第二章信號檢測與估計理論(3)

1、)( H)(th)(tx)(ty)(tx)(ty)( H2.11.Fig( )( ) ()dy th u x tuu)(tx)(ty)(ty)(tx)(ty uutxuhEtyEtyd)()()()( uutxEuhd)()( uuhxd)( yxH )0()(ty)0(H)(ty )()()( tytyEt , try vvtxvhuutxuhEd)()()d()( uvvtxutxEvhuhdd)()()()( uvvurvhuhxdd)()()( )( yr )(ty)( yr )(tx)(ty( )d(0)yxxh uuHvut tuuthuhtrrxydd)()()()( ttgtr

2、xd)()( )()( gr uuthuh)t (gd)()()()(thth ( )( )( )yxrrg( )( )()rhh)()()()( xyPHHP )()(2 xPH )()()()()()(| )()()(022xxyxxyyyyyyPHPhrrcrc如果如果LTILTI的輸入是平穩(wěn)復(fù)隨機過程，則其響應(yīng)也是平穩(wěn)復(fù)隨的輸入是平穩(wěn)復(fù)隨機過程，則其響應(yīng)也是平穩(wěn)復(fù)隨機過程，響應(yīng)的統(tǒng)計平均量有相應(yīng)的關(guān)系式。機過程，響應(yīng)的統(tǒng)計平均量有相應(yīng)的關(guān)系式。Tttntstx 0)()()(，Tttntstx 0)()()(，；)(tn)(tnkn Nkknn1 Nkn)(tn2 高斯噪聲的統(tǒng)計描述高

3、斯噪聲的統(tǒng)計描述 a. 一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)如果一個噪聲過程如果一個噪聲過程n(t)，對于任意的，對于任意的N=1和所有的時刻和所有的時刻tk（k=1,2N）,隨機變量隨機變量n(tk)=(nk；tk)服從高斯分布，則服從高斯分布，則過程過程n(t)就是一個高斯噪聲隨機變量過程，簡稱高斯噪聲就是一個高斯噪聲隨機變量過程，簡稱高斯噪聲過程或者高斯噪聲過程或者高斯噪聲1 22221(,)exp22knkknkknnp n tT11 2211,exp (2.6.2)22nnnNnpn tnCnC T21Nnnnn, kntnEk T21Ntn,tn,tnt ,n NNNNNNnnnnnn

4、nnnnnnnnnnnnncccccccccC212221212111 jkkjkjnnnknjnnctntnEc ( (大家嘗試自己完成這個證明）大家嘗試自己完成這個證明） nP ，20NPn tn 2d22100NeNPIFTrjnn tn nP nr白噪聲與色噪聲的統(tǒng)計特征差異白噪聲與色噪聲的統(tǒng)計特征差異白噪聲白噪聲色噪聲色噪聲自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度N N0 0/2/2N N0 0/2/2ff ）（ 20NPn tn nP tn 20NPn 20Nrn 20N s t tttats 0cos ta0 t s t；m tttats 0cos； ta0 t ttta ,at

5、s 0cos；0 ta t tttats 0cos0； ， 021 p ， 0I2cosexp0 |p圖圖2.122.12隨機相位分布數(shù)學(xué)模型隨機相位分布數(shù)學(xué)模型p(|)p(|)曲線曲線 ， 0002exp222aaaaapaa 信號振幅的隨機性與相位的隨機性是相互統(tǒng)計獨立信號振幅的隨機性與相位的隨機性是相互統(tǒng)計獨立 的，即的，即 pap,ap 21 ,圖2.13正交相位檢波器圖2.13正交相位檢波器2.8.12.8.1窄帶噪聲的描述窄帶噪聲的描述2.8.22.8.2窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性2.8.22.8.2窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性圖2.14窄帶高斯噪

6、聲包絡(luò)的PDF曲線(2n=1)2.9.2信號加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性圖2.15信號加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的PDF曲線(2n=1)圖2.16信號加窄帶高斯噪聲相位的PDF曲線(2n=1) xp xp xgy xxpxgyEyd ）（N,ktk21 NNt ,t ,tx,x,xp2121； tx ty ty xxyHtth 0d ty hhrrxy ty xyPHP2 2200NrNPnn ； ts ts；1.1 1.1 噪聲的概率分布噪聲的概率分布 電路中噪聲是一種電路中噪聲是一種連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，概率分布密度，概率分布密度p p（n n）表示噪聲電壓表示噪聲電壓n n( (t t) )

7、在在t t時刻取值為時刻取值為n n的概率。噪聲屬于一種的概率。噪聲屬于一種隨機隨機過程過程。2112()( )nnP nnnp n dn ( )E nnp n dn2 ( )( )D nnE np n dn22( ) D nE nE nE E n n2 2 稱為噪聲的二階中心矩稱為噪聲的二階中心矩。 電路處于穩(wěn)定狀態(tài)時，噪聲的方差和數(shù)學(xué)期望一般不再隨時電路處于穩(wěn)定狀態(tài)時，噪聲的方差和數(shù)學(xué)期望一般不再隨時間變化，這時噪聲電壓稱為間變化，這時噪聲電壓稱為廣義平穩(wěn)隨機過程廣義平穩(wěn)隨機過程。若噪聲的概率分。若噪聲的概率分布密度不隨時間變化，則稱為布密度不隨時間變化，則稱為狹義平穩(wěn)隨機過程（或嚴格平穩(wěn)

8、隨狹義平穩(wěn)隨機過程（或嚴格平穩(wěn)隨機過程）機過程）。一個嚴格平穩(wěn)隨機過程一定為廣義平穩(wěn)隨機過程，反。一個嚴格平穩(wěn)隨機過程一定為廣義平穩(wěn)隨機過程，反之則不然。之則不然。 噪聲統(tǒng)計特征量： 電路中遇到的噪聲還具有各態(tài)經(jīng)歷性質(zhì)電路中遇到的噪聲還具有各態(tài)經(jīng)歷性質(zhì)，就是其統(tǒng)計平均可，就是其統(tǒng)計平均可以用時間平均來計算。以用時間平均來計算。 如果一個隨機過程中具有各態(tài)經(jīng)歷的隨機過程，將會給噪聲如果一個隨機過程中具有各態(tài)經(jīng)歷的隨機過程，將會給噪聲計算及測量帶來很大方便。計算及測量帶來很大方便。 若沒有特別申明，均把電噪聲看成是具有各態(tài)經(jīng)歷過程，自若沒有特別申明，均把電噪聲看成是具有各態(tài)經(jīng)歷過程，自然它然它也是

9、一種廣義平穩(wěn)隨機過程也是一種廣義平穩(wěn)隨機過程。 2221lim( )2TTTE nnn t dtT1 lim()2TTTEnnnt dtT 2221()( )exp22nnnap n2 , ( )nE naD n線性電路中噪聲電壓的概率分布密度pn一般符合高斯正態(tài)分布 a為電噪聲的平均值，通常a=0；n2為電噪聲的交流功率，n2越大，表示噪聲越強。電噪聲在任何瞬間均可能取小于電路限幅之內(nèi)的各種數(shù)值，取值越大則概率越小 。002021()1exp22nnnnnP nndn 表1-1 高斯噪聲在峰值超過n0的概率超過n0的概率p(|n|n0)0.10.010.0010.00010.00010.00

10、001n0/n1.6452.5763.2913.8904.4174.892 任何瞬間電路噪聲值基本上是在任何瞬間電路噪聲值基本上是在 4 4 n n之間之間，這在噪聲測量中，這在噪聲測量中有一定實用價值。有一定實用價值。 用示波器觀察噪聲波形時，能夠看到的最大噪聲電壓峰峰值用示波器觀察噪聲波形時，能夠看到的最大噪聲電壓峰峰值V Vp-p-p p可以認為是有效值可以認為是有效值 n n的的4 4 2 2倍，被測噪聲電壓有效值倍，被測噪聲電壓有效值 n n=V=Vp-pp-p/8/8。測量噪聲電壓時，測量放大器的動態(tài)范圍必須大于測量噪聲電壓時，測量放大器的動態(tài)范圍必須大于3 3至至4 4倍的被測倍

11、的被測噪聲有效值，噪聲有效值，否則噪聲峰值可能被限幅，使測量帶來誤差。否則噪聲峰值可能被限幅，使測量帶來誤差。 1.21.2噪聲的功率譜密度噪聲的功率譜密度 電噪聲測量計算主要是噪聲功率，噪聲功率譜密度是一個主要統(tǒng)電噪聲測量計算主要是噪聲功率，噪聲功率譜密度是一個主要統(tǒng)計特征量。設(shè)噪聲電壓計特征量。設(shè)噪聲電壓n n( (t t) )的功率為的功率為P Pn n，在頻率，在頻率f f與與f f+ + f f之間的功率之間的功率為為 P Pn n，則噪聲的功率譜密度定義為，則噪聲的功率譜密度定義為0()limnnfPSff1() ()2nnnPSfdfSd功率譜密度的單位為功率譜密度的單位為V V

12、2 2/Hz/Hz或或A A2 2/Hz/Hz。輸出噪聲受電路帶寬（輸出噪聲受電路帶寬（f f1 1、f f2 2）限制。）限制。低噪聲放大器的基本要求是在信號頻帶范圍內(nèi)盡量降低輸出噪聲功率低噪聲放大器的基本要求是在信號頻帶范圍內(nèi)盡量降低輸出噪聲功率譜密度，帶寬限制在能使信號的特征頻譜分量通過即可。譜密度，帶寬限制在能使信號的特征頻譜分量通過即可。 單邊功率譜密度為單邊功率譜密度為 ( )2( ), 0( )0, 0nnnFfSffFff0( )nnPFf df電路中遇到的噪聲一般具有平坦的功率譜密度，稱白噪聲。電路中遇到的噪聲一般具有平坦的功率譜密度，稱白噪聲。實際上，嚴格的實際上，嚴格的白

13、噪聲是沒有的，因為白噪聲意味著具有無限大的噪聲功率。白噪聲是沒有的，因為白噪聲意味著具有無限大的噪聲功率。電路中存在另一類噪聲，其電路中存在另一類噪聲，其S Sn n( (f f) )不是常數(shù)，稱有色噪聲不是常數(shù)，稱有色噪聲。像電子器件中經(jīng)常。像電子器件中經(jīng)常存在的存在的1/1/f f噪聲，其功率譜密度噪聲，其功率譜密度S Sn n( (f f) ) 1/1/f f，這種噪聲有很強的低頻成分，稱，這種噪聲有很強的低頻成分，稱為為低頻噪聲或紅噪聲低頻噪聲或紅噪聲。以后還可以遇到晶體管在。以后還可以遇到晶體管在f f很大時的噪聲，其功率譜很大時的噪聲，其功率譜密度密度S Sn n( (f f) )

14、 f f2 2，這種噪聲有很強的高頻成分，稱為，這種噪聲有很強的高頻成分，稱為高頻噪聲或藍噪聲高頻噪聲或藍噪聲。 電路噪聲可能有白色高斯噪聲，也可能有白色非高斯噪聲，還可能有既電路噪聲可能有白色高斯噪聲，也可能有白色非高斯噪聲，還可能有既非白色，又非高斯分布的噪聲。非白色，又非高斯分布的噪聲。 線性電路中噪聲一般是高斯白噪聲，僅在很高頻或低頻時才可能可出現(xiàn)線性電路中噪聲一般是高斯白噪聲，僅在很高頻或低頻時才可能可出現(xiàn)有色噪聲。有色噪聲。 而非線性電路（例如：高斯噪聲經(jīng)檢波后輸出）一般為非高斯噪聲，常而非線性電路（例如：高斯噪聲經(jīng)檢波后輸出）一般為非高斯噪聲，常見的有瑞利分布、萊斯分布等。見的有

15、瑞利分布、萊斯分布等。 1.3 1.3 噪聲相關(guān)函數(shù)噪聲相關(guān)函數(shù)噪聲在不同時刻取值之間的相關(guān)性，是電噪聲的一個主噪聲在不同時刻取值之間的相關(guān)性，是電噪聲的一個主要統(tǒng)計特征。要統(tǒng)計特征。噪聲自相關(guān)函數(shù)噪聲自相關(guān)函數(shù)112( , 2) ( ) ( )nR t tE n t n t對于具有各態(tài)經(jīng)歷的平穩(wěn)隨機過程，統(tǒng)計平均（或稱集平均）對于具有各態(tài)經(jīng)歷的平穩(wěn)隨機過程，統(tǒng)計平均（或稱集平均）可用時間平均表示，由于統(tǒng)計特征量與時間起點無關(guān)，可以令可用時間平均表示，由于統(tǒng)計特征量與時間起點無關(guān)，可以令t t1 1= =t t，t t2 2= =t t1 1- - ，則，則R Rn n( (t t1 1, t

16、, t2 2)= R)= Rn n( (t t, , t t- - ) )，簡記為，簡記為R Rn n( ( ) )。平平穩(wěn)隨機過程的噪聲自相關(guān)函數(shù)為：穩(wěn)隨機過程的噪聲自相關(guān)函數(shù)為：( ) ( ) ()1 lim( ) ()2nTTTRE n t n tn t n tdtT自相關(guān)函數(shù)具有下列重要特性（1）Rn()僅與時間差有關(guān)，而與t計算時間的起點無關(guān)。（2）Rn()隨的增加，逐漸衰減，表示在時間上相關(guān)性逐漸 減少。特別是對零均值噪聲，當(dāng)時，Rn()0。（3）Rn()是一種偶函數(shù)，即Rn()=Rn(-)( ) ( ) ()1 lim( ) ()2nTTTRE n t n tn t n tdtT

17、21(0)lim( ) ( )2TnTTRn t n t dtE nT（4）當(dāng)=0時Rn()具有最大值，且特別當(dāng)En=0時， Rn0= Dn=n2 噪聲的功率譜密度Sn()及自相關(guān)函數(shù)Rn()是隨機過程重要的統(tǒng)計特征量，稱為二階統(tǒng)計特征。由于高斯過程高階統(tǒng)計量為零，這兩個統(tǒng)計特征量對于一個高斯過程來說完全足夠，但對于非高斯過程則是高階統(tǒng)計量研究。平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)R()及功率譜密度S(f)之間滿足傅里葉變換關(guān)系（為一般起見，下標(biāo)n省略），這就是著名的維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理：1( )( )2jRSeddeRfSj)()( ( ) R( )S f dfd 及0( )

18、2( )cosRS fdf0( )2( )cosS fRd 由于R()及S(f)均為偶數(shù)，故噪聲的互相關(guān)函數(shù)1212( ,) ( ) ( )xyRt tE x t y t對于具有各態(tài)經(jīng)歷的平穩(wěn)隨機過程，則Rxy(t1, t1)可以寫成Rxy()，其中t1=t，t2=t-，其互相關(guān)函數(shù)可表示為： 1( )lim( ) ()2TxyTTRx t y tdtT1( )lim() ( )2TxyTTRx ty t dtT兩個隨機過程互不相關(guān)時，則一定有Rxy()=Ryx()=0。例如，被檢測信號與系統(tǒng)的觀察噪聲之間不存在相關(guān)性，因此采用互相關(guān)方法有利于抑制觀察噪聲。互相關(guān)函數(shù)具有下列重要特性： （1）

19、Rxy()僅與時間差有關(guān)，而與計算時間t的起點無關(guān)。 （2）Rxy()=Rxy(-) （3）( )(0)(0)xyxyRRR兩個隨機過程的互功率譜密率Sxy()及Syx()互相關(guān)函數(shù)之間傅里葉變換：1( )( )2( )( )jxyxyjxyxyRSedSRed1( )( )2( )( )jyxyxjyxyxRSedSRed互相關(guān)函數(shù)特性對于從噪聲中檢測微弱信號極為有用?；ハ嚓P(guān)器，輸入信號為兩路，x(t)=s(t)+n(t)為被檢測的信號及混入的觀察噪聲；y(t)為參考信號，要求與被檢測信號s(t)相關(guān)。1( )lim ( )( ) ()2 ( )( )( )TxyTTsynysyRs tn

20、ty tdtTRRR1-4 1-4 常見的電噪聲統(tǒng)計特征常見的電噪聲統(tǒng)計特征隨機正弦信號隨機正弦信號參量參量U Um m， 0 0或或 具有隨機變量，則稱此種信具有隨機變量，則稱此種信號為隨機正弦信號。最常見的隨機正弦信號是相位號為隨機正弦信號。最常見的隨機正弦信號是相位 為隨機變?yōu)殡S機變量，又稱隨機相位正弦信號。量，又稱隨機相位正弦信號。 0( )sin()ms tUt1( ),022p 2001sin()02mE sUtd220001( )sin()sin()2smRUttd20( )cos2msUR 212)(sin2002dt02)cos()sin(2000dtt隨機相位正弦波的二階統(tǒng)

21、計特征不隨時間變化，因此是屬于廣義平穩(wěn)隨機過程。特別是因為時間平均與集平均完全相同，是具有各態(tài)經(jīng)歷的平穩(wěn)隨機過程。2001( )limsin()sin()2TsmTTRUttdtT20cos2mU 具有隨機幅度及相位的正弦信號不屬于各態(tài)經(jīng)歷的平穩(wěn)隨機過程 具有隨相相位的正弦信號自相關(guān)函數(shù) j2j0( )( )cos2smSRedUed 200( )()()2mUS j1( )2xxed白噪聲0( )2nNSjj01( )( )24nnRSedNed0( )( )2nNR N 0為白噪聲的單邊功率譜密度 圖1-5為白噪聲的功率譜密度及自相關(guān)函數(shù)?？梢姡自肼暰哂幸粋€明顯的特征，即不同時刻取值是不

22、相關(guān)的。這對白噪聲中取信號極為有用。 自相關(guān)函數(shù)計算電路，輸入信號為x(t)=s(t)+n(t)，其中s(t)為被測信號；n(t)為觀察噪聲。自相關(guān)輸出就是自相關(guān)函數(shù)，即 1( )lim( )( )()()2( )( )( )( )TTTssnnsnRs tn ts tn tdtTRRRR)()()(nsRRR觀察噪聲n(t)為白噪聲，則只要延時 0，則一定有Rn()=0.)()(sRR實際上很難有理想白噪聲，此時Rn()為一種衰減的曲線，見圖1-7。此時要做到Rn()足夠小，則必有一定值。令Rn()的相關(guān)時間e定義為 0( )( )(0)( )nnennRRdRR顯然，白噪聲的Rn()=0（

23、當(dāng) 0），即即e=0 。e越大，表示Rn()越大，即表示該噪聲不同時刻的相關(guān)性越大。因此，要充分減小Rn()，則須要求延遲電路的 e。 限帶白噪聲 限帶白噪聲是指白噪聲經(jīng)濾波器輸出的噪聲，因此其噪聲功率譜密度占據(jù)一定帶寬。圖1-8（a）為低頻限帶白噪聲，其帶寬為B。根據(jù)維納-辛欽定理，則限帶白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為2020( )4sin22BjnBNRedBN BB 00(0)2BnBNRdfN BRn(0)= N0B為限帶白噪聲功率。 00( )( )(0)( )sin2124nnennRRdRRBdBB B越大，則e越小，當(dāng)B時，即為白噪聲情況，故e=0 窄帶噪聲 窄帶噪聲是指噪聲通過帶通濾波

24、器輸出。帶通濾波器的帶寬遠小于中心頻率0，輸出窄帶噪聲，可以認為通帶內(nèi)為白噪聲。 00sin( )cosnBRN BB 圖1-9(b)為窄帶噪聲的自相關(guān)函數(shù)，其相關(guān)時間e=1/2B。由圖可見，窄帶噪聲的自相關(guān)函數(shù)可以看成由慢變化部分a()=N0BsinB/B及快變化部分cos0組成，即可表示為0( )( )cos( )n tA ttt0( )( )cosnRa 窄帶噪聲從波形來看也有一定特點，這是因為窄帶噪聲為噪聲經(jīng)窄帶帶通濾波器輸出，所以可以看成很多頻率接近0的正弦波合成，相當(dāng)是一種隨機調(diào)幅調(diào)頻波，如圖1-10所示。它可以表示為 式中A(t)及(t)分別表示隨機振幅及隨機相位。通常信號檢測系統(tǒng)中經(jīng)窄帶濾波器后往往要經(jīng)檢波或鑒頻才能提取需要的信息，例如，收音機中就是如此。因此，隨機振幅A(t)及隨機相位(t)的統(tǒng)計特征也是很重要的，因為它們直接決定了檢波器或鑒頻器輸出噪聲。 00( )( )cos( )sincsn tn ttn tt22( )( )( )( )( )( )csscA tn tn tn ttarctgn t（1 1）n nc c( (t t) )及及n ns s( (t t) )的統(tǒng)計特征的統(tǒng)計特征 對對n nc c( (t t) )求一階導(dǎo)數(shù)，考慮到求一階導(dǎo)數(shù)，考慮到