和圓一樣的三角形

1、和圓一樣的三角形數(shù)學(xué)之所以重要，不僅因?yàn)樗强茖W(xué)理論的基石，還因?yàn)閿?shù)學(xué)在日常生活、 工業(yè)制造甚至是藝術(shù)品審美上都用著非常廣泛的應(yīng)用和體現(xiàn)。如果不知道一些基本的數(shù)學(xué)道理，就是被科學(xué)武裝到牙齒的 NASA 工程師也會犯一些低級錯(cuò)誤。比如今天的故事主角勒洛三角形。 這個(gè)和圓是一家的多邊形， 不僅性質(zhì)奇特，還是制造業(yè)的寵兒。 它是如何滲透到廣大勞動人民身邊的？死理性派告訴你。不識勒洛三角形，NASA 都要犯錯(cuò)誤歷史上，一枚美國火箭的發(fā)射流程是這樣的：先在工廠完成推進(jìn)器的組裝， 然后用駁船運(yùn)至佛羅里達(dá)的肯尼迪航天中心進(jìn)行整體吊裝，最后在發(fā)射臺上點(diǎn)火發(fā)射。然而，一些 NASA 的工程師發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：在運(yùn)抵

2、總裝車間之前，推進(jìn)器需要橫躺著跋涉數(shù)千公里 （例如在加利福尼亞組裝的土星 -5 的第二級推進(jìn)器甚至需要繞道巴拿馬運(yùn)河），但在這一過程中，由于其本身的巨大重量，推進(jìn)器有可能會發(fā)生變形。對于液體燃料火箭來說，輕微的變形也可能導(dǎo)致燃料泄漏造成發(fā)射事故。 為了檢驗(yàn)火箭截面是否是正圓， NASA 的技術(shù)人員們提出了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，每隔 60測量一次火箭的直徑（該方向上界面內(nèi)兩點(diǎn)距離的最大值），如果 3 次測得的直徑都相等，那火箭的截面即使不是標(biāo)準(zhǔn)的圓形也差不多了。然而這個(gè)方案真的靠譜么？很不幸， 一種叫做定寬曲線的曲線族粉碎了他們的幻想。定寬曲線是這樣的一種幾何圖形，它們在任何方向上的直徑（或稱寬度）都是定值

3、。當(dāng)然，圓也是一種定寬曲線，但是定寬曲線可遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這么一種，其中最具有代表性的當(dāng)屬勒洛三角形。勒洛三角形像上圖這樣把 3 個(gè)等半徑的圓重合起來，兩兩互相經(jīng)過圓心， 3 個(gè)圓相交的部分就是勒洛三角形，或者其發(fā)現(xiàn)者所稱的“曲邊三角形”。 如果不幸碰到這樣的一條曲線， NASA 的工作人員無論怎么測直徑，得到的結(jié)果都會是一樣的。勒洛三角形和它的一干定寬曲線兄弟們都具有許多有趣的特性，其中最重要的當(dāng)然就是它們的定寬性。使用截面是定寬曲線的滾木來搬運(yùn)東西，不會發(fā)生上下抖動。實(shí)際上這樣的裝置在許多科技館都能看到， 下圖就是柏林一家博物館內(nèi)的定寬曲線滾木。另外定寬曲線還有一個(gè)有趣的性質(zhì)，就是寬度相等的定寬曲

4、線有相同的周長，所以下圖中的圓形滾木轉(zhuǎn)過一周的時(shí)候，旁邊的勒洛三角形滾木也恰好轉(zhuǎn)過一周。制造工藝上的廣泛應(yīng)用應(yīng)用上面滾木的原理，可以制造出許多有趣的小玩意。例如我國勞動人民就充分發(fā)揮聰明才智制造了一輛利用等寬曲線輪的角輪自行車，據(jù)說已經(jīng)成功申請專利了。有人會說“角輪自行車”只是觀賞性大于實(shí)用性的玩具，確實(shí)如此。那不妨讓我們再來看看等寬曲線在汽車工業(yè)上的應(yīng)用。當(dāng)然，汽車制造商們不會用等寬曲線制造輪子， 他們把等寬曲線藏在了汽車更核心的部分發(fā)動機(jī)里。下圖就是馬自達(dá)公司的轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)截面圖。其實(shí)轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)并不是什么新鮮發(fā)明，早在 20 世紀(jì) 50 年代德國工程師汪克爾就制造出了第一臺轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)的樣機(jī)，

5、 因此這種發(fā)動機(jī)又叫做汪克爾發(fā)動機(jī)。熟悉汽車的同學(xué)可能已經(jīng)注意到了這種發(fā)動機(jī)與其他發(fā)動機(jī)的不同之處，它沒有常見的活塞和曲桿。沒錯(cuò)，因?yàn)閷τ谵D(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)來說，這些麻煩的東西已經(jīng)完全不需要了，取而代之的是一個(gè)轉(zhuǎn)子。轉(zhuǎn)子的截面是面積最小的等寬曲線勒洛三角形，無論轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)到什么角度，都嚴(yán)格將汽缸分成三部分，同時(shí)進(jìn)行進(jìn)氣、壓縮、 點(diǎn)火與排氣的周期， 這樣當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過一周時(shí)可以做功三次，效率遠(yuǎn)高于旋轉(zhuǎn)兩周才做工一次的傳統(tǒng)四沖程活塞發(fā)動機(jī)。 與傳統(tǒng)四沖程發(fā)動機(jī)相比，轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)具有體積更小、振動與噪音更低、結(jié)構(gòu)簡單、故障率低等優(yōu)點(diǎn)。但轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)對材料和工藝的要求也更高，同時(shí)提升功率較為困難，所以目前市場上，采用轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)的汽車公司還并不多。由于等寬性， 等寬曲線還可以在一個(gè)正方形內(nèi)貼著邊沿滾動。1914 年，一位注意到這一特性的美國工程師據(jù)此發(fā)明了方孔鉆頭。方孔鉆頭的截面是一個(gè)勒洛三角形，為使鉆頭更鋒利，它被削去了一部分的。 在工作時(shí)鉆頭的中心隨著鉆頭的轉(zhuǎn)動同時(shí)繞軸做圓周運(yùn)動（事實(shí)上并不是嚴(yán)格的圓周運(yùn)動），就可以鉆出四角略圓的正方形。方孔鉆頭分解圖，中間的齒輪組是使鉆頭軸轉(zhuǎn)動的機(jī)構(gòu)在上面的段落里，勒洛三角形大出風(fēng)頭，但是等寬曲線家族可不是只有這么一位成員。在其他地方我們也能看見等寬曲線的身影，許多國家的硬幣就喜歡采用等