高二數(shù)學(xué)試題及答案

1、高二數(shù)學(xué)期中測(cè)試卷（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ）1 .設(shè)a<b<0,則下列不等式一定成立的是（）A. a2<ab<b2B. b2<ab<a2C. a2<b2<abD. ab<b2<a2答案 B2.關(guān)于數(shù)列3,9,，2187,，以下結(jié)論正確的是（）A.此數(shù)列不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列B.此數(shù)列可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列C.此數(shù)列可能是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列D.此數(shù)列不是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列解析 記 a = 3,

2、a2 = 9,，an=2187,若該數(shù)列為等差數(shù)列，則公差 d=9- 3 = 6,an=3+（n1） X6=2187,n= 365.an可為等差數(shù)列. 9若an為等比數(shù)列，則公比q=9=3.3an=3 - 3n 1 = 2187= 37,.n=7.an也可能為等比數(shù)列.答案 B3 .在ABC 若 sin2A+ sin2B= 2sin 2C,則角 C為（）A.鈍角B.直角C.銳角D. 60解析 由 sin 2A+ sin 2B= 2sin 2C,彳# a2+ b2= 2c2.即 a2+b2 c2= c2>0, cosC>0.答案 C4 .設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若ai=1, a

3、5=16,則數(shù)歹Uan 的前7項(xiàng)和為（）A. 63B. 64C. 127D. 128解析 a5 = aq4 = q4= 16,.q=2.1 2/.S7 = -=128-1 = 127.1 2答案 C5. 一張報(bào)紙，其厚度為a,面積為b,現(xiàn)將此報(bào)紙對(duì)折7次，這B.b6缸64時(shí)報(bào)紙的厚度和面積分別為（ - bA. 8a,-8C. 128a,b128D.256a,b256答案 C6.不等式y(tǒng)W3x+b所表示的區(qū)域恰好使點(diǎn)（3,4）不在此區(qū)域內(nèi),而點(diǎn)（4,4）在此區(qū)域內(nèi)，則b的范圍是（）A. 8w bw 5B. b< 8 或 b>-5C. 一 8 w b< 5D. b< 8 或

4、 bn-5解析，.工?*3+b,且 4W3X4+b, . 一 8w b<一 5.答案 C2m n<4,、_ ,rnnn<2,7.已知實(shí)數(shù)mi n滿足不等式組則關(guān)于x的n n<3,0,方程x2（3m+ 2n）x + 6mn= 0的兩根之和的最大值和最小值分別是（）A. 7, 4B. 8, - 8C. 4, 7D. 6, -6解析 兩根之和z = 3m+ 2n,畫(huà)出可行域，當(dāng)m= 1, n=2時(shí)，zmax=7;當(dāng) m= 0, n= 2 時(shí)，Zmin= 1 4.答案 A8.已知a, b, c成等比數(shù)列，a, x, b成等差數(shù)列，b, y, c成 a c等差數(shù)列，則a + y的

5、值等于（）C. 2D. 1解析用特殊值法，令a=b= c.答案 C9.制作一個(gè)面積為im,形狀為直角三角形的鐵架框，有下列四種長(zhǎng)度的鐵管供選擇，較經(jīng)濟(jì)的（夠用、又耗材最少）是（）A.B.C. 5 mD.解析 設(shè)三角形兩直角邊長(zhǎng)為am, bm,則ab= 2,周長(zhǎng)C= a+b +、a2+b2 >2yab'l2ab= 2 也+ 2=(m).答案 C10 .設(shè)an是正數(shù)等差數(shù)列，bn是正數(shù)等比數(shù)列，且ai=bi, a2n + 1 = b2n+1，則()A. an+1>bn+1B. an+lAbn+1C. an+1<bn+1D. an+1=bn+1之力 LLai + a2n+1

6、f,角牛F an+i=2nyaa2n+=y bib2n+ = bn+1.答案 B11 .下表給出一個(gè)“直角三角形數(shù)陣”：141 12' 43 3 3二二二4' 8' 16滿足每一列成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列, 且每一行的公比相等，記第i行第j列的數(shù)為au(i nj , i , j 6N*),則a83等于()D. 1解析第1列為:，:=今，所以第8行第1個(gè)數(shù)為%又每 4 24 4418 111一行都成等比數(shù)列且公比為所以a83=7xzX-=-. 24 2 2 2答案 Cy+ x-1<0,12.已知變量x, y滿足約束條件 y- 3x-1<0,

7、則z = 2xy- x+1 >0,+y的最大值為（）A. 4B. 2C. 1D. -4解析 先作出約束條件滿足的平面區(qū)域，如圖所示.由圖可知，當(dāng)直線y+2x=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）時(shí)，z有最大值，此時(shí)z = 2X1 + 0 = 2.答案 B二、填空題（本大題共4小題，每小題5分.共20分.把答案填在題中橫線上）13.在AB。, B= 45° , C= 60° , c=1,則最短邊的邊長(zhǎng)等于解析/B= 45 , C= 60 , /. A= 180 - B- C= 75 .最短邊為b.由正弦定理，得csin B 1 x sin45也s sin C sin603 .14.銳角

8、 ABCK 若 B= 2A,則:的取值范圍是解析AB銳角三角形,-A兀 0<A<T, 4A兀VAV.3A L 兀兀AS (b sin B-=-;=2cosA a sin A .be (版 V3) a答案 （2,3）15.數(shù)歹！Jan滿足 a1=3,an+1 2a=0,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式滿足關(guān)系式 an , bn=( 1)n(n6 N),則 bn =角軍 a1 = 3, an+ 1 = 2an, 數(shù)歹Uan為等比數(shù)歹U,且公比q=2. 二 an= 3 , 2又 an，bn= ( 1) n.n一，/、n 1 1-1 bn=(- 1) a- = 3.2 nT答案16.不等式ax2+bx+

9、c>0的解集為x| 1<x<2,那么不等式a(x2 + 1) + b(x 1) +c>2ax 的解集為.a<0, bb= 一 a，一 , .-1 + 2=一二一解析由題意，得a則c= 2a,ca<0. 1X2= 一 , a所求不等式可化為x2+1 (x1)+ ( 2)<2x,解得0<x<3.答案x|0<x<3三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文 字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17. (10 分)已知全集 U= R, A= x| 3x2+x+1>0 , B= x|3x24x+1>0,求？ u(AA

10、B).2 .一 ,2_解 A= x|3x 4x 4<0= x| <x<2 ,B= x| xq,或x>1 .An B= x| 2<x<1,或 1<x<2 , 33? u(AA B)=x|xw 2,或1wxwi,或 x>2. 3318. (12分)在 AB計(jì)，a, b, c分別是角A, B, C的對(duì)邊，且2B+ C8sin 2 2cos2A= 7.(1)求角A的大?。?2)若 a=43, b+c=3,求 b和 c 的值.解(1)在ABC 有 B+ C=兀A,由條件可得 41 cos(B+ C) -4cos2A+ 2=7,即(2cosA 1)2

11、= 0,.1 cosA= 2.- A兀又0VA兀，亍1小(2)由 cosA= 2,得b2+ c2a22bc1 一22一 2=2,即(b+ c) a =3bc,則 3 (3)2=3bc,即 bc=2.b+ c= 3,由bc=2,解得b=1,c = 2,b= 2, 或 c=1.19. (12分)遞增等比數(shù)列an滿足a+ as+ a4 = 28,且a3+ 2是a2 和a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn= an Tog 1 an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.2解(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1), aiq + aq2+ aq3=28,"有 aiq + a1q3=2 a

12、1q2 + 2,_a1 = 32,a1 = 2解得或 1(舍去).q=2，q=2,所以 an=2 . 2nT = 2n.(2) bn=an log 1 an=- n 2n, 2Sn= (1 , 2 + 2 , 2?+3 , 23+ n , 2n),2Sn= (1 2 2+2 2 3+ - + (n 1) 2n+ n - 2n+ 1).2 1-2n兩式相減，得 Sn = 2 + 2 + 2 + ,+ 2-n , 2= -1 2n 2n+ 1 = -(n-1) - 2n+ 1-2.20. (12分)配制兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料.已知配 A種藥 需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B種藥需要甲料5毫克

13、、乙料4毫 克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A, B兩種藥至少各配一劑， 問(wèn)A、B兩種藥最多能各配幾劑解設(shè)A、B兩種藥分別能配x , y劑，x , y 6 N ,則XA1 ,作出可行域，圖中陰影部分的整點(diǎn)有 (1,1),yA1, 3x + 5y<20, 5x + 4y<25,(1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (4,1)yA5x+4v-25所以，在保證A B兩種藥至少各配一劑的條件下，A種藥最多配 4劑，B種藥最多配3劑.a+ b sin B21. (12 分)在 AB計(jì)，已知=一,且 cos(A B) a sin

14、B- sin A+ cosC= 1 cos2C.(1)試確定 ABC勺形狀；aa c求號(hào)的范圍.b行 ,a b sin B斛 (1)由一 = sin B sin Aab= Jo b2 _a2=abab a77又 cos( A E) + cosC= 1 cos2C,所以 cos( A B) cos( A+ B) = 2sin 2csin A - sin B= sin 2C,則 ab= c2.由知b2 a2=c2,即b2=a2+c2.所以AB四直角三角形.a + c(2)在ABC:, a + c>b,即工->1.p a + c又丁a2+ c2+ 2acb2 a2+c2b2a c丁的取值范圍為（1,鉤S為其前n項(xiàng)和,22. （12分）設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列,az + a3=a4+a5, $=7. 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）試求所有的正整數(shù)m使得an9nu 1arr 2為數(shù)列an中的項(xiàng).解（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=ai+（n1）d,(d" 由 a? + a = a4 + a5,知 2a + 5d = 0. CD又因?yàn)镾7= 7,所以a1 + 3d=1.由可得a1= 5, d= 2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an= 2n7, &= n a12