2019_2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課后作業(yè)53三角恒等變換的應(yīng)用新人教A版必修第一冊(cè)

1、課后作業(yè)(五十三)復(fù)習(xí)鞏固、選擇題2j-TT 7T1 .函數(shù)f(x)=sin x + 3sinxcosx在區(qū)間 ,-2上的最大值是()解析f (x) = sin 2x+ 出sin xcosx1 cos2 x 3=2+ 2 sin2 x兀 兀2 兀 兀 57t兀 1sin 2x-y C 2, 1 ,1,r3即 f (x) e 1,2.,兀 兀.3故f(x)在區(qū)間,萬上的最大值為2.故選C.答案C2 .使函數(shù)f(x) = sin(2 x+ e)+43cos(2x+ 0 )為奇函數(shù)的 0的一個(gè)值是(71A. - B.C.D.L兀2時(shí)，f(x)解析f (x) =sin(2 x+ 0 )+5cos(2

2、x+ 0 ) =2sin 2x +三+ 0 .當(dāng) 0 =%33= 2sin(2 x+ 兀)=2sin2 x 是奇函數(shù).答案D3 .函數(shù)f (x) =sin x ，3cosx(xC 兀，0)的單調(diào)遞增區(qū)間是()5兀5兀 兀A. 一兀，6B. 6， 6C.7tD.7t6'，一兀解析. f(x) = 2sin x-y ,.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為兀52k兀一 至, 2卜兀+6兀(kCZ).令k = 0得增區(qū)間為567t.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為兀6, 0，故選D.答案D4.設(shè)函數(shù)f(x) = q3cos23 x +sin coxcoscox + a(其中 w>0, aCR),且 f(x

3、)的圖象在 兀 一 y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6.則3的值為(A. 1 B.12 C.113 D. 4解析f (x)i3 x + /sin2Fa=sin 2 w x +-3- +3 + a,依題意得兀2,1解之得3=.答案B5.cos2x 1已知函數(shù) f (x)=兀cos 2k 兀0<x<y，則()A.函數(shù)B.函數(shù)C.函數(shù)f(x)的最大值為小,無最小值f(x)的最小值為& 最大值為0f (x)的最大值為無最小值3D.函數(shù)f(x)的最小值為 也 無最大值解析， cos2x1 cos2x1-2sin 2x兀因?yàn)?f(x) = -=tanx, 0<x<，所以函兀

4、 sin2 x 2sin xcosx3cos 2x 2數(shù)f(x)的最小值為 小,無最大值，故選 D.答案D二、填空題6.函數(shù) f(x) =sin2x 十一2y2sin 2x的最小正周期是解析f (x) =¥sin2 x$cos2x*(1 cos2x)in2 x+#cos2xp=sin 2x + -4- -2,所以T= -2=兀.答案兀, 2A B2A+ B一 _7.在 ABC43,右 3cos 2F 5sin 2= 4,則 tan Atan B=一 2A- B2A+ B解析因?yàn)?3cos2-+5sin -2-=4,35所以 2cos( A B 2cos( A+ B) =0,335所以

5、-cos Acos B+ -sin Asin B- -cosAcosB+ 22252sin Asin B= 0,1即 ssAc0sB= 4sin Asin B，所以 tanAtan B= 4.-1答案43，一8. f (x) = sin 2x+2 兀-3cosx 的最小值為解析f (x) = - cos2x 3cosx= - 2cos2x 3cosx+ 1 = - 2 cosx+2：48.1 K cos x< 1,，當(dāng) cosx=1 時(shí),f ( x) min = - 4.答案4三、解答題9.已知函數(shù) f (x) = (2cos 2x1)sin21x + 2cos4x.求f (x)的最小正

6、周期及最大值;(2)若兀d2一aC5，兀，且f(a)=2，求”的值.解(1) .1 f (x) = (2cos 2x 1)sin2 x+2cos4x1=cos2xsin2 x + 2cos4 x1 . 一 =g(sin4 x+cos4x)兀in 4x + ,4，f ( x)的最小正周期為-2-,最大值為(2)” a)sin17兀兀-4a+75兀 T,10.已知 f (x) = 5sin xcosx 5/cos2x +xC R).(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求f (x)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心.解f (x) =|sin2 x-531 + cos2xX5,3""2"

7、;55 3=2sin2 x 2cos2x= 5sin兀2x-.3f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是兀5行+k 兀，12 兀+ k 兀(kCZ).(2)對(duì)稱軸方程是:x = 2kn + 12 兀,(ke Z)；對(duì)稱中心為71綜合運(yùn)用211.函數(shù) y = cos兀x- +sin兀X+五 T(A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)解析兀1 + cos 2x- -6兀1 cos 2x + -6-112 cos71712x- cos 2x + -661= 2sin2x,是奇函數(shù).故選 A.答案A12.在 ABC43,若 sin Asin B= cos2。則 ABB()A.等邊

8、三角形B.等腰三角形C.不等邊三角形D.直角三角形1 + cos C解析由已知得，sin Asin B= -2,又: cosC= cos( A+E), 2sinAsinB+ cos(A+ B) = 1,cos( A B)= 1,0<A< 兀,0<氏兀，.一兀< A-氏兀，A- B= 0,.ABB等腰三角形，故選 B.答案B13 .我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖).如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為 25,直角三角形中較小的銳角為e ,那么cos2 e的值等于解析題圖中小正方形的面積為1,大正方形的面積為 25

9、,故每個(gè)直角三角形的面積a2+b2=25,為6.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a, b,則有19=6,所以兩條直角邊的長分別為 3,4.則cos 0 =4, cos2 e 5=2cos2 9 1 =25答案725214 .已知A+ bf=,那么cos A+ cos B的取大值是 ,取小值是 3.,22 兀解析.A+ B=,3cos2A+ cos2B 1=2(1 + cos2A+ 1 + cos2 B)1=1 + 2(cos2 A+ cos2 B)=1 + cos( A+ B)cos( A B)=1 + cos2； cos( A B) 31=1-2os( A- B),當(dāng) cos( A B) =

10、 - 1 時(shí),3原式取得最大值2；，,一 1當(dāng)cos( A- B) = 1時(shí)，原式取得最小值 2.15.某高校專家樓前現(xiàn)有一塊矩形草坪 ABCD已知草坪長 AB= 100米，寬BO 5/3米, 為了便于專家平時(shí)工作、起居，該高校計(jì)劃在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路HE HF和EF,并要求H是CD勺中點(diǎn)，點(diǎn) E在邊BC上，點(diǎn)F在邊 AD匕且/ EHF為直角，如圖所示.(1)設(shè)/ CHE= x(弧度)，試將三條路的全長(即 HE用勺周長)L表示成x的函數(shù)，并求出 此函數(shù)的定義域；(2)這三條路，每米鋪設(shè)預(yù)算費(fèi)用均為 400元，試問如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用(結(jié)果保留整數(shù))(可能用到的

11、參考值： 出取1.732,出取1.414).解(1) .在 RtCH沖,CH= 50, Z C= 90 , / CHE= x, . HE= -50-.cosx,50在 RD種,HD= 50,/D=90，/ DFH= x，HF= s-.又/ EHF= 90 ,EF=50sin xcosx'，三條路的全長(即HEF勺周長),50 sin x+ cosx +1L=_ .sin xcosx當(dāng)點(diǎn)F在A點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角x最小,當(dāng)點(diǎn)E在B點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角x最大,. 一 ,兀求得此時(shí)X=y.兀 兀故此函數(shù)的定義域?yàn)?三.(2)由題意知，要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求HEF的周長L的最小值即可.,-50 sin x+ cosx+ 1由得 L=sin xcosx一"兀 兀xe "6,至，t21設(shè) sin x+cosx= t,貝U sin xcosx50 t