第9章小波變換基礎(chǔ)

1、第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9.1 9.1 小波變換的定義小波變換的定義u小波變換的定義小波變換的定義 給定一個(gè)基本函數(shù)，令給定一個(gè)基本函數(shù)，令 (9.1.1)(9.1.1) 若若a,ba,b不斷地變化，我們可得不斷地變化，我們可得 到一族函數(shù)到一族函數(shù) 。給定平。給定平方可積的信號(hào)方可積的信號(hào) ，即即 則小則小x(tx(t) )的小波變換（的小波變換（Wavelet TransformWavelet Transform，WTWT）：）： （9.1.29.1.2）)(1)(,abtatba)(,tba)(t)(tx)()(2RLtxdtabttxabaWTx)()(1),()(),

2、()()(,ttxdtttxbaba第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 信號(hào)信號(hào) 的小波變換的小波變換 是是a a和和b b的函數(shù)，的函數(shù)，b b是時(shí)移，是時(shí)移，a a是尺度因子。是尺度因子。 又稱(chēng)為基本小波，或母小波。又稱(chēng)為基本小波，或母小波。 是母是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，稱(chēng)之為小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，稱(chēng)之為小波基函數(shù)，或簡(jiǎn)稱(chēng)小波基。小波基函數(shù)，或簡(jiǎn)稱(chēng)小波基。 式中式中,b,b的作用是確定對(duì)的作用是確定對(duì)x(tx(t) )分析的時(shí)間位置，分析的時(shí)間位置，也即時(shí)間中心。尺度因子也即時(shí)間中心。尺度因子a a的作用是把基本小的作用是把基本小波波 作伸縮。作伸縮。式中的

3、因子式中的因子 是為了保證在不同的尺度時(shí)，是為了保證在不同的尺度時(shí)，始終能和始終能和 母函數(shù)有著相同的能量，即母函數(shù)有著相同的能量，即)(tx),(baWTx)(t)(,tba)(ta1)(,tba)(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的性質(zhì)，的傅里葉變換為：性質(zhì)，的傅里葉變換為： （9.1.3）由由ParsevalsParsevals定理，（定理，（9.1.29.1.2）式可重新表為：）式可重新表為： （9.1.49.1.4）此式即為小波變換的頻域表達(dá)式此式即為小波變換的頻域表達(dá)式。 dt

4、abtadttba22,)(1)(dtt2)()(1)(,abtatbabjbaeaa)()(,)(),(21),(,baxXbaWTdeaXabj)()(2 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9.2 小波變換的特點(diǎn)小波變換的特點(diǎn)u 小波變換的恒小波變換的恒Q性性 由小波變換的兩個(gè)定義可以看出，如果由小波變換的兩個(gè)定義可以看出，如果 在在時(shí)域是有限支撐的，那么它和時(shí)域是有限支撐的，那么它和 作內(nèi)積后將保證作內(nèi)積后將保證在時(shí)域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)所希望的時(shí)域定位在時(shí)域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)所希望的時(shí)域定位功能，也即功能，也即 反映的是反映的是 在在b b附近的性質(zhì)；附近的性質(zhì)；若若

5、具有帶通性質(zhì)，即具有帶通性質(zhì)，即 圍繞著中心頻率圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么是有限支撐的，那么 和和 作內(nèi)積后也將作內(nèi)積后也將反映在中頻率處的局部性質(zhì)，而實(shí)現(xiàn)好的頻率定反映在中頻率處的局部性質(zhì)，而實(shí)現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。位性質(zhì)。 )(,tba)(,tba)(,tba)(tx)(tx)(,ba),(baWTx)(X第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)若若 的時(shí)間中心是的時(shí)間中心是 , ,時(shí)寬是時(shí)寬是 ， 的頻率中心的頻率中心是是 , ,帶寬是帶寬是 ，那么，那么 的時(shí)間中心仍是的時(shí)間中心仍是 ，但時(shí)，但時(shí)寬變成寬變成 ， 的頻譜的頻譜 的頻率中心變?yōu)榈念l率中心變?yōu)?帶寬變成帶寬變成 。這樣

6、。這樣, , 的時(shí)寬帶寬積仍是的時(shí)寬帶寬積仍是 , ,與與a a無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 定義：定義：為小波為小波 的品質(zhì)因數(shù)，對(duì)的品質(zhì)因數(shù)，對(duì) ，其，其)(t0tt)(0)(at0tta)(at)( aa,/0aa/)(att0Q/)(t)(atQaa00/= =帶寬帶寬/ /中心頻率中心頻率 帶寬帶寬/ /中心頻率中心頻率 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 不同尺度下小波變換所分析的時(shí)寬、帶寬、時(shí)間不同尺度下小波變換所分析的時(shí)寬、帶寬、時(shí)間中心和頻率中心的關(guān)系中心和頻率中心的關(guān)系 022/002t)2/ 1( a) 1( a)2( a/22/2tt圖圖9

7、.2.2 9.2.2 a a取不同值時(shí)小波變換對(duì)信號(hào)分析的時(shí)頻區(qū)間取不同值時(shí)小波變換對(duì)信號(hào)分析的時(shí)頻區(qū)間第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 由于小波變換的恒由于小波變換的恒Q Q性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖9.2.29.2.2中三個(gè)時(shí)、頻分析區(qū)間（即三個(gè)矩形）的面積保持不變。由中三個(gè)時(shí)、頻分析區(qū)間（即三個(gè)矩形）的面積保持不變。由此，小波變換提供了一個(gè)在時(shí)、頻平面上可調(diào)的分析窗口，此，小波變換提供了一個(gè)在時(shí)、頻平面上可調(diào)的分析窗口，該分析窗口在高頻端（圖中該分析窗口在高頻端（圖中 處）的頻率分辨率不好（矩處）的頻率分辨率不好（矩形窗的頻率邊變長(zhǎng)），但時(shí)域的分辨率變好

8、（矩形的時(shí)間邊形窗的頻率邊變長(zhǎng)），但時(shí)域的分辨率變好（矩形的時(shí)間邊變短）；反之，在低頻端（圖中變短）；反之，在低頻端（圖中 處），頻率分辨率變處），頻率分辨率變好，而時(shí)域分辨率變差。但在不同的值下，圖好，而時(shí)域分辨率變差。但在不同的值下，圖9.2.29.2.2中分析中分析窗的面積保持不變，也即時(shí)、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的要窗的面積保持不變，也即時(shí)、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的要作出調(diào)整。作出調(diào)整。0220/u小波變換的時(shí)域及頻率分辨率小波變換的時(shí)域及頻率分辨率第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 信號(hào)中的高頻成份往往對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成份。對(duì)信號(hào)中的高頻成份往往對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成份。對(duì)這一類(lèi)信號(hào)

9、分析時(shí)則要求時(shí)域分辨率要好以適應(yīng)快變成這一類(lèi)信號(hào)分析時(shí)則要求時(shí)域分辨率要好以適應(yīng)快變成份間隔短的需要，對(duì)頻域的分辨率則可以放寬，當(dāng)然，份間隔短的需要，對(duì)頻域的分辨率則可以放寬，當(dāng)然，時(shí)、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。低頻信號(hào)往往是時(shí)、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。低頻信號(hào)往往是信號(hào)中的慢變成份，對(duì)這類(lèi)信號(hào)分析時(shí)一般希望頻率的信號(hào)中的慢變成份，對(duì)這類(lèi)信號(hào)分析時(shí)一般希望頻率的分辨率要好，而時(shí)間的分辨率可以放寬，同時(shí)分析的中分辨率要好，而時(shí)間的分辨率可以放寬，同時(shí)分析的中心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然，小波變換的特點(diǎn)可以自心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然，小波變換的特點(diǎn)可以自動(dòng)滿足這些客觀實(shí)際的需要。動(dòng)滿足這

10、些客觀實(shí)際的需要。第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 用較小的用較小的a對(duì)信號(hào)作高頻分析時(shí)，實(shí)際上是用高對(duì)信號(hào)作高頻分析時(shí)，實(shí)際上是用高頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀察，用較大的頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀察，用較大的a對(duì)信號(hào)作低對(duì)信號(hào)作低頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀察。小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對(duì)信號(hào)作實(shí)際分察。小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對(duì)信號(hào)作實(shí)際分析時(shí)的規(guī)律，也符合人們的視覺(jué)特點(diǎn)。析時(shí)的規(guī)律，也符合人們的視覺(jué)特點(diǎn)。第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 綜上所述，由于小波變換具有恒綜上所述，由于小波變換具有恒Q Q性質(zhì)及自動(dòng)調(diào)性質(zhì)及自動(dòng)調(diào)節(jié)對(duì)

11、信號(hào)分析的時(shí)寬節(jié)對(duì)信號(hào)分析的時(shí)寬/ /帶寬等一系列突出優(yōu)點(diǎn)，因此帶寬等一系列突出優(yōu)點(diǎn)，因此被人們稱(chēng)為信號(hào)分析的被人們稱(chēng)為信號(hào)分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波變換。小波變換是是八十年代后期發(fā)展起來(lái)的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。八十年代后期發(fā)展起來(lái)的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9.3 連續(xù)小波變換的計(jì)算性質(zhì)連續(xù)小波變換的計(jì)算性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì) 若若 的的CWTCWT是是 , ,那么那么 的的CWTCWT是是 。記。記 ， (9.3.1)(9.3.1)(tx),(baWTx)(tx),(baWTx)()(txtydtabttxa1baWTy)()(),(t dabttxa1)()

12、(),(baWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)如果如果x(tx(t) )的的CWTCWT是是 ，令，令 ，則，則 (9.3.2)(9.3.2) 證明證明: : 令令 則則 該性質(zhì)指出，當(dāng)信號(hào)的時(shí)間軸按該性質(zhì)指出，當(dāng)信號(hào)的時(shí)間軸按 作伸縮時(shí)，其小波變換在作伸縮時(shí)，其小波變換在a a和和b b兩個(gè)軸上同時(shí)要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不兩個(gè)軸上同時(shí)要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點(diǎn)的又一體現(xiàn)。變。這是小波變換優(yōu)點(diǎn)的又一體現(xiàn)。 ),(baWTx)()(txty),(1),(baWTbaWTxydtabttxabaWTy)()(1),(

13、ttt d1abttxa1baWTy)()(),(dtabttxa)()(11),(1baWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 微分性質(zhì)微分性質(zhì)如果如果x(tx(t) )的的CWTCWT是是 ，令，令 ，則則 （9.3.39.3.3）證明：證明：由移位性質(zhì)有：由移位性質(zhì)有：即即),( baWTx ),(baWTx)()()(txdttdxty),(),(baWTbbaWTxydtabtdttdxabaWTy)()(1),(dtabtttxttxaLimt)()()(10dtabttxadtabtttxatLimt)()(1)()(110tbaWTtbaWTLimbaWTxxty),(

14、),(),(0),(),(baWTbbaWTxy 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)兩個(gè)信號(hào)卷積的兩個(gè)信號(hào)卷積的CWT CWT 如果如果x(t),h(tx(t),h(t) )的的CWTCWT分別是分別是 及及 , ,令令 則則 （9.3.4)9.3.4)式中符號(hào)式中符號(hào) 表示對(duì)變量表示對(duì)變量b b作卷積。作卷積。 ),( baWTx),(baWTh)()()(thtxty),()(),(baWTtxbaWThby),()(baWTthxbb第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 兩個(gè)信號(hào)和的兩個(gè)信號(hào)和的CWTCWT 令令 的的CWTCWT分別是分別是 ，且且 ，則，則 （9.3.5a9

15、.3.5a）同理，如果同理，如果 ，則，則 （9.3.5b9.3.5b）即兩個(gè)信號(hào)和的即兩個(gè)信號(hào)和的CWT等于各自等于各自CWT的和，也即小波變換滿足的和，也即小波變換滿足疊加原理。疊加原理。 )(),(21txtx),(),(21baWTbaWTxx)()()(21txtxtx),(),(),(21baWTbaWTbaWTxxx)()()(2211txktxktx),(),(),(2211baWTkbaWTkbaWTxxx 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9.4小波反變換及小波容許條件小波反變換及小波容許條件u連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條

16、件 定理定理9.2 9.2 設(shè)設(shè) ，記，記 ， 為的為的傅里葉變換，若傅里葉變換，若 則則 可由其小波變換可由其小波變換 來(lái)恢復(fù)，即來(lái)恢復(fù)，即 (9.4.1)(9.4.1)()(),(2RLttx)()(t02)(c)(tx),(baWTxdadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)容許條件含的多層的意思：容許條件含的多層的意思： 并不是時(shí)域的任一函數(shù)并不是時(shí)域的任一函數(shù) 都可以充當(dāng)小波。其可以都可以充當(dāng)小波。其可以作為小波的必要條件作為小波的必要條件 是其傅里葉變換滿足該容許條件；是其傅里葉變換滿足該容許條件； 由（由（9.3.99.3.9

17、）式可知，若）式可知，若 ，則必有，則必有 ，否則，否則 必必趨于無(wú)窮。這等效地告訴我們，小波函數(shù)趨于無(wú)窮。這等效地告訴我們，小波函數(shù) 必然是帶通必然是帶通函數(shù)；函數(shù)； 由于由于 ，因此必有，因此必有 (9.4.2)(9.4.2) 這一結(jié)論指出，這一結(jié)論指出， 的取值必然是有正有負(fù)，也即它是振的取值必然是有正有負(fù)，也即它是振蕩的。蕩的。)()(2RLt c0)0(c)(t)(t0)(0 0)( dtt第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 小波的函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征：是小波的函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征：是 一帶通函一帶通函數(shù)，它的時(shí)域波形應(yīng)是振蕩的；從時(shí)頻定位的角數(shù)，它的時(shí)域波形應(yīng)是振蕩的；從

18、時(shí)頻定位的角度，我們總希望度，我們總希望 是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。衰減的。 小波函數(shù)總結(jié)：小波函數(shù)總結(jié)： 1.1.由上述討論，由上述討論， 自然應(yīng)和一般的窗函數(shù)一樣滿自然應(yīng)和一般的窗函數(shù)一樣滿足：足： （9.4.39.4.3）)(t)(tdtt)()(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9.5重建核與重建核方程重建核與重建核方程u重建核重建核 定理定理9.3 9.3 設(shè)設(shè) 是平面是平面 上的任一點(diǎn)，上的任一點(diǎn)， 上上的二維函數(shù)的二維函數(shù) 欲是某一函數(shù)的小波變換的充要欲是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必須滿足如下的重建核方程，即條件是它必須滿足如下

19、的重建核方程，即 （9.5.19.5.1） （9.5.29.5.2）稱(chēng)為重建核。稱(chēng)為重建核。 ),(00ba),(ba),(ba),(baWTxdadbbabaKbaWTabaWTxx),;,(),(),(000200dtttCbabaKbaba)()(1),;,(00,00)(),(100,ttCbaba 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)公式說(shuō)明：公式說(shuō)明： 若若 是是 的小波變換，那么在平面的小波變換，那么在平面 上上某一點(diǎn)某一點(diǎn) 處小波變換的值處小波變換的值 可由半平面可由半平面 上的值上的值 來(lái)表示，也即，來(lái)表示，也即， 是是半平面上半平面上 的總貢獻(xiàn)。因此這些點(diǎn)上的值是相關(guān)的

20、總貢獻(xiàn)。因此這些點(diǎn)上的值是相關(guān)的，也即（的，也即（9.4.19.4.1）式對(duì)）式對(duì) 的重建是存在信息冗余的重建是存在信息冗余的。這一結(jié)論告訴我們可以用的。這一結(jié)論告訴我們可以用 平面上離散柵格上平面上離散柵格上的的 來(lái)重建來(lái)重建 ，以消除重建過(guò)程中的信息冗，以消除重建過(guò)程中的信息冗余。余。 ),(baWTx)(tx),(ba),(00ba),(00baWTx),(RbRa),(baWTx),(00baWTx),(aWTx)(tx),(ba),(baWTx)(tx 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 若若a,b連續(xù)取值，要想找到這樣的母小波連續(xù)取值，要想找到這樣的母小波 使使 兩兩正交，那

21、將是非常困難地。因此，連續(xù)兩兩正交，那將是非常困難地。因此，連續(xù)小波變換的小波變換的 必然存在信息冗余。然而，當(dāng)必然存在信息冗余。然而，當(dāng)a,b離散取值時(shí)，則有可能得到一族正交小波基離散取值時(shí)，則有可能得到一族正交小波基 )(,tba)(t)(,tba),(baWTx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9.69.6小波的分類(lèi)小波的分類(lèi) 第一類(lèi)第一類(lèi): :是所謂地是所謂地“經(jīng)典小波經(jīng)典小波”，在在MATLABMATLAB中又稱(chēng)作中又稱(chēng)作“原始原始（CrudeCrude）小波）小波”。 第二類(lèi)：是第二類(lèi)：是DaubecheisDaubecheis構(gòu)造的構(gòu)造的正交小波正交小波 第三類(lèi)：是由第三類(lèi)

22、：是由CohenCohen，DaubechiesDaubechies構(gòu)造的雙正交小波構(gòu)造的雙正交小波第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9.6.1經(jīng)典類(lèi)小波經(jīng)典類(lèi)小波uHaarHaar小波小波 HaarHaar小波來(lái)自于數(shù)學(xué)家小波來(lái)自于數(shù)學(xué)家HaarHaar于于19101910年提出的年提出的HaarHaar正交函數(shù)集，其定義是：正交函數(shù)集，其定義是： （9.6.19.6.1） 其波形如圖其波形如圖9.6.19.6.1（a a）所示。）所示。 的傅里葉變換是：的傅里葉變換是： （9.6.29.6.2） 011)(t其它12/12/10tt2/2)(sin4)(jeaj)(t第第9 9章章

23、小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 2/121000)( t)1(t)2/( tttt21111 圖圖9.6.1 Harr小波小波 (a) ，(b) ，(c) )(t) 1( t)2/(t 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) Haar Haar小波的優(yōu)點(diǎn)小波的優(yōu)點(diǎn) Haar小波在時(shí)域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（小波在時(shí)域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（0，1）Haar小波屬正交小波。若取小波屬正交小波。若取 ，那么，那么HaarHaar波是對(duì)稱(chēng)的。系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)若具有對(duì)稱(chēng)性，波是對(duì)稱(chēng)的。系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)若具有對(duì)稱(chēng)性，則該系統(tǒng)具有線性相位，這對(duì)于去除相位失真是非常有則該系統(tǒng)具有線性相位，這對(duì)于去除

24、相位失真是非常有利的。利的。HaarHaar小波是目前唯一一個(gè)既具有對(duì)稱(chēng)性又是有限小波是目前唯一一個(gè)既具有對(duì)稱(chēng)性又是有限支撐的正交小波；支撐的正交小波；Haar小波僅取小波僅取1和和1，計(jì)算簡(jiǎn)單。，計(jì)算簡(jiǎn)單。ZbZj2aj,0)2(),(ttj第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)HaarHaar小波缺點(diǎn)小波缺點(diǎn) HaarHaar小波是不連續(xù)小波，由于小波是不連續(xù)小波，由于 ，因此，因此處處 只有一階零點(diǎn)只有一階零點(diǎn) ，這就使得，這就使得HaarHaar小波在小波在實(shí)際的信號(hào)分析與處理中受到了限制。實(shí)際的信號(hào)分析與處理中受到了限制。 0)( dttt)(0第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換

25、基礎(chǔ)u MorletMorlet小波小波 MorletMorlet小波定義為小波定義為 (9.6.3)(9.6.3)其傅里葉變換其傅里葉變換 （9.6.49.6.4） 它是一個(gè)具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)?？紤]到它是一個(gè)具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)?？紤]到待分析的信號(hào)一般是實(shí)信號(hào)。待分析的信號(hào)一般是實(shí)信號(hào)。 MorletMorlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換。但該小波是對(duì)稱(chēng)的，是應(yīng)用較為廣于連續(xù)小波變換。但該小波是對(duì)稱(chēng)的，是應(yīng)用較為廣泛的一種小波。泛的一種小波。tjteet2/2)(2/)(202)(e 第第9 9章章 小波變換基

26、礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)tett02/cos)(2 MATLAB MATLAB中將（中將（9.6.39.6.3）式改造為：）式改造為： （9.6.59.6.5）并取并取 。該小波不是緊支撐的，理論上講。該小波不是緊支撐的，理論上講t t可取可取 。但是當(dāng)。但是當(dāng) ，或再取更大的值時(shí)，或再取更大的值時(shí)， 和和 在時(shí)域和頻域都具有很好的集中，如圖在時(shí)域和頻域都具有很好的集中，如圖9.6.29.6.2所所示。示。5050)()(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)-4-2024-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Morlet wavelet: Psi00.510246810

27、121416The FT of Psi圖圖9.6.2 Morlet9.6.2 Morlet小波，小波， (a)(a)時(shí)域波形，時(shí)域波形， (b)(b)頻譜頻譜第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)u Mexican hat Mexican hat小波小波 該小波的中文名字為該小波的中文名字為“墨西哥草帽墨西哥草帽”小波，又稱(chēng)小波，又稱(chēng)MarrMarr小波。它定義為小波。它定義為: : (9.6.6)(9.6.6) 式中式中 ，其傅里葉變換為，其傅里葉變換為 (9.6.7)(9.6.7)該小波是由一高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所得到的該小波是由一高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所得到的, ,其波形其波形和其頻譜如圖和

28、其頻譜如圖9.6.39.6.3所示。所示。2/22)1 ()(tetct4/132c2/222)(ec 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)-4-2024-0.4-0.200.20.40.60.81 Mexican hat wavelet: Psi00.5102468101214161820The FT of Psi圖圖9.6.3 9.6.3 墨西哥草帽小波，墨西哥草帽小波，(a)(a)時(shí)域波形，時(shí)域波形，(b)(b)頻譜頻譜第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) Mexican hat小波不是緊支撐的，不是正交的，小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對(duì)稱(chēng)的，可用于連續(xù)小

29、也不是雙正交的，但它是對(duì)稱(chēng)的，可用于連續(xù)小波變換。由于該小波在波變換。由于該小波在 處有二階零點(diǎn)，因此處有二階零點(diǎn)，因此它滿足容許條件，且該小波比較接近人眼視覺(jué)的它滿足容許條件，且該小波比較接近人眼視覺(jué)的空間響應(yīng)特征?？臻g響應(yīng)特征。 0第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)u Gaussian Gaussian小波小波 高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導(dǎo)而得到高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導(dǎo)而得到的，定義為：的，定義為： ， (9.6.8)(9.6.8)式中定標(biāo)常數(shù)是保證式中定標(biāo)常數(shù)是保證 。 該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當(dāng)支

30、撐的。當(dāng)k k取偶數(shù)時(shí)取偶數(shù)時(shí) 正對(duì)稱(chēng)，當(dāng)正對(duì)稱(chēng)，當(dāng)k k取奇數(shù)時(shí)，取奇數(shù)時(shí)，反對(duì)稱(chēng)。圖反對(duì)稱(chēng)。圖9.6.49.6.4給出了給出了k=4k=4時(shí)的時(shí)的 的時(shí)域波形及對(duì)的時(shí)域波形及對(duì)應(yīng)的頻譜。應(yīng)的頻譜。 2tkk2edtdct/)(821k,1t2)()(t)(t)(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)-10-50510-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2Gaussian wavelet: Psi00.51051015 The FT of Psi 圖圖9.6.4 9.6.4 高斯小波，取高斯小波，取k=4,(a)k=4,(a)時(shí)域波形，時(shí)域波形，(b)(b)頻

31、譜頻譜第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)9.6.2正交小波正交小波 目前提出的正交小波大致可分為四種，即目前提出的正交小波大致可分為四種，即DaubechiesDaubechies小波，對(duì)稱(chēng)小波，小波，對(duì)稱(chēng)小波，CoifletsCoiflets小波和小波和MeyerMeyer小波。這些正交小波和前面所討論的小波。這些正交小波和前面所討論的“經(jīng)典經(jīng)典小波小波”不同，它們一般不能由一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式不同，它們一般不能由一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式給給出出 ，而是通過(guò)一個(gè)叫做，而是通過(guò)一個(gè)叫做“尺度函數(shù)尺度函數(shù)（ScallingScalling functionfunction）”的的 的加權(quán)組合來(lái)產(chǎn)生的。

32、的加權(quán)組合來(lái)產(chǎn)生的。 )(t)(t第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)例題：例題： 例例9.7.1 9.7.1 令令 為一正弦加噪聲信號(hào)，它取自為一正弦加噪聲信號(hào)，它取自MATLABMATLAB中的中的noissin.matnoissin.mat。對(duì)該信號(hào)作。對(duì)該信號(hào)作CWTCWT，a a分別分別等于等于2 2和和128128，a=2a=2時(shí)，小波變換的結(jié)果對(duì)應(yīng)信號(hào)中時(shí)，小波變換的結(jié)果對(duì)應(yīng)信號(hào)中的高頻成份，的高頻成份，a=128a=128時(shí)，小波變換對(duì)應(yīng)信號(hào)中的低時(shí)，小波變換對(duì)應(yīng)信號(hào)中的低頻成份。其原始信號(hào)及變換結(jié)果見(jiàn)圖頻成份。其原始信號(hào)及變換結(jié)果見(jiàn)圖9.7.1(a)9.7.1(a)，(b

33、)(b)和（和（c c）。）。)(tx第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)02004006008001000-202 signal noissin02004006008001000-101 a=202004006008001000-20020 a=128圖圖9.7.1 9.7.1 信號(hào)信號(hào)“noissinnoissin”的小波變的小波變換換 (a)(a)原信號(hào)原信號(hào)x(tx(t) )，(b)a(b)a=2=2，(c)a(c)a=128=128第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ) 例例9.7.2 9.7.2 仍然使用例仍然使用例9.7.19.7.1的信號(hào)的信號(hào)“noissinnoissi

34、n”，對(duì)其作對(duì)其作CWTCWT時(shí)時(shí)a a分別取分別取1010，3030，6060，9090，120120及及150150。所得到的圖所得到的圖9.7.29.7.2是在各個(gè)尺度下的小波系數(shù)的灰是在各個(gè)尺度下的小波系數(shù)的灰度圖。顏色越深，說(shuō)明在該尺度及該位移（水平度圖。顏色越深，說(shuō)明在該尺度及該位移（水平軸）處的小波系數(shù)越大。此例旨在說(shuō)明對(duì)小波變軸）處的小波系數(shù)越大。此例旨在說(shuō)明對(duì)小波變換的結(jié)果具有不同的表示方式。換的結(jié)果具有不同的表示方式。第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 12

35、0 .time (or space) bscales a1002003004005006007008009001000 10 30 60 90120150圖圖9.7.2 9.7.2 多尺度下小波變換的灰度表示多尺度下小波變換的灰度表示第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基礎(chǔ)3.3 基于小波變換的信號(hào)奇異性檢測(cè) 信號(hào)(函數(shù))奇異性是指信號(hào)(函數(shù))在某處有間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。反過(guò)來(lái)，無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù)是光滑的或沒(méi)有奇異性。奇異點(diǎn)，即突變點(diǎn)，往往包含了信號(hào)的重要特征。例如，機(jī)械制造與自動(dòng)控制領(lǐng)域中的故障信號(hào)多表現(xiàn)為突變信號(hào)；在圖像中，突變點(diǎn)常位于重要結(jié)構(gòu)的邊緣部分。在數(shù)學(xué)上，信號(hào)的奇異性通常用Lipschitz指數(shù)來(lái)刻畫(huà)。在小波分析出現(xiàn)之前，人們常用Fourier變換研究信號(hào)在某處有間斷、有奇異性的情況，根據(jù)信號(hào)的Fourier變換衰減的速度來(lái)確定該信號(hào)的有無(wú)奇異性并判斷奇異性的大小。由于Fourier變換對(duì)信號(hào)的表示要么在時(shí)域，要么在頻域，缺乏空間局部特性，因而Fourier變換只能確定信號(hào)奇異性的整體性質(zhì)，無(wú)法確定奇異點(diǎn)的空間分布。小波變換具有時(shí)一頻局部化特性，能夠有效地分析信號(hào)的奇異性，確定奇異點(diǎn)的位置與奇異度的大小。 第第9 9章章 小波變換基礎(chǔ)小波變換基