - ' - -'則定比分點(diǎn)向量式：0POR0P21+丸 1+ n定比分點(diǎn)坐標(biāo)式：設(shè)P (x,y ), P (xi,y 1), P2 (X2,y 2)_X1川嗔x2_ 1 yi、2=1 特例：當(dāng)X =1時(shí)，就得到中點(diǎn)公式:0遇碼。P2)

7、，xi X2yiyi y2-2實(shí)際上，對于起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線三個(gè)向量 OP , OPi , 0P2(0與PiP2不共線)，總有OP =uOPi+vOP2 ,u+v=1，即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量，且系數(shù)和為io(5) 平移公式：TX = X + h 點(diǎn)平移公式，如果點(diǎn) P (x, y)按a = (h, k)平移至P' (xy'),則丿y' = y + k分別稱(x, y), (x ) y )為舊、新坐標(biāo)，a為平移法則在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中，已知兩組坐標(biāo)，一定可以求第三組坐標(biāo) 圖形平移：設(shè)曲線C： y=f(x)按a = (h, k)平移，

8、則平移后曲線C'對應(yīng)的解析式為y-k=f(x-h)當(dāng)h, k中有一個(gè)為零時(shí)，就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式，從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)(6) 正弦定理，余弦定理正弦定理：a b c2Rsin AsinB sinC2 2 2余弦定理：a =b +c -2cbcosA2 2 2b=c +a -2cacosB2 2 2c=a +b -2abcosc.2 2 2 2 2.2 2.2 2 定理變形：cosA=b c 亠,cosB=c a L , cosC=a b 乞2bc2ac2ab正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本，理解用向量法推導(dǎo)

9、正、余 弦定理的重要思想方法。求夾5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行,特點(diǎn)。角等，特別是直角坐標(biāo)系的引入，體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”三、典型例題例1、如圖,OA , OB為單位向量， OA與OB夾角為0120 ,弓 TOC與OA的夾角為0 | 一45 , | OC |=5 ,用OA , OB表示OC。例 2、已知 ABC中，A ( 2, -1 ) , B ( 3, 2), C (-3 , -1AD,求點(diǎn)D和向量AD坐標(biāo)。邊上的高為),BC- 2的向量c的坐標(biāo)。例3、求與向量a = C 3 , -1 )和b = (1,3 )夾角相等，且模為例

10、4、在厶 OAB的邊 OA OB上分別取點(diǎn) M N,使 | oM | : | OA |=1 : 3, | oN | : | OB |=1 ： 4,設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P,記OA = a , OB =b，用a , b表示向量OP。 例5、已知長方形 ABCD AB=3 BC=2 E為BC中點(diǎn)，P為AB上一點(diǎn)（1）利用向量知識判定點(diǎn) P在什么位置時(shí)，/ PED=45;（2） 若/ PED=45,求證：P、D C、E四點(diǎn)共圓。同步練習(xí)（一） 選擇題1、平面內(nèi)三點(diǎn) A (0, -3 ) , B (3, 3) , C (x, -1 )，若 AB / BC，則 x 的值為:A、 -5-1、平面上z dA

11、(-2 , 1), B( 1,4), D(4 , -3 ), C點(diǎn)滿足 AC =-2 - 1 - - CB ,連DC并延長至E ,使| CE |= I ED | , 4則點(diǎn)E坐標(biāo)為：BA、(-8,11、(0 , 1)或(2,)3點(diǎn)(2 , -1 )沿向量a平移到（-2 ,1）,則點(diǎn)（-2,1）沿a平移到：DA、(2 , -1 )B 、( -2, 1)、(6 , -3 )、(-6 , 3)則此三角形是：B ABC中，2cosB sinC=sinA ,A、直角三角形B、等腰三角形C 、等邊三角形、以上均有可能5、設(shè)a , b,c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：DT T T T T T (a

12、 b)c-( c a ) b =0T T T T I a |-| b |<| a - b |TTTTTT T (b c ) a -( c a ) b不與c垂直 (3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9| a | -4 b | 中,真命題是：A、B、 C 、D 、6、 ABC中，若 a4+b4+c4=2c2(a 2+b2),則/ C 度數(shù)是：(B )00r、.0_00A、60 B 、45 或 135 C 、120D 、30? 鼻 ? OAB中 , OA = a , OBT=b ,? TOP = pT,若 p =t(、|a|T亠t|b| R,則點(diǎn)P在：（AA、/ AOB平分線所在直

13、線上、線段AB中垂線上C、AB邊所在直線上、AB邊的中線上&正方形PQRS寸角線交點(diǎn)為M坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部,且 OP = (0 , 3),OS = ( 4 ,0),則 RM =74)B、(")C 、 (7, 4)（二）填空題e2是平面上一個(gè)基底，若9 、已知 e1 ,T Ta = e1 + 入Te2 ,Tb =-2T T 入 e1 - e2若a , b共線，則入10、已知| a|=6 一3 b |=1 ,T Ta b =-9則a與b的夾角是11、設(shè)e；,是兩個(gè)單位向量,它們夾角為600,rt rT則(2 e1-e2) (-3T Te1+2 e2)=12、把函數(shù)y=cosx圖象沿b=（2k-二1）（k Z）平移，得到函數(shù)2的圖象。解