微積分習(xí)題講解與答案

1、1 .指出下列微分方程的階數(shù)，并指出哪些方程是線性微分方程：(1) x(y)2-2yyxy=0(2)x2y一xyy=0x322xy xy - 2xy y(6) te,左=(xy -x) -3+ x2(xy-x)(xy-x)y4y(sinx)y=0(4)患p=sin2u解(1)1階非線性(2) 1階線性(3) 階線性(4) 1階線性2 .驗(yàn)證下列函數(shù)是否是所給微分方程的解(1) xyy:cosx,y二x(2) (1-x2)yxy=2x,y=2C1-x2(C為任意常數(shù))y-2yy=0,y=Cex(C為任意常數(shù))(4)y”-(%+h2)v+%九2y=0,y=C1e'x+C2e&x(G

2、,G為任意常數(shù))22(x-2y)y=2x_y,x-xyy=C(C為任意常數(shù))(6) (xy-x)yxy2yy1-2y=0,y=ln(xy)xcosx-sinxsinx.解(1)是，左=x2+=cosx=右xx一.。一Cx(2) 是，左二(1-x2)-=+x(2+Cv1-x2)=2x=右1-x2(3) 是，左=Cex-2Cex+Cex=0=右(4) 是，左二(C12e'1xC22e，2x)-(12)(C11e"xC22e2x)“2(C1e1xC2e2x)=右2x-y(5) 是，左二(x-2y)=2x丫=右y 0 yy - 2- xy - x xy - xx-2y223_2.2=

3、2xyxy-2xyxy(y-2y)(xy-x)222(xy-x)(xy-x)(xy-x)=右3.求下列微分方程的解dy .2 ；Jdx(2)2 : cosx ； dx(1 x2)y(3)(1y)dx一(1一y)dy=0(4)解(1)dy=2dx,y=2xC(2)ydx=cosxdx,y=sinxC1ydx=(sinxC1)dx,y=-cosxC1xC21-y-(1y)2dy=dx=y)dy二dx1y1y-2斛得一dydy=dx1y即-y2ln|1y|=xC(4) 一Jdy二一J-dx1 y2(1x2)解得ln(1y2)=ln(1x2)C12土口1y22整理得C21x2，試求這條曲4.已知曲線y

4、=f(x)經(jīng)過原點(diǎn)，并且它在點(diǎn)(x,y)處的切線的斜率等于2x2線的方程。解已知y'=2x2解得y=2x3-C3又知曲線過原點(diǎn)，得C=0所求曲線方程為y-2x3習(xí)題8.21 .用分離變量法求下列微分方程的解 y = 4x . y(2)xy'，y ln y = 0 y =10x y22sec xtan ydx sec ytan xdy = 0y =e2x yWxydxdy=0,y|x衛(wèi)=1(6)1 y1x一-1斛(1)f=dy=f4xdx斛得y=(x+C)y(2) f-dy-ujdx解得y=eCxylnyx(3) 110Ady=110xdx解得一10T=10x+C即10x+10-

5、y=C22,/、secy.secx.(4) ddy=fdx斛得In|tany|=ln|tanx|+C1tanytanx整理得tanxtany=C12131)13fy(1+y)dy=fx(1+x)dx解得一y+y=x+-x+C23235由于ylxm=1,解得C=6則 1y2 1y3231x3 3(6)fedy=fe2xdx解得e'=1e2x+C2，一.一3由于yIxt=°則C=一一2原方程解為2eT=3-e2x2.求下列齊次方程的解小ydyxyxy=yln(2)2.22.x dy = (y - xy x )dxxdxx-y22dy(5)yx-dxdy=xydx(6)x(x2y)

6、y-y2=0,ylx=1解（i）令u=Y,x代入方程得分離變量得du,uxulnudxdudx兩邊積分得u(lnu-1)xIn|Inu-1|=In|x|C1整理得|lnu-1|=C2|x|將u=2回代，即得原方程通解ln1二Cxxd1-(2)原式可化為dy=一xdx1_yx令u=?,代入方程得du1uux一二dx1。u分離變量得(1-u)dudx丁二一1ux兩邊積分得12arctanuln(1u)=In|x|C12將u=_y回代，即得原x方程通解2yy22arctanln(12)=InxC2arctan - - ln( x2 y2) = C x整理得(3)原式可化為令u=_y,代入方程得xdy

7、+色；2dxxxxx)分離變量得兩邊積分得-y將u=2回代，即得原方程通解x(4)原式可化為令u=",代入方程得x分離變量得兩邊積分得dux一dx-1dudx.u2-1xIn|uu2-1|=In|x|C1|uu2-1|=C|x|2dy=fy=丫+1dx<x)xux也dxdu二dx2u。2u1xy=±回代，即得原方程通解xy2+(x2一喈=0y=u,則u+xdu1-u=ln|x|C1dxxy-x2x=Cex，y1-1(6)dx原式可化為分離變量得兩邊積分得u-1xuudxx(1-u)du=01-udu史=C1xIn|xu|-u=C1y二edx(12u)duu212udx

8、,2lnu+u=-ln|xK將u=2回代，即得原方程通解x2八y，xy=Cx將y|x口=1代入得C=2于是，特解為2yxy=2x習(xí)題8.31.求下列微分方程的通解-xyy=e(2)2一一xyy=x3x222(x1)y2xy=4x1-2xy-2y=ixyInydx(x-Iny)dy=0(6)2(2x-y)y=2y解(1)這是一階非齊次線性微分方程,先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。分離變量得嘰一dxy兩端同時(shí)積分，得ln|y尸一xCi得通解為xy=Ce用常數(shù)變易法，把C換成C(x),即xy=C(x)e兩邊微分，得dydx二C(x)e-x-C(x)e代入原方程，得C (x) -1兩端同時(shí)積分，得C(x)=

9、xC故所求微分方程通解為y=xCe”其中C為任意常數(shù)。小、1-2(2)P(x),Q(x)=x3xx一 P(x)dxQ(x)eP(x)dx dx Cdxdx C4-dx-(2)4JxIfx+3+eJx工x二en|x|(x23x2)dxC14卜+約2或：這是一階非齊次線性微分方程，先求對(duì)應(yīng)的齊次方程包二0dxx的通解。分離變量得dydxyx兩端同時(shí)積分，得得通解為In | y| = -ln | x | C1Cy;x用常數(shù)變易法，把C換成C(x),即C(x)y二x兩邊微分，得dy=C(x)x-C(x)dxx2代入原方程，得C(x)=x23x2兩端同時(shí)積分，得C(x)= 一 2x .P(x) =一,Q

10、(x) =1 xx3332-x2xC2故所求微分方程通解為32x2xC2x其中C為任意常數(shù)。22x4xP(x)=-,Q(x)=-2x1x1一 P(x)dxy 二 eP(x)dxQ(x)e dx C2x-=-dxx2 1二er 2 、4x2 i e+“-2x-dx|x 由 dx + C(4)一 P(x)dxy 二eP(x)dxQ(x)edx C1 -2xx2dx|dx +Cln x2二edx C1x2ex1xdx C1=x2exdUci x !1x2ex1_x C11 Cex原式可化為dx x-Tdy ylny yP(y)yln y 、1,Q(y);y_ln(x21)2=e4xdxCdy cP(

11、y)dyP(y)dyx=eQ(y)e1dy.yiny=e11fylnyJ-edy|dy+Cln|lny|1ln|lny|二e-e|y|dyCiny <2lln2(6)原式可化為dx x ydy y 2P(y)1y,Q(y)= -彳y2P(y)dy 貝 U x = e -P(y)dyQ(y)e dy C1.一inydyCinyIy1nM ."y|dy -C_2 yyf-ydyI-eydy+C=e2y'y+Cy1_=|y|dy+C<2|y|)2.某種商品的消費(fèi)量X隨收入I的變化滿足方程dXdI=X+aeI(a是常數(shù))當(dāng)I=0時(shí)，X=X0,求函數(shù)XX(I)的表達(dá)式。解原

12、式可化為dXX=aeIdIP(I)=-1,Q(I)=aeI-P(I)dIP(I)dIeQ(I)edIC.-1dIIdI ae edI C =eI I adI C L eI bI C 1又當(dāng)I=0時(shí)，X=Xo,則原方程解為X = eILx。習(xí)題8.41 .某商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為Qd=abP,Qs=c+dP(其中a,b,c,d,均為正常數(shù))假設(shè)商品價(jià)格P是時(shí)間t的函數(shù)，已知初始價(jià)格p(0)=p0,且在任一時(shí)刻t,價(jià)格P(t)的變化率與這一時(shí)刻的超額需求QdQs成正比(比例常數(shù)為k>0)(1)求供需相等時(shí)的價(jià)格Pe(均衡價(jià)格)(2)求價(jià)格Rt)的表達(dá)式(3)分析價(jià)格Rt)隨時(shí)間的變化

13、情況解(1)當(dāng)Qd=Qs時(shí)，即acabP=c+dP,得P=Pe=bd(2)由于dPkk(QdQs)=k(abP)(c+dP),即dtdPk(b-d)P=k(ac)dt方程通解為P=acCe*bd)t=PeC(bd)tbd已知價(jià)格P(0)=P0，代入得C=P0-Pe,于是P(t)=Pe(P0-Pe)e國bd)t(3)由于!imP(t)=t現(xiàn)Pe+(p。R)e(b4d)t=Pe2 .已知某種商品的需求價(jià)格彈性為名="pep-1,其中p為價(jià)格，Q為需求量，且當(dāng)Qp=1時(shí)，需求量Q=1,試求需求函數(shù)關(guān)系。解設(shè)需求關(guān)系式為Q=Q(p),則由題設(shè)知pQlp)二上ep1Q(p)Q(p)即1pQ(p

14、)Q(p)=pep此微分方程通解為C/p-bdpaPadP«1P.pQ(p)=eeedp+C=(p-l)e+C1 Jp將Q1)=1代入，得C=1,故所求需求函數(shù)為Q(p廣立JePPP3 .設(shè)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，隨產(chǎn)量的增加，其總成本的增長率正比于產(chǎn)量與常數(shù)2之和,反比于總成本，當(dāng)產(chǎn)量為。時(shí)，成本為1,求總成本函數(shù)。解設(shè)產(chǎn)量為x,總成本為C,比例系數(shù)為1,則依題意有工dyx2dxyy|x=0=1解此微分方程，得y2=(x2)2C把初始條件y|x=0=1代入解得C=3于是總成本函數(shù)為y2=(x2)2-34 .在宏觀經(jīng)濟(jì)研究中，發(fā)現(xiàn)某地區(qū)的國民收入y,國民儲(chǔ)蓄S和投資I均是時(shí)間t的函數(shù)，且儲(chǔ)

15、蓄額S是國民收入的工，投資額為國民收入增長率的工。若當(dāng)t=0時(shí)，國民收入103為5億元，試求國民收入函數(shù)(假定在時(shí)間t的儲(chǔ)蓄額全部用于投資)解依題意得1,1dyy,I103dtS -I因?yàn)閮?chǔ)蓄額全部用于投資，故有即國民收入函數(shù)應(yīng)滿足方程1dy1=y3dt102t解得y=Ce10將初始條件y|t3=5代入上式，得C=5于是y = 5e3t 101、求下列微分方程通解 y =2(2)y = sin x y .(y)2=0(4)2.(x 1)y - 2xy =0解(1)y=2dx=2xC1y=(2xC1)dx=x2C1xC2(2)y=sinxdx=-cosxC1y=(-cosxC1)dx=-sinx

16、C1xC2(3)令y'=p,y"=p',原方程降階為%2=0dx分離變量得駕二dxp兩邊積分得工-xCxCip1p二-CixiC1x所以dx=ln|C1x|C2(4)令 yp,y"= p',原方程降階為dp2xdxx21分離變量得dpp2xx2 1dx兩邊積分得In|p尸ln(x21)C即所以P=Ci(x21)2y=Ci(x1)y=C1(x21)dx=C1i1x3xl；C232求解初值問題ln( x 1) 0.,(i+"+yly(3)=1,y'(3)=1、y(0)=0，y'解設(shè)y'=p,則y*=p，代入原方程，得dy

17、dp32pydy2分離變量得.32.pdp=-ydy2積分得p2=y3+C,即(y，f=y3+C由y(3)=1,y'(3)=1得C=033則y'=±y2,由y?0知y'單調(diào)增加，于是y'=y2再積分一次，可得通解1-2y2=xC1由y(3)=1得C1=3即5x(2)令y'=p,則y"二p'，原方程化為(x 1)p p = ln(x 1)pf+p=ln(x+1)屬于一階線性方程x1x1p'egxule/dx+cjx+1一1_，C1x=1ln(x1)dxC1Lln(x1)x1x1由y(0)=0得C1=0= ln( x 1)

18、 -xdx、7 x 1C2=(x1)ln(x1)-2xln(1x)C2又由y(0)=0得C2=0初值問題的解為y=(x1)ln(x1)-2xln(1x)習(xí)題8.61 .求下列方程通解(1) y-2y-3y=0(2)y7y12y=0(3)y"-6y9y=0(4)yyy=0解(1)y'-2y-3y=0解特征方程為-2'-3=0解得兩個(gè)不同實(shí)根=3,兒2=-1,所求方程的通解為y=C1e3xC2e-其中Ci,C2是任意常數(shù)(2) y7y12y=0解特征方程為2712=0解得兩個(gè)不同實(shí)根=-3,%=-4,所求方程的通解為3x4xy = CeC2e其中Ci,C2是任意常數(shù)(3)

19、 y*_6y9y=0解特征方程為2-69=0其特征根%=%=3為二重實(shí)根，所求方程通解為33x3x、3xy=(CiC2x)e其中Ci,C2是任意常數(shù)(4) yyy=0解特征方程為1313斛信兩個(gè)共軻虛根兒=_十i,?'2=-i,所求方程通解為222233二(C1cosxC2sinx)e22其中C1,C2是任意常數(shù)2 .求方程y"+2y'+3y=0滿足初始條件ylxm=1,y'Ixm=1的特解解特征方程為,223=0解得兩個(gè)共軻虛根=-1+J2i,九2=-1-揚(yáng),所求方程通解為y=(C1cos2xC2sin2x)e_x由初始條件ylx/=1，yls=1得C1=1

20、又由y=(e、cos2x)C2(esin2x)=ecos2x2sin2x)C2e'(-sin2x2cos2x)由yTxF=1,得C2="2于是滿足初始條件的特解為y=(cos、2x2sin2x)e工3 .求微分方程y”2y'3y=3x+1的一個(gè)特解解f(x)=3x+1=(3x+1)e°x,其中n=1,N=0不是特征方程九22九3=0的根，得y=axb為所給方程的一個(gè)特解，直接將y”代入原方程，得3ax2a3b=3x1比較系數(shù)得-3a=32a3b=1J-1斛得a-1,b=31所以y=x+即為所求特解34.求微分方程y"2y'+y=12xex的

21、通解解f(x)=12xex,其中n=1,N=1對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-2yy=0特征方程九22九3=0有二重特征根九=1齊次方程通解為xxy二CeCzxe由于N=1是重特征根，所以設(shè)非齊次方程特解為y=x2(axb)ex直接將y*代入原方程，得(2b6ax)ex=12xex比較系數(shù)得6a=12=解得a=2,b=0,因此y*=2x3ex為所給方程的一個(gè)特解，從而所求方程通解為y=C1exC2xex2x3ex其中Ci,C2是任意常數(shù)5.求方程y*+4y'+4y=cos2x的通解解對(duì)應(yīng)齊次方程為y4y4y=0它的特征方程九2+4九+4=0有重根，1=，2=-2故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為-

22、2x,y=e(CiC2X)由于0±2i不是特征根，因此設(shè)所給方程的特解為y=asin2xbcos2x代入原方程得-8bsin2x8acos2x=cos2x比較系數(shù)得8b=08a=1-一11斛得a=-,b=0,因此y=sin2x為所給方程的一個(gè)特斛，從而通斛為88_2x_1_y=e(C1C2x)sin2x8習(xí)題8.71 .設(shè)某種產(chǎn)品就要推向市場(chǎng)，t時(shí)刻的銷量為x(t),由于產(chǎn)品良好性能，每個(gè)產(chǎn)品都是一dx個(gè)宣傳品，t時(shí)刻產(chǎn)品銷售的增長率dx與x(t)成正比，同時(shí)，考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的dtdx市場(chǎng)容量N,統(tǒng)計(jì)表明工與尚未購買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量N-x(t)也成正比，試給出dtx(t

23、)的方程，并求銷量達(dá)到多少時(shí)最為暢銷。解2b = 0dx dt=kx( N x)其中k為比例系數(shù)，分離變量積分，可得x(t)1 Ce_kNtdxCN2ke/Ntdt=(1Ce*Nt)2以及d2xCN3k2e“Nt(Ce.Nt-1)dt2;(1Ce”Nt)2dx一,Nd2x當(dāng)x(t")<N時(shí)，有dx>0,即銷量x(t)單調(diào)增加；當(dāng)x(t*)=N時(shí)，d4=0;當(dāng)dt2dt2x(t") >N 時(shí),2d2x dt2<0;當(dāng) x(t") <N 時(shí), 2d2 x一 一 一J A 0 ;即當(dāng)銷量達(dá)到最大需求量N的一dt2半時(shí)，產(chǎn)品最為暢銷，當(dāng)銷量不

24、足N的一半時(shí)，銷售速度不斷增大，當(dāng)銷量超過一半時(shí)，銷售速度逐漸減少。2、某商品的價(jià)格由供求關(guān)系決定，若供給量S與需求量Q均是價(jià)格P的線性函數(shù):S=13P,Q=4-P若價(jià)格P是時(shí)間t(年)的函數(shù)，且已知在時(shí)刻t時(shí)，價(jià)格P的變化率與過剩需求Q-S成正比，比例系數(shù)為2,試求價(jià)格P與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系，且已知初始價(jià)格P0=2元,問當(dāng)t=0.3年時(shí)價(jià)格應(yīng)為多少？解依題意，得dP_2(Q-S)=2(5-4P)dt解得5_HP二Ce43由已知p0=2,代入得C=4于是P=53e罩44則當(dāng)t=0.3時(shí)，P(0.3)/.32習(xí)題8.81、計(jì)算下列各題的差分(1)yn=f(n)=n23n(2)yn=n(n-1

25、)(n-2)(n-m+1)解(1)3n=(n1)23n1-n23n=3n(2n26n3)(2) yn=n(n-1)(n2)(n-m1)解yn=(n1)n(n-1)(n-m2)-n(n1)(n2)(n-m1)=n(n-1)(n-m2)(n1)-(n-m1)=mn(n-1)(n-m2)2、求下列差分方程的通解2(1)yn書yn=n+3(2)yn書2yn=2n-1(3) yn書+2yn=3,2n(4)yn由+5丫口=1解(1)因a=-1,對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C，1n=C(C為任意常數(shù))設(shè)y*(n)=a0n2+a1n代入原方程，有22a0(n1)a1(n1)-a0n-a1n=n3比較系數(shù)得ao,a=勺所以y”(n)=1n2-5n2222所求方程通解為y(n)=C-n25n22C為任意常數(shù)(2)因a=-2,對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C-2n(C為任意常數(shù))設(shè)y*(n)=a0n2+a1n+a2代入原方程，有222a0(n1)a1(n1)a2-2a0n-2a1n-2a2=n-1比較系數(shù)得ao-2,a1-4,a2-5故有y(n)-2n2_4n_5所求方程通解為.n_n_2y(n)=C2-2n-4n-5(3)對(duì)應(yīng)齊次