命題及其關系充分條件與必要條件理含解析

1、考點 命題及其關系、充分條件與必要條件【考點分類】熱點一 命題及其關系1. 【2014陜西高考理第8題】原命題為“若互為共軛復數(shù)，則”，關于逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假2.【2014高考遼寧(理)5】.設是非零向量，已知命題P：若，則；命題q：若，則，則下列命題中真命題是（ ）A B C D3.【2014重慶理 6】已知命題對任意，總有；是的充分不必要條件 則下列命題為真命題的是（ ）【答案】D.【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質知，是真命題，取=1.5滿足1，但滿足2，故不是的充分不必要條件，故是假命

2、題，是真命題，故選D.4. 【2013高考天津（理）】已知下列三個命題: 若一個球的半徑縮小到原來的, 則其體積縮小到原來的;若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等, 則它們的標準差也相等; 直線x + y + 1 = 0與圓相切. 其中真命題的序號是: （ ）(A) (B) (C) (D) 【方法規(guī)律】1.判斷一個命題的真假有兩種方法，法一：直接法，用直接法判定命題為真命題，需要嚴格的推理、考慮各種情況由命題條件推出結論正確，要判定一個命題為假命題，只要舉出一個反例就行；法二：等價值法，若不易直接判斷它的真假，利用原命題與其逆否命題同真假轉化為判斷其逆否命題的真假。2.正確的命題要有充分的依據(jù)，不一定正確的

3、命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時舉出反例可能比進行推理論證更困難，二者同樣重要3. 在書寫命題的四種形式時，首先要將命題轉化成“若p，則q”的形式，然后嚴格按定義書寫，注意正確應用常見詞語的否定.4.在判斷四種形式的命題真假時，先判斷原命題的真假，再判斷逆命題的真假，然后根據(jù)等價關系確定否命題和逆否命題的真假【解題技巧】1.當一個命題有大前提而要寫出其他三個命題時，必須保留大前提且不作改換2.在判斷命題的真假時，如果不易直接判斷它的真假，可以轉化為判斷其逆否命題的真假3.在書寫否命題題與您否命題時，要特別注意條件的否定和結論的否定即為條件的反面和結論的反面

4、.【易錯點睛】1.區(qū)分否命題與命題：否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結論否定作為結論構造的一個新的命題；命題的否定只是否定命題的結論，常用于反證法2.特別要注意含有邏輯連結詞的否定形式.例 寫出命題“若，則，全為0”的否命題.【錯解】若，則，全不為0.【錯因分析】將命題否定與否命題混淆；命題結論否定錯誤, “，全為0”的否定應為“，不全為0”，而不是“，全為0”.【預防措施】要正確區(qū)分命題的否定與否命題：寫一個命題的否命題，既要否定條件又要否定結論，只否定結論，得到的命題是命題的否定；對條件和結論的否定要正確，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，條件和結論的否定就是分

5、別找條件和結論的對立面，抓住這一點就可以避免類似的錯誤.【正解】若，則，不全為0.熱點二 充分條件與必要條件1.【2014高考福建卷理第6題】直線與圓相交于兩點，則是“的面積為”的（ ）充分而不必要條件 必要而不充分條件 充分必要條件 既不充分又不必要條件2. 【2014高考湖北卷理第3題】設為全集，是集合，則“存在集合使得是“”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 3. 【2014高考安徽卷理第2題】“”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 4. 【2014北

6、京理5】設是公比為的等比數(shù)列，則是為遞增數(shù)列的（ ）充分且不必要條件 必要且不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件【答案】D.【解析】當a1<0，q>1時，數(shù)列an遞減；當a1<0，數(shù)列an遞增時，0<q<1.故選D.5. 【2014天津高考理第7題】設，則|“”是“”的（） （A）充要不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充要也不必要條件6. 【2014高考上海理科第15題】設,則“”是“”的（ ）（A） 充分條件 （B）必要條件 （C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件【答案】B【解析】若，則，但當時也有，故本題就選B7.【

7、2014浙江理 2】已知是虛數(shù)單位，則“”是“”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8. 【2013高考上海（理）】錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（ ）(A)充分條件 (B)必要條件 (C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件9. 【2013高考北京（理）】“=”是“曲線y=sin(2x)過坐標原點的” （ ）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10. 【2013高考福建（理）】已知集合，則是的（ ）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要

8、條件 D. 既不充分也不必要條件 答案A解析當時顯然是B的子集，但時，故為充分不必要條件.11. 【2013高考山東（理）】給定兩個命題，,若是的必要而不充分條件，則是的 A.充分不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【方法規(guī)律】1. 在進行充分條件、必要條件的判斷時，首先要明確哪個論斷是條件，哪個論斷是結論，再從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q，二是由條件q能否推得條件p，結合定義即可做出判斷.2. 常用充分條件、必要條件的判斷方法有三種：（1）直接法：若，且，則 是的充分不必要條件；若，且，則是的必要不充分條件；若，且，則是的充分必要條件；若，且，則

9、是的既不充分也不必要條件.（2）利用集合件包含關系判斷何件包含關系判斷設滿足條件的元素構成的集合為M，滿足條件的元素構成的集合為N，則有下面結論：若MN，則是的充分不必要條件；若NM，則是的必要不充分條件；若M=N，則是的充要條件；若MN且NM，則是的既不充分也不必要條件利用集合法進行判斷時，借助數(shù)軸能直觀顯示兩個集合的關系，從而刮題易于求解對于條件或結論是否定形式的充分條件、必要條件的判斷，要善于利用等價命題進行判斷（3）利用原命題與逆命題的真假判斷若原命題為“若則”，則有如下結論：（1）若原命題為真逆命題為假，則是的充分不必要條件；（2）若原命題為假逆命題為真，則是的必要不充分條件；（3）

10、若原命題與逆命題都為真，則是的充要條件；（4）若原命題與逆命題都為假，則是的既不充分也不必要條件.【解題技巧】1.在進行充要條件判斷時，在明確條件、結論的基礎上，將條件進行適當?shù)幕喖昂侠淼谋硎緱l件間的推出關系是解決問題的關鍵2.在利用集合法進行充要條件判斷時，常借助數(shù)軸直觀顯示兩個集合的關系，從而使問題易于求解.3.在利用命題法判定充要條件時，對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題【易錯點睛】在判斷充要條件時，因條件與結論分不清或因考慮不全面導致致錯誤.例 已知：“向量與向

11、量的夾角為鈍角”是：“0”的 條件.【錯解】若向量與向量的夾角為鈍角，則0，即0，故是的充要條件.【錯因分析】判斷條件與結論之間的關系時要從兩個方向判斷，而上面之判定了一個方向就下結論，忽視了對“0”成立時能否導出“向量與向量的夾角為鈍角”的判斷.【防范措施】判斷充要條件時要注意兩點：首項要分清哪個是條件，哪個是條件；其次要從兩個方向進行判斷，即條件能否導出結論與結論能否導出條件.【正解】若向量與向量的夾角為鈍角，則0，即0，即；當0，即0，因為，所以，故向量與向量的夾角為鈍角或平角，即，故是的充分不必要條件.【考點剖析】1.最新考試說明：（1）了解命題的概念，會分析原命題及其逆命題、否命題與

12、逆否命題這四種命題的相互關系（2）理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.2.命題方向預測：（1）四種命題的概念及其相互關系、四種命題真假的判斷、充分要條件的判定及其應用是高考的熱點.(2)題型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)（3）本節(jié)知識常與集合、函數(shù)、不等式、立體幾何中的直線、平面間的位置關系、復數(shù)等知識結合，在復習是要加強對集合、函數(shù)、不等式性質等基礎知識理解與掌握.3.課本結論總結：（1）命題的概念在數(shù)學中用語言、符號或式子表達的，可以判定真假的陳述句叫做命題.其中，判定為真的命題叫真命題，判定為假的命題叫假命題.（2）四種命題及其關系四種命題及其關系四種命題的真假關系逆命題與否命題互為

13、逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假，互逆或互否的兩個命題，它們的真假沒有關系.(3)充分條件與必要條件若，則是充分條件，是的必要條件.若，且，則是充要條件4.名師二級結論：(1) 常見結論的否定形式結論是都是大于小于至少一個至多一個至少個至多有個對所有，成立或且對任何，不成立否定不是不都是不大于不小于一個也沒有至少兩個至多有（）個至少有（）個存在某，不成立且或存在某，成立(2)充要條件判定方法 定義法：若，則是充分條件；若，則是必要條件；若，且，則是充要條件.集合法：若滿足條件的集合為A，滿足條件的集合為B，若AB，則是的充分不必要條件；若BA，則是必要不充分條件；若A=B則，是 充要條件

14、。對充要條件判定問題，一定要分清誰是條件，誰是結論，若條件、結論滿足的條件易求，常用集合法.5.課本經(jīng)典習題：(1)新課標A版第8 頁習題1.1A組，第2題【經(jīng)典理由】本題考查了命題的四種形式及其真假的判定，特別是都是的否定是一個難點，也是一個?？键c.(2)新課標A版第12頁習題1.2A組第3題【經(jīng)典理由】本題主要考查了充要條件的三種判定方法，具有代表性.6.考點交匯展示：(1)與集合交匯例1【2015湖北武漢9月調研測試2】已知集合，則是的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A.【解析】若：則有，若：則或，是充分不必要條件. (2)與不等式

15、交匯例2【2015河北“五個一名校聯(lián)盟”質監(jiān)（一）3】已知，如果是的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是 （ ）A. B. C. D. （3）與函數(shù)交匯例3 【2015高考一輪配套特供】 “10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由10a>10b得a>b，由lga>lgb得a>b>0，所以“10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的必要不充分條件，選B.（4）與平面向量結合 例4【2014北京西城區(qū)二?！吭O平面向量，均為非零向量，則“”是“”的（ ）（A）充

16、分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（5）與復數(shù)交匯例5【2014屆湖南十三聯(lián)校考第二次考試】已知,則“”是“復數(shù)為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件（6）與立體幾何交匯例6 【2014屆陜西高考前30天保溫訓練17】已知直線a，b，平面，則a的一個充分條件是（）Aab，b Ba，Cb，ab Dab，b，a【考點特訓】1. 【2013上海市閘北高三一?！?以下四個命題中，真命題的個數(shù)為 ( )集合的真子集的個數(shù)為；平面內兩條直線的夾角等于它們的方向向量的夾角；設，若，

17、則且； 設無窮數(shù)列的前項和為，若是等差數(shù)列，則一定是常數(shù)列(A)0 (B)1 (C)2 (D)32【2014屆福建福州三中考前模擬】設為非零實數(shù)，則:是:成立的 ( )A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件3. 【2014屆福建福州三中考前模擬】原命題 ：“設”以及它的逆命題，否命題、逆否命題中，真命題共有（）個A0 B1 C2 D44. 【2015高考數(shù)學一輪配套特訓】若“不等式<1成立”是“關于x的不等式|xm|1成立”的必要不充分條件，則m的取值范圍是()Am<1或m>2 Bm<1Cm>2 Dm1或m25. 【2014屆安徽

18、“江南十?！倍！俊啊笔恰爸本€與直線平行”的（ ）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6. 【2014屆山東煙臺5月適應性訓練一】下列有關命題的說法正確的是（ ）A命題“若”的否命題為：“若”；B“”是“”的必要不充分條件；C命題“,使得”的否定是：“,均有”；D命題“若”的逆否命題為真命題.7. 【2014屆天津南開區(qū)一?！恳阎铝腥齻€命題： 棱長為2的正方體外接球的體積為4；如果將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都加上同一個非零常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差都改變；直線被圓截得的弦長為2其中真命題的序號是( )。(A) (B) (C) (D)8. 【2014屆

19、湖南長沙二?！恐?，角的對邊分別為，則“”是“是等腰三角形”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件9. 【2014屆湖南長沙二?！吭OA，B為兩個互不相同的集合，命題P：， 命題q：或，則是的（ ）A充分且必要條件 B充分非必要條件C必要非充分條件 D非充分且非必要條件【答案】B【解析】：由已知得，故，所以是的充分非必要條件 10.【2014屆山東東營市4月質量檢測】“實數(shù)”是“復數(shù)（為虛數(shù)單位）的模為”的（ ）A充分非必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既非充分條件又不必要條件11. 【2014屆甘肅武威鐵中選擇填空限時練二】設an是等比數(shù)列，則“a

20、1a2a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件12. 【2014屆山東省德州二?！肯铝忻}錯誤的是（ ）A命題“若，則”的逆否命題為“若x1，則”B“x>2”是“”的充分不必要條件C對于命題p：R，使得，則為：R，均有D若為假命題，則p，q均為假命題是假命題，則至少有一個是假命題，不正確，故選.13. 【2014屆安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考】若且，則“”是“”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.【2014屆湖北天門四月調研考試】設在（）上單調遞增；，則p是q的（ ）A充要條件

21、 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D以上都不對15. 【2014高考名師推薦數(shù)學理科】已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為0,1上的增函數(shù)”是“為3,4上的減函數(shù)”的（    ）A既不充分也不必要的條件 B充分而不必要的條件C必要而不充分的條件 D充要條件【答案】D16【2014屆北京順義區(qū)第一次統(tǒng)考（理）】已知向量， ，則是的 （ ） (A)充分不必要條件 (B) 必要不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件 17.【2013年山東省臨沂市高三教學質量檢測考試】有下列四個命題： p1：； p2：已知a>0，b>0，若a+b=1，則的最大值是9； p3：直線過定點(0，-l)； p4：區(qū)間是的一個單調區(qū)間 其中真命題是( ) (A) ,p4 (B) , (c) , (D) ,錯誤。：當時，此時函數(shù)單調遞