倒立擺系統的建模

1、系統的建模及性能分析倒立擺系統的構成及其參數1倒立擺系統的基本結構本設計所用到的倒立擺模型直線一級倒立擺系統。整個系統是由6大部分所 組成的一個閉環(huán)系統，包括計算機、數據采集卡、電源及功率放大器、直流伺服 電機、倒立擺本體和兩個光電編碼器等模塊。如圖2.1所示：圖2.1倒立擺系統的結構組成示意圖Fig 2.1 Structure of the lin ear sin gle in verted pen dulum system2系統主要組成部分簡介直線一級倒立擺裝置如圖2.2所示13:圖2.2直線一級倒立擺裝置Fig 2.2 Straight lin ear 1-stage in verted

2、 pen dulum deviceQua nser倒立擺系統包含倒立擺本體、數據采集電控模塊以及控制平臺等三 大部分，其中控制平臺是由裝有 Qua nser專用實時控制軟件的通用PC機組成。1.直線倒立擺主體倒立擺主體是由Quanser直線運動控制伺服單元IP02與直線一級擺桿組成, 并配有專用的小車直線軌道。這里主要介紹下Qua nser直線運動控制伺服單元IP02（即倒立擺運動小車）及導軌的組成：圖2.3伺服單元IP02的組成Fig 2.3 Servo un it IP02 parts編號名稱英文(01)IP02小車IP02 Cart(02)不銹鋼滑軌Stai nl ess Steel S

3、haft(03)齒輪導軌Rack(04)小車位移齒輪Cart Position Pinion(05)小車電機傳動齒輪Cart Motor Pinion(06)小車電機傳動齒輪軸Cart Motor Pin io n Shaft(07)擺桿傳動軸Pen dulum Axis(08)IP02小車位移編碼器IP02 Cart En coder(09)IP02擺桿角度編碼器IP02 Pen dulum En coder(10)IP02小車位移編碼器接口IP02 Cart En coder Co nn ector(11)IP02擺桿角度編碼器接口IP02 Pen dulum En coder Conn

4、ector(12)電機接口Motor Conn ector(13)直流伺服電機DC Motor(14)變速器Pla netary Gearbox(15)直線滑軌支撐軸Lin ear Beari ng(16)擺桿連接套Pen dulum Socket(17)IP02配重模塊IP02 Weight圖2.4系統導軌結構圖Fig 2.4 System guide rail structure編號名稱英文(22)導軌末端擋板Rack End Plate(23)導軌固定螺絲Rack Set Screw(24)小車運動限位Track Disc ontinuity直線一級倒立擺系統的倒立擺的擺桿連接在IP02

5、小車的擺桿連接套上，IP02小車由電機通過齒輪傳動機構在導軌上來回運動，保持擺桿平衡。系統的直流電機采用的是Faulhaber 2338S006型號的無刷直流電機，這種電機不僅具有結構簡 單、運行可靠的優(yōu)點，而且還比傳統的直流電機具有更快的反應速度。電機還配有Faulhaber的變速箱，可以提供3.71:1的減速比。(2) .數據采集模塊電控箱安裝了本系統用到的各種電氣元件，其中包括了有5針數字I/0接口的數據采集卡、開關電源、電源及功率放大器、指示燈和開關等?？刂菩盘栃枰?通過電源及功率放大器對控制信號進行處理，然后再輸送至小車的直流伺服電 機。(3) .控制平臺控制平臺主要由以下部分組成：

6、通用PC機；實時控制軟件QUARC控制平臺的是倒立擺伺服系統的核心，是實現系統閉環(huán)的關鍵環(huán)節(jié)。它通過 PC機的USB接口接收數據采集卡傳輸過來的位移和角度數據， 進一步處理得到 小車速度和擺桿角速度，同時將輸入量根據所設計的控制算法計算出控制量，控 制小車的運動，維持倒立擺的平衡。而控制平臺的實時控制軟件QUARC可以和 MATLAB/Simulink完美聯動，操作起來非常的方便。MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數學軟件，用于算法開發(fā)、數 據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境。而Simulink是MATLAB最重要的組件之一，它提供一個動態(tài)系統建模、仿

7、 真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單 直觀的鼠標操作，就可構造出復雜的系統。Simulink具有適應面廣、結構和流程 清晰及仿真精細、貼近實際、效率高、靈活等優(yōu)點，并基于以上優(yōu)點Simuli nk已被廣泛應用于控制理論和數字信號處理的復雜仿真和設計。同時有大量的第三方軟件和硬件可應用于或被要求應用于Simuli nk。3系統性能參數小車及配重質量M=0.94kg ；擺桿質量m=0.230kg；擺桿長 L=0.6413m；擺桿轉動軸心到桿質心的長度l=0.3302m；重力加速度g=9.81N/s202.2 一級倒立擺系統的模型建立2.2.1 Lagra nge

8、方程建立模型由于倒立擺的多變量、非線性的特點，同時也為了減少實驗設計的盲目性， 先建立系統的數學模型，然后才進行仿真實驗和實時控制。 使用牛頓運動定理來 求解這樣一個復雜的系統的數學模型，勢必會產生大量的微分方程的計算。并且， 在實際系統中，當質點存在約束情況的時候，計算量將會更大。所以，在本設計 中，采用的是Lagrange方程來推導倒立擺系統的系統模型。Lagra nge方程是以能量觀點建立起來的運動方程式，為了列出系統的運動方 程式，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統運動的動力學量一一系統的動 能和勢能，另一個是表征主動力作用的動力學量一一廣義力。因此用Lagra nge方程來求解系

9、統的動力學方程可以大大簡化建模過程。將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，并將倒立擺的物理 模型分解為小車和擺桿的兩部分分別進行受力分析。如圖2.5所示。圖2.5直線一級倒立擺分析圖Fig 2.5 Lin ear in verted pen dulum an alysis chart圖2.5中，F為加在小車上的力，M為小車質量，m為擺桿質量，I為擺桿轉動軸心到桿質心的長度，x為小車位置， 為擺桿與垂直向上方向的夾角為了方便在數學上推導和處理問題，可作出如下假設：（1）擺桿在運動中是不變形的剛體；（2）齒型帶與輪之間無相對滑動，齒型帶無拉長現象;（3）忽略空氣阻力；由n個關節(jié)部件組成

10、的機械系統，其Lagra nge方程應為:dTTVD Fqdtqiqiqiqi(2-1)其中，q為系統的廣義坐標，表示系統中線位移和角度的變量；T為倒立擺系統的動能，V為倒立擺系統的勢能，D為倒立擺系統中的耗散能那么，可以根據分析得出，上式中小車和擺桿的各部分能量的表達式為:To - Mx22(2-2)V。D。0(2-3)T -Ic 2 -m-(x Isin )2 f (I cos )22 dtdt(2-4)Di-b（2-5）V1 mgl cos（2-6）這里，To,Vo,Do分別代表小車的動能，勢能及耗散能；Ti,Vi,Di分別代表擺桿的動能，勢能及耗散能。所以，由上面各式，可以得到：TTo

11、 T-；Mx2 彳 Ic 2 (x Isin )2 d； (I cos )222 dtdtV Vo V mglcos(2-8)當qi x的時候，即對小車而言:D DoD1 ¥ 2(2-9)就)(Mm)xml cosmls in 2(2-10)0-Vx(2-11)而，當qj 的時候，即對擺桿而言:I c ml (x cosxsin(2-12)mlxsinmglsi n(2-13)根據上面各式綜合，可以得到直線一級倒立擺的系統動力學方程為：M m ml cos x 0mls inxu2ml cos Ic ml0 bmgl sin(2-14)這里，進行線性化處理。根據分析可知，在接近平衡位

12、置時，與l相比很小，即<<1。則可進行近似處理：cos1，sin，sin0因此，將(2-14)式簡化后得到的動力學方程：M mmlx00 xumlIc ml20bmgl因為擺體繞支點的轉動慣量I與擺體繞質心轉動慣量Ic關系為:I I c ml2(2-16) 將(2-16)代入到式(2-15)后，可以得到：M mmlmlIx000 xb000 xmgl0 u0(2-17)M m ml00000設 Q=.，P=W=Z=mlI0b ，0mgl ，0 ，則有：xxxQPWZu(2-18)變換(2-18)得至U：1 x I x 1Q 1P Q W Q 1Zu(2-19)012)b02002n

13、(Imlm2glx nI mlI(Mm)Mml2I(Mm)Mml2xI(Mm)Mml2u00010nmlbmgl(Mm)nml0I(Mm)Mml2I(Mm)Mml20I(Mm)Mml2(2-20)xx100 0x0yu001 00所以，接下來就可以得出系統的狀態(tài)空間方程。 要用到的直線一級倒立擺系統的狀態(tài)空間方程：代入相關數據，可以得到所xx(2-21)所以，代入小車的實際各項參數值，可以得出小車的狀態(tài)空間方程。即：x0100 x0x00.002411.725470 x1.00503u0001000.0055626.5819902.32597(2-23)1000x00102.2.2 系統的性能分析對于一個連續(xù)的時間系統AxCxBuDu系統的完全可控性的充分必要條件2 n 1是： Sc A AB A B .A B ，該系統可控矩陣滿秩，即 rank Sc=n。系統的輸出可控性充要條件是：當且僅當矩CB CAB CA2B . CAn 1B D