第6講計(jì)算機(jī)模擬

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算機(jī)模擬模擬的概念模擬的概念 模擬就是利用物理的、數(shù)學(xué)的模型來(lái)類比、模仿現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)及其演變過(guò)程，以尋求過(guò)程規(guī)律的一種方法 模擬的基本思想是建立一個(gè)試驗(yàn)的模型，這個(gè)模型包含所研究系統(tǒng)的主要特點(diǎn)通過(guò)對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪\(yùn)行，獲得所要研究系統(tǒng)的必要信息. 在實(shí)際問(wèn)題中，面對(duì)一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方法建模常常需要作許多簡(jiǎn)化假設(shè)，與面臨的實(shí)際問(wèn)題可能相差甚遠(yuǎn)，以致解答根本無(wú)法應(yīng)用這時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬幾乎成為唯一的選擇 在一定的假設(shè)條件下，運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算模擬系統(tǒng)的運(yùn)行，稱為數(shù)學(xué)模擬現(xiàn)代的數(shù)學(xué)模擬都是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，稱為計(jì)算機(jī)模擬模擬的方法模擬的方法: 數(shù)學(xué)模擬 計(jì)算機(jī)模擬可以

2、反復(fù)進(jìn)行，改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系數(shù)都比較容易 蒙特卡羅（蒙特卡羅（Monte CarloMonte Carlo）方法）方法是一種應(yīng)用隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的方法此方法對(duì)研究的系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)觀察抽樣，通過(guò)對(duì)樣本值的觀察統(tǒng)計(jì)，求得所研究系統(tǒng)的某些參數(shù)例例1 1在我方某前沿防守地域，敵人以一個(gè)炮排（含兩門火炮）為單位對(duì)我方進(jìn)行干擾和破壞為躲避我方打擊，敵方對(duì)其陣地進(jìn)行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn) 經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)，我方指揮所對(duì)敵方目標(biāo)的指示有50是準(zhǔn)確的，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有1/3的射擊效果能毀傷敵人一門火炮，有1/6的射擊效果能全部消滅敵人 現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對(duì)敵人實(shí)施的20次打擊結(jié)

3、果顯現(xiàn)出來(lái)，確定有效射擊的比率及毀傷敵方火炮的平均值分析分析：這是一個(gè)概率問(wèn)題，可以通過(guò)理論計(jì)算得到相應(yīng)的概率和期望值.但這樣只能給出作戰(zhàn)行動(dòng)的最終靜態(tài)結(jié)果，而顯示不出作戰(zhàn)行動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程. 為了能顯示我方20次射擊的過(guò)程，現(xiàn)采用模擬的方式 需要模擬出以下兩件事： 1. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析2 2 當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況1 1 觀察所對(duì)目標(biāo)的指示正確與否觀察所對(duì)目標(biāo)的指示正確與否模擬試驗(yàn)有兩種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/2 因此，可用投擲可用投擲1 1枚硬幣的方式予以確定枚硬幣的方式予以確定，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)為指示正確，反之為不正確 模擬

4、試驗(yàn)有三種結(jié)果：毀傷1門火炮的可能性為1/3(即2/6)，毀傷兩門的可能性為1/6，沒(méi)能毀傷敵火炮的可能性為1/2(即3/6) 這時(shí)可用投擲骰子的方法來(lái)確定可用投擲骰子的方法來(lái)確定：如果出現(xiàn)的是、點(diǎn)：則認(rèn)為沒(méi)能擊中敵人；如果出現(xiàn)的是、點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人一門火炮；若出現(xiàn)的是點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人兩門火炮2. 符號(hào)假設(shè)符號(hào)假設(shè)i：要模擬的打擊次數(shù)； k1：沒(méi)擊中敵人火炮的射擊總數(shù)； k2：擊中敵人一門火炮的射擊總數(shù)；k3：擊中敵人兩門火炮的射擊總數(shù)E：有效射擊比率； E1：20次射擊平均每次毀傷敵人的火炮數(shù)3. 模擬框圖模擬框圖初始化:i=0, k1=0, k2=0, k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1

5、=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1i20?E= E1= 0 +1 +2 停止硬幣正面?YNNY1，2，34，56120k220k320k23()20kk投擲硬幣的計(jì)算機(jī)模擬投擲硬幣的計(jì)算機(jī)模擬1產(chǎn)生服從U（0，1）的隨機(jī)數(shù)R12將區(qū)間0，1等分： 若 ，則對(duì)應(yīng)硬幣正面 若 ，則對(duì)應(yīng)硬幣反面5 . 001R15 . 01R擲骰子的計(jì)算機(jī)模擬擲骰子的計(jì)算機(jī)模擬1產(chǎn)生服從U（0，1）的隨機(jī)數(shù)R22將區(qū)間0，1六等份： 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為1 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為2 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為3 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為4 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為5 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為66102 R

6、62612 R63622 R65642 R64632 R1652 R4. 模擬結(jié)果模擬結(jié)果消滅敵人火炮數(shù)消滅敵人火炮數(shù)試驗(yàn)試驗(yàn)序號(hào)序號(hào)投硬幣投硬幣結(jié)果結(jié)果指示指示正確正確指示指示不正確不正確擲骰子擲骰子結(jié)果結(jié)果正正反正正反正正反反消滅敵人火炮數(shù)消滅敵人火炮數(shù)試驗(yàn)試驗(yàn)序號(hào)序號(hào)投硬幣投硬幣結(jié)果結(jié)果指示指示正確正確指示指示不正確不正確擲骰子擲骰子結(jié)果結(jié)果正反正反正正正正反正5. 理論計(jì)算理論計(jì)算6. 結(jié)果比較結(jié)果比較 返回 雖然模擬結(jié)果與理論計(jì)算不完全一致，但它卻能更加真實(shí)地表雖然模擬結(jié)果與理論計(jì)算不完全一致，但它卻能更加真實(shí)地表達(dá)實(shí)際戰(zhàn)斗動(dòng)態(tài)過(guò)程達(dá)實(shí)際戰(zhàn)斗動(dòng)態(tài)過(guò)程 用蒙特卡羅方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步

7、驟用蒙特卡羅方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步驟：1 設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯框圖，即模擬模型這個(gè)框圖要正確反映系統(tǒng)各部分運(yùn)行時(shí)的邏輯關(guān)系2 模擬隨機(jī)現(xiàn)象可通過(guò)具有各種概率分布的模擬隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬隨機(jī)現(xiàn)象產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令 在MATLAB軟件中，可以直接產(chǎn)生滿足各種分布的隨機(jī)數(shù)，命令如下：2產(chǎn)生mn階，均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣： rand (m, n) 產(chǎn)生一個(gè)，均勻分布的隨機(jī)數(shù)：rand1產(chǎn)生mn階a，b上均勻分布U（a，b）的隨機(jī)數(shù)矩陣： unifrnd (a,b,m, n) 產(chǎn)生一個(gè)a，b均勻分布的隨機(jī)數(shù)：unifrnd (a,b)例 1的計(jì)算機(jī)模擬 To MATLAB（rnd）當(dāng)研

8、究對(duì)象視為大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，且其中每一種變量對(duì)總和的影響都很小時(shí)，可以認(rèn)為該對(duì)象服從正態(tài)分布機(jī)械加工得到的零件尺寸的偏差、射擊命中點(diǎn)與目標(biāo)的偏差、各種測(cè)量誤差、人的身高、體重等，都可近似看成服從正態(tài)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 其中 0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布指數(shù)分布e0( )00txf xx指數(shù)分布的期望值為 1排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中顧客到達(dá)率為常數(shù)時(shí)的到達(dá)間隔、故障率為常數(shù)時(shí)零件的壽命都服從指數(shù)分布指數(shù)分布在排隊(duì)論、可靠性分析中有廣泛應(yīng)用注意：注意：MATLAB中，產(chǎn)生參數(shù)為 的指數(shù)分布的命令為exprnd( )1例例 顧客到達(dá)某商店的間隔時(shí)間服從參數(shù)為顧客到達(dá)某商

9、店的間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.10.1的指數(shù)分布的指數(shù)分布 指數(shù)分布的均值為指數(shù)分布的均值為1/0.1=101/0.1=10 指兩個(gè)顧客到達(dá)商店的平均間隔時(shí)間是指兩個(gè)顧客到達(dá)商店的平均間隔時(shí)間是1010個(gè)單位時(shí)間個(gè)單位時(shí)間. .即平均即平均1010個(gè)個(gè)單位時(shí)間到達(dá)單位時(shí)間到達(dá)1 1個(gè)顧客個(gè)顧客. . 顧客到達(dá)的間隔時(shí)間可用顧客到達(dá)的間隔時(shí)間可用exprnd(10)模模擬擬設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,且取各個(gè)值的概率為其中 0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的泊松分布泊松分布e(),0,1,2,!kP Xkkk泊松分布在排隊(duì)系統(tǒng)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、天文、物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用泊松分布的期望值為連續(xù)

10、系統(tǒng)模擬實(shí)例: 追逐問(wèn)題追逐問(wèn)題 狀態(tài)隨時(shí)間連續(xù)變化的系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬只能是近似的，只要這種近似達(dá)到一定的精度，也就可以滿足要求例例 追逐問(wèn)題追逐問(wèn)題: 如圖,正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)各有1人.在某一時(shí)刻,4人同時(shí)出發(fā)以勻速v=1m/s按順時(shí)針?lè)较蜃分鹣乱蝗?如果他們始終保持對(duì)準(zhǔn)目標(biāo),則最終按螺旋狀曲線于中心點(diǎn)O.試求出這種情況下每個(gè)人的行進(jìn)軌跡.1. 建立平面直角坐標(biāo)系: A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4).2. 取時(shí)間間隔為t,計(jì)算每一點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的坐標(biāo).4. 對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，連接它在各時(shí)刻的位置,即得所求運(yùn)動(dòng)軌跡.求解過(guò)程求解過(guò)程: To MATLAB(chase)返回OBCDAv=1;dt=0.05;x=0 0 10 10;y=0 10 10 0;for i=1:4 plot(x(i),y(i),.),hold onendd=20;while(d0.1) x(5)=x(1);y(5)=y(1); for