分式的意義和性質(zhì)

1、分式的意義和性質(zhì)分式的意義和性質(zhì) 一、分式的概念1、用A、B表示兩個 整式，AB可以表示成的形式， 其中A叫做分式的分子，B叫做 分式的分母， 如果除式B中含有字母， 式子就叫做分式。這就是分式的概念。研究分式就從這里展開。2 、既然除式里含有字母的有理代數(shù)式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母， 就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意數(shù)值，但分母B不能為零，因為用零 做除數(shù)沒有意義。一般地說， 在一個分式里， 分子中的字母可取任意數(shù)值，但分母中的字母， 只能取不使分母等于零的值。3 、（ 1）分式：，當(dāng)B=0時，分式無意義。（2）分式：，當(dāng)B0時，分式有意義。（3）分式：，當(dāng)時，分式

2、的值為零。（4）分式：，當(dāng)時，分式的值為1。（5）分式：,當(dāng)時，即或時，為正數(shù)。（6）分式：,當(dāng)時，即或時，為負數(shù)。（7）分式：,當(dāng)時或時，為非負數(shù)。二、分式的基本性質(zhì)：1 、學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)應(yīng)該與分數(shù)的基本性質(zhì)類比。不同點在于同乘以或同除以同一個不等于零的整式，這個整式可以是數(shù)也可以是字母， 只要是不為零的整式。2 、這個性質(zhì)可用式子表示為：（M為不等于零的整式）3 、學(xué)習(xí)基本性質(zhì)應(yīng)注意幾點：（1）分子與分母同乘或同除的整式的值不能為零；（2）易犯錯誤是只乘（或只除） 分母或只乘（或只除） 分子； （3） 如果分子或分母是多項式時，必須乘以多項式的每一項。4 、分式變號法則的依據(jù)是分式的基

3、本性質(zhì)。5 、分式的分子， 分母和分式的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變， 如下列式子：，。三、約分：1、約分是約去分子、 分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化簡 為最簡分式， 最簡分式又叫既約分式。2 、約分的理論依據(jù)是分式的基本性質(zhì)。3 、約分的方法：(1) 如果分式的分子和分母都是幾個因式乘積的形式，就約去分子和分母中相同因式的最低次幕，當(dāng)分子和分母的系數(shù)是整數(shù)時，還要約去它們的最大公約數(shù)。四、例題分析 例1 ,請說出下列各式中哪些是整式，那些是分式？(1) (2) (3)(4) (5) a2-a (6)。解：根據(jù)分式定義知(1)、(2)、(3)是分

4、式，(4)、(5)、(6) 是整式。說明：判斷一個代數(shù)式是否是分式要緊緊抓住除式中含不含字母。這里是分式，不能因為=a+b, 而認為是整式，a+b是分式 的值。要區(qū)分分式的值和分式這兩個不同的概念。另外是整式而不是分式。雖然分母中有，但 不是字母而是無理數(shù)， 是無限不循環(huán)小 數(shù)，因此的除式中不含字母。例2 ,在分式(1) (2) (3)中，字母x的值有什么限制？ 解：(1) 在中， 當(dāng)x=2時， 使得分母x-2=0 , x2,(2) 在中，當(dāng)x=-2時， 使得分母x+2=0, x-2,(3)在中，當(dāng)x=-2或 x=3 時， 使得分母(x+2)(x-3)=0 ,x-2 且 x3。例3 , x為何

5、值時，分式，(1)無意義；(2)值為零；(3)值為1 ；( 4)值為非負數(shù)。解：(1) T當(dāng)分母2x+3=0時分式無意義，x=-時，分式無意義。(2) T當(dāng)時，分式值為零。,x=1時分式值為零。(3) T當(dāng)時，分式值為1 , x=-4時分式值為1。(4) 當(dāng)或時，分式值為非負數(shù)?；騲1或X-時分式值為非負數(shù)。例4 ,當(dāng)x取何值時，分式(1)值為零；(2)無意義；(3) 有意義。解：(1) T當(dāng)(x+3)(x-1)0 時，分式有意義，當(dāng)x-3且x1時 分式有意義。又T6 -2|x|=0 時分式值為零，貝 y 3-|x|=0, |x|=3, x=3。,x=3時分式值為零。解：(2) t (x+3)

6、(x -1)=0 分式無意義，即 x+3=0 或 x-仁0 , x=-3或x=1時分式無意義。說明:對于(1)也可先令分子為零，求出字母的所有可能值為x=3 后，再逐一代入分母驗證是否為零，不為零者即為所求。對于(2)當(dāng)x+3=0或X-仁0時，都會使分式的分母等于 零，所以要注意或字的使用。解：(3) v (x+3)(x -1)0時分式有意義。即x+30且x-10 時，x-3 且x1時分式有意義，說明：對于(3)分母(x+3)(x-1)只有不為零時， 分式有意義， 而 (x+3)(x-1)0,當(dāng) x+3=0 或 x-仁0 都會使(x+3)(x-1)=0 ,所以應(yīng)將x=-3和x=1都同時排除掉，

7、 寫成x-3且x1 ,用且字，而不 用或字。意義為x不能為-3而且還不能為1 ,即-3和1都不能取。因為取任何其中一個值，分母(x+3)(x-1)都會為0 ,而使分式 都會無意義。例5,寫出等式中未知的分子或分母：(1) ； (2); ( 3);(1)分析：這類問題要從已知條件入手， 根據(jù)分式的基本性質(zhì)， 分析變化 的過程，如(1)右邊分母x2-y2是(x+y)(x-y),而左邊分母為x+y , 所以需將左式的分子和分母同乘以(x-y)。解：,未知的分子是(x-y)2,(2)分析：左邊分子a2-ab二a(a-b),而右邊分子是a-b ,所以需將左式 的分子和分母同除以a。解：=,未知的分母是b

8、。(3) / a2+ab=a(a+b)(將分子因式分解)(比較分子，發(fā)現(xiàn)分子、 分母同乘以a )= , 2ab即為所求的分母。例6 ,把下列分式的分子和分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)。(1) ； (2);(1)分析：先找到分式中分子和分式中的分母的最小公倍數(shù)為15,再據(jù)分數(shù)基本性質(zhì)，分子和分母同乘以15。解：=。(2) 解：= 注：必須乘以分子和分母的每一項，避免發(fā)生(0.2a+3b)10=2a+3b這樣的錯誤。例7 ,不改變分式的值，使下列分式中分子與分母不含-號， (1) - ； (2)-。解：根據(jù)分式的符號法則得：分式、分子和分母的符號中， 任意改變其中兩個， 分式的值 不變。（1）中改變分

9、式本身和分母兩個負號，（2）中改變分子和分母兩個負號。例8，不改變分式的值， 依照x的降幕排列，使分子和分 母中x的最高項的系數(shù)都為正數(shù)。（1）； （2）-。解：（1）=；（ 2）-=-=-=-。說明：解題可分為三步：（1） 先將分式的分子和分母都按x的降幕排列，這步只是運 用加法交換律， 不改變符號。（2） 將分子和分母的最高項系數(shù)化為正數(shù)，只要提取公因式 -1即可，提取時注意每項都要變號。（3）運用符號法則進行變號。如果分子或分母的首項為負，則必須先將負號提到括號外面,再使用符號法則， 要注意避免下列的錯誤：= 。例9，約分：(1) (2)。解：(1) =-3yz10。分母的因式約去后得1

10、 ,分式變?yōu)檎饺艋喎质綍r千萬不要犯下列錯誤：=0 。=-分母的負號一般要移去。如果分式的分子或分母是多項式，應(yīng)先分解因式， 然后再約分。例10、約分：（1）;（2）；（3）；（4）;（5）解：(1)=注意:不要把約成=，也不要將最后結(jié)果寫成， 因為分式的橫線表示 括號，再寫括號就多余了 。（2）=注：不要將約做， 因為這樣是分子分母都減a2，不是同除以相同的整式（3）=x2+1。注：不要犯下面的錯誤:=x3-x2 。（4）=-。這里應(yīng)用到了（2-x）3=-（x-2）3 的變形。（5）=（分子按x的降幕排列）二（分子提取公因式-1）=（分子、分母都分解因式）二（約去公因式：x-1）=-（應(yīng)用分式的符號法則） 說明：此題的解法，一方面顯示出分式約分的一般步驟，另一方面在 解題的右側(cè)的括號內(nèi)寫出運算的算理，平日的化簡是不寫這些的，但不是它不