工程力學(xué)電子教案

1、 研究對象研究對象 剛體剛體 研究內(nèi)容研究內(nèi)容 平衡平衡 運動運動 （外效應(yīng)）外效應(yīng)） 研究對象研究對象 變形固體變形固體研究內(nèi)容研究內(nèi)容 變形變形 內(nèi)力內(nèi)力 （內(nèi)效應(yīng)）（內(nèi)效應(yīng)）前三章內(nèi)容學(xué)習(xí)指導(dǎo)如何用約束反力等效替換約束 正確畫出研究對象的受力分析圖牢記力的平移定理牢記合力矩定理什么是約束 約束的種類及畫法非常熟練的應(yīng)用力的平衡方程 剛體和力的概念剛體:在力的作用下，其物體內(nèi)部任意兩點之間的距離始終保持不變剛體是靜力學(xué)中對物體進行分析所簡化的力學(xué)模型力是物體間的相互機械作用. 力對物體作用效應(yīng)外效應(yīng)：使物體的運動狀態(tài)發(fā)生改變；內(nèi)效應(yīng)：使物體的形狀發(fā)生改變 力的三要素：力的大小、方向、作用線

2、力的單位：牛頓（N）或千牛（kN） 11 力力 力矩力矩 力偶力偶力矩力對物體的運動效應(yīng)，包括力對物體的移動和轉(zhuǎn)動效應(yīng)，其中力對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)用力矩來度量。力矩是力對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量力矩的表示力矩的矩心、力臂大小、轉(zhuǎn)向、作用面正負號規(guī)定右手螺旋法則量綱單位：牛頓.米N.m或千牛.米kN.mdFFMo)(力偶定義: 兩個大小相等，方向相反，且不共線的平行力組成的力系稱為力偶。力偶的表示法力偶矩大小正負規(guī)定：逆時針為正單位量綱：牛米N.m或千牛米kN.m力偶的三要素 力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用面dFxFxdFFMoFMoFFMo)() ()() ,(力偶的基本性質(zhì)力偶的基本性質(zhì)力偶無

3、合力力偶中兩個力對其作用面內(nèi)任意一點之矩的代數(shù)和，等于該力偶的力偶矩力偶的可移動性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變）力偶的可改裝性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變）力偶的等效平面力偶系合成平衡 力對點的矩與力偶矩的區(qū)別：力對點的矩與力偶矩的區(qū)別：相同處：力矩的量綱與力偶矩的相同。相同處：力矩的量綱與力偶矩的相同。不同處：力對點的矩可隨矩心的位置改變而改不同處：力對點的矩可隨矩心的位置改變而改 變，但一個力偶的矩是常量。變，但一個力偶的矩是常量。聯(lián)聯(lián) 系：力偶中的兩個力對任一點的系：力偶中的兩個力對任一點的矩矩之和是之和是 常量，等于力偶矩。常量，等于力偶矩。公理一：力的平行四邊形公理 作用在物體上同一點的兩個

4、力可以合成為一個力，合力的作用點仍作用在這一點，合力的大小和方向由這兩個力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對角線確定。 矢量表示法：FR=F1+F212 靜力學(xué)公理靜力學(xué)公理靜力學(xué)公理二、三公理二：二力平衡公理公理二：二力平衡公理 作用于剛體上的兩個力使剛體平衡的必要和充分條件是：這兩個力的大小相等、方向相反、作用線重合。矢量表示法：F1=F2；推論推論 ( (三力匯交定理三力匯交定理) ) 當(dāng)剛體在三個力作用下當(dāng)剛體在三個力作用下時，設(shè)其中兩力時，設(shè)其中兩力的作用線相交于某點，則第三力的作用線必定也通的作用線相交于某點，則第三力的作用線必定也通過這個點。過這個點。F F1 1F F3 3R R1

5、1F F2 2A A= =證明：證明：A A3 3F F1 1F F2 2F F3 3A A3 3A AA A2 2A A1 1 公理三：加減平衡力系公理 可以在作用于剛體的任何一個力系上加上可以在作用于剛體的任何一個力系上加上或去掉幾個互成平衡的力，而不改變原力或去掉幾個互成平衡的力，而不改變原力系對剛體的作用。系對剛體的作用。推論推論 ( (力在剛體上的可傳性力在剛體上的可傳性) ) 作用于剛體的力，其作用點可以沿作用線作用于剛體的力，其作用點可以沿作用線在該剛體內(nèi)前后任意移動，而不改變它對該剛在該剛體內(nèi)前后任意移動，而不改變它對該剛體的作用體的作用= = =F FA AF F2 2F F

6、1 1F FA AB BF F1 1A AB B靜力學(xué)公理四、五 公理四公理四：作用于反作用公理 任何兩個物體相互的作用力和反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一條直線，分別作用在這兩個物體公理五公理五：剛化原理 若變形體在某一力系作用下平衡，則可將此受力的變形體視為剛體，其平衡狀態(tài)仍保持不變。T反力 : 沿著繩索背離物體2 . 光滑支承面 :N反力 : 沿著支承面的公法線指向物體3 . 固定鉸鏈支座：XO YO 反力 : 若被鉸物體不是二力桿則正交分解N1 . 柔索 （繩子、皮帶、鏈條等）: 若鉸鏈的兩部分都是活動的，則稱為中間鉸，兩部分互為約束。拆開鉸鏈時，一部分對另一部分的約束同固定鉸

7、鏈支座。13 約束和約束反力約束和約束反力 約束反力作用在接觸點處作用在接觸點處，方向沿公法線沿公法線，指向受力指向受力物體物體是向點而來的力向點而來的力。2.光滑接觸面的約束光滑接觸面的約束 ( (光滑指摩擦不計光滑指摩擦不計) )PNNPNANB4 . 滾動支座 :N反力 :沿著支承面的公法線方向1)向心頸軸承 :3)球軸承 : 5 . 軸承 :2)止推軸承 :反力:垂直于軸向兩正交分力XO ZO 反力:正交三分力XO ZO YO 反力:正交三分力XO ZO YO 滑槽與銷釘滑槽與銷釘固定鉸支座固定鉸支座 鏈桿約束鏈桿約束RA 光滑向心頸軸承光滑向心頸軸承AAAXAYAA固定鉸支座的幾種表

8、示固定鉸支座的幾種表示:滾動鉸支座（輥軸支座）的幾種表示滾動鉸支座（輥軸支座）的幾種表示:14 14 受力分析和受力圖受力分析和受力圖畫受力圖的方法與步驟：畫受力圖的方法與步驟：1 1、取分離體（研究對象）、取分離體（研究對象）2 2、畫出研究對象所受的全部主動力（使物體產(chǎn)生、畫出研究對象所受的全部主動力（使物體產(chǎn)生 運動或運動趨勢的力）運動或運動趨勢的力）3 3、在存在約束的地方，按約束類型逐一畫出約束、在存在約束的地方，按約束類型逐一畫出約束 反力（研究對象與周圍物體的連接關(guān)系）反力（研究對象與周圍物體的連接關(guān)系）作業(yè)要求: 思考題為必做題思考題為必做題第一章 思考題1-11-10 習(xí)題

9、1-1(d) 1-3(4)(5)(6) 1-4合成的幾何法：合成的幾何法：A AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3表達式：表達式：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA AF F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4 為平面共點力系：為平面共點力系：4321FFFFR21 平面匯交力系合成與平衡平面匯交力系合成與平衡 把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。為力鏈）。加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為力多邊形。為力多邊形。力的多邊形規(guī)則：力的多

10、邊形規(guī)則：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A 空間共點力系和平面情形類似，在理論上也可空間共點力系和平面情形類似，在理論上也可以用力多邊形來合成。但空間力系的力多邊形為空以用力多邊形來合成。但空間力系的力多邊形為空間圖形。間圖形。給實際作圖帶來困難。給實際作圖帶來困難。R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A1 1、共點力系的合成結(jié)果、共點力系的合成結(jié)果 0F 該力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力該力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力的矢量和等于零。的矢量和等于零。 共點力系可以合成為一個力，合力作

11、用在力系共點力系可以合成為一個力，合力作用在力系的公共作用點，它的公共作用點，它等于這些力的矢量和，并可由這等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊表示。力系的力多邊形的封閉邊表示。nii1F矢量的表達式矢量的表達式：R = F1+ F2+ F3+ + Fn2 2、共點力系平衡的充要幾何條件：、共點力系平衡的充要幾何條件： 反之，當(dāng)投影反之，當(dāng)投影Fx 、Fy 已知時，則可求出已知時，則可求出力力 F F 的大小和方向：的大小和方向：力在坐標(biāo)軸上的投影：力在坐標(biāo)軸上的投影：cosxFF cosFFy2y2xFFFFFFFyxcos cos結(jié)論：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與結(jié)論

12、：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間夾角的余弦。該軸正向間夾角的余弦。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy yA AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。同一軸上的投影的代數(shù)和。證明：證明： 以三個力組成的共點力系為例。設(shè)有三個共點力以三個力組成的共點力系為例。設(shè)有三個共點力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如圖。如圖。合力投影定理：合力

13、投影定理：合力合力 R 在在x 軸上投影：軸上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推廣到任意多個力推廣到任意多個力F1、F2、 Fn 組成的平面組成的平面共共點力系，可得：點力系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 軸上投影：軸上投影：abFx1bcFx2dcFx3dcbcabadRxxxxxFFFR321xnxxxxxFFFFFR321xnxxxFFFFR21xynyyyyFFFFR21 合力的大小合力的大小2222yxyxFFRRR合力合力R R 的方向余弦的方向余弦 cos , cosRFRRRFRRyyxx根據(jù)合力投影定

14、理得根據(jù)合力投影定理得共點力系平衡的充要解析條件：共點力系平衡的充要解析條件： 力系中所有各力在各個坐標(biāo)軸中每一軸上的力系中所有各力在各個坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。投影的代數(shù)和分別等于零。平面共點力系的平衡方程平面共點力系的平衡方程: : 0 xF 0yF例題例題 2-12-1已知各分力的大小及方向,求其合力的大小及方向. 解:用解析法求圖示平面匯交力系的合力04404403303302202201101145sin45cos;45sin45cos60sin60cos;30sin30cosFFFFFFFFFFFFFFFFyxyxyxyx解：NFyFNFxFRyRx3 .1123

15、 .129NFFFRyRxR3 .17122040.9753 .1293 .112arctgFFarctgRxRyFR3030B BP PA AC C3030 a a 解：解：1. 1. 取滑輪取滑輪B B 軸銷作為研究對象。軸銷作為研究對象。2. 2. 畫出受力圖（畫出受力圖（b)b)。S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B B例題例題 2-22-2 利用鉸車?yán)@過定滑輪利用鉸車?yán)@過定滑輪B B的繩子吊起一重的繩子吊起一重P=P=20kN20kN的貨物，的貨物，滑輪由兩端鉸鏈的水平剛桿滑輪由兩端鉸鏈的水平剛桿AB AB 和斜剛桿和斜剛桿BC BC 支持

16、于點支持于點B B ( (圖圖( (a a) ) )。不計鉸車的自重，試求桿不計鉸車的自重，試求桿AB AB 和和BC BC 所受的力。所受的力。3. 3. 列出平衡方程：列出平衡方程：00yxFF4. 4. 聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得 反力反力S SAB AB 為負值，說明該力實際指向與圖上假為負值，說明該力實際指向與圖上假定指向相反。即桿定指向相反。即桿AB AB 實際上受拉力。實際上受拉力。 030sin30con QSSABBC030 cos60 cosQPSBCS SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B BkN5 .54ABSkN5 .74BCSF

17、 F1 1F F2 2d d一、一、 力偶和力偶矩力偶和力偶矩1 1、力偶、力偶大小相等的二反向平行力。大小相等的二反向平行力。 、作用效果：引起物體的轉(zhuǎn)動。、作用效果：引起物體的轉(zhuǎn)動。、力和力偶是靜力學(xué)的二基本要素、力和力偶是靜力學(xué)的二基本要素。 力偶特性二：力偶特性二： 力偶只能用力偶來代替（即只能和另一力偶力偶只能用力偶來代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能與力偶平衡。等效），因而也只能與力偶平衡。力偶特性一：力偶特性一：力偶中的二個力，既不平衡，也不可能合成為力偶中的二個力，既不平衡，也不可能合成為一個力。一個力。22 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡2 2、力偶臂、力

18、偶臂力偶中兩個力的作用線力偶中兩個力的作用線 之間的距離。之間的距離。3 3、力偶矩、力偶矩力偶中任何一個力的大力偶中任何一個力的大 小與力偶臂小與力偶臂d d 的乘積，加上的乘積，加上 適當(dāng)?shù)恼撎枴＿m當(dāng)?shù)恼撎?。F F1 1F F2 2d d力偶矩正負規(guī)定：力偶矩正負規(guī)定： 若力偶有使物體逆時針旋轉(zhuǎn)的趨勢，力偶矩若力偶有使物體逆時針旋轉(zhuǎn)的趨勢，力偶矩取正號；反之，取負號。取正號；反之，取負號。量綱：力量綱：力長度，牛頓長度，牛頓米（米（N Nm m）. .FdM二、力偶的等效條件二、力偶的等效條件 1. 1. 同一平面上力偶的等效條件同一平面上力偶的等效條件F Fd dF F d d 因此

19、，以后可用力偶的轉(zhuǎn)向箭頭來代替力偶。因此，以后可用力偶的轉(zhuǎn)向箭頭來代替力偶。= = 作用在剛體內(nèi)同一平面上的兩個力偶相互等作用在剛體內(nèi)同一平面上的兩個力偶相互等效的充要條件是二者的力偶矩代數(shù)值相等。效的充要條件是二者的力偶矩代數(shù)值相等。2. 2. 平行平面內(nèi)力偶的等效條件平行平面內(nèi)力偶的等效條件 空間力偶作用面的平移并不改變對剛體的效應(yīng)?？臻g力偶作用面的平移并不改變對剛體的效應(yīng)。1 1、概念：、概念： 用來表示力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向、作用面的有向線段。用來表示力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向、作用面的有向線段。2 2、力偶的三要素：、力偶的三要素： (1)(1)、力偶矩的大小。、力偶矩的大小。 (2)(2)、力

20、偶的轉(zhuǎn)向。、力偶的轉(zhuǎn)向。 (3)(3)、力偶作用面的方位。、力偶作用面的方位。3 3、符號：、符號：M三、力偶矩矢三、力偶矩矢F FF FM右手規(guī)則右手規(guī)則4 4、力偶矩矢與力矢的區(qū)別、力偶矩矢與力矢的區(qū)別力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑動矢量。力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑動矢量。M 指向人為規(guī)定，力矢指向由本身所決定。指向人為規(guī)定，力矢指向由本身所決定。5 5、力偶等效定理又可陳述為、力偶等效定理又可陳述為: :力偶矩矢相等的兩個力偶是等效力偶。力偶矩矢相等的兩個力偶是等效力偶。 平面力偶系平衡的充要條件：各力偶的力偶矩代數(shù)和等于零。 M=M力的平移定理 作用在剛體上某點的力，可以平移至剛體

21、上任意一點，但同時必須增加一個附加力偶，該力偶的力偶矩等于原力對該點之矩。M=?M=+Fd23 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化 幾個性質(zhì)：幾個性質(zhì)：1 1、當(dāng)力線平移時，力的大小、方向都不改變，但附、當(dāng)力線平移時，力的大小、方向都不改變，但附加力偶的矩的大小與正負一般要隨指定加力偶的矩的大小與正負一般要隨指定O O點的位點的位置的不同而不同。置的不同而不同。2 2、力線平移的過程是可逆的，即作用在同一平面內(nèi)、力線平移的過程是可逆的，即作用在同一平面內(nèi)的一個力和一個力偶，總可以歸納為一個和原力的一個力和一個力偶，總可以歸納為一個和原力大小相等的平行力。大小相等的平行

22、力。3 3、力線平移定理是把剛體上平面任意力系分解為一、力線平移定理是把剛體上平面任意力系分解為一個平面共點力系和一個平面力偶系的依據(jù)。個平面共點力系和一個平面力偶系的依據(jù)。 A A3 3O OA A2 2A A1 1F F1 1F F3 3F F2 21F2F3Fl1O Ol2l3RMOO O= = = 應(yīng)用力線平移定理，可將剛體上平面任意力系應(yīng)用力線平移定理，可將剛體上平面任意力系中各個力的作用線全部平行移到作用面內(nèi)某一給定中各個力的作用線全部平行移到作用面內(nèi)某一給定點點O O 。從而這力系被分解為平面共點力系和平面力。從而這力系被分解為平面共點力系和平面力偶系。這種變換的方法稱為力系向給

23、定點偶系。這種變換的方法稱為力系向給定點O O 的簡化的簡化。點。點O O 稱為簡化中心。稱為簡化中心。 力系向給定點力系向給定點O O 的簡化的簡化 共點力系共點力系F F1 1 、 F F2 2 、 F F3 3 的合成結(jié)果為一作用點在的合成結(jié)果為一作用點在點點O O 的力的力R R 。這個力矢。這個力矢R R 稱為原平面任意力系的主矢。稱為原平面任意力系的主矢。 附加力偶系的合成結(jié)果是作用在同平面內(nèi)的力附加力偶系的合成結(jié)果是作用在同平面內(nèi)的力偶，這力偶的矩用偶，這力偶的矩用M MO O 代表，稱為原平面任意力系對代表，稱為原平面任意力系對簡化中心簡化中心 O O 的主矩。的主矩。3213

24、210FmFmFmMMMMooo321321FFFFFFR結(jié)論：結(jié)論： 平面任意力系向面內(nèi)任一點的簡化結(jié)果，是平面任意力系向面內(nèi)任一點的簡化結(jié)果，是一個作用在簡化中心的主矢；和一個對簡化中心一個作用在簡化中心的主矢；和一個對簡化中心的主矩。的主矩。推廣：推廣：平面任意力系對簡化中心平面任意力系對簡化中心O O 的簡化結(jié)果的簡化結(jié)果主矩：主矩：FFFFRn21 FmFmFmFmMonooo210主矢：主矢： 幾點說明：幾點說明：1 1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。中心的位置無關(guān)。2 2、平面任意力系的主矩與簡化中心、平面任意力系的主矩

25、與簡化中心O O 的位置的位置有關(guān)。因此，在說到力系的主矩時，一定要有關(guān)。因此，在說到力系的主矩時，一定要指明簡化中心。指明簡化中心。方向余弦：方向余弦：2 2、主矩、主矩M Mo o可由下式計算：可由下式計算：主矢、主矩的求法：主矢、主矩的求法：1 1、主矢可用力多邊形規(guī)則作圖求得，或用解析、主矢可用力多邊形規(guī)則作圖求得，或用解析 法計算。法計算。 FmFmFmFmMonooo2102222yxyxFFRRRRFxRx,cosRFyRy,cos= = =M MO OO ORO ORR RR RM Mo o A AO OR R RM MM M A A1 1、R R =0=0，而，而M MO O

26、00，原力系合成為力偶。這時力系主，原力系合成為力偶。這時力系主矩矩M MO O 不隨簡化中心位置而變。不隨簡化中心位置而變。2 2、M MO O=0=0，而，而R R 00，原力系合成為一個力。作用于點，原力系合成為一個力。作用于點O O 的力的力R R 就是原力系的合力。就是原力系的合力。3 3、R R 00，M MO O00，原力系簡化成一個力偶和一個作用，原力系簡化成一個力偶和一個作用于點于點O O 的力。這時力系也可合成為一個力。的力。這時力系也可合成為一個力。說明如下：說明如下：簡化結(jié)果的討論簡化結(jié)果的討論 RFmRMAO00綜上所述，可見：綜上所述，可見：4 4、 R R =0=

27、0，而，而 M MO O=0=0，原力系平衡。，原力系平衡。、平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢主矩均不、平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢主矩均不為零時，則該力系可以合成為一個力。為零時，則該力系可以合成為一個力。 、平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢為零而主、平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢為零而主矩不為零時，則該力系可以合成為一個力偶矩不為零時，則該力系可以合成為一個力偶。 平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點的平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩，等于這個力系中的各個力對同一點的矩的矩，等于這個力系中的各個力對同一點的矩的代數(shù)和。代數(shù)和。合力矩定理合力矩定理 FmRmoo yoxooFmFmFmxx

28、oyFFmyyoxFFmyxOyFxFFxyAB qlxqFl021dqlxq qlxxqFh0dlh32q 0 , 0 , 0FoyxmFF平衡方程其他形式：平衡方程其他形式： 0 , 0 , 0 FFBAxmmF 0 , 0 , 0FFFCBAmmm注意注意:A:A、B B 兩點兩點的連線不能和的連線不能和x x 軸相垂直。軸相垂直。注意注意: : A A、B B、C C 三點不能共線。三點不能共線。平面任意力系平衡的充要條件：平面任意力系平衡的充要條件： 力系的主矢等于零力系的主矢等于零 ，又力系對任一點的主矩也，又力系對任一點的主矩也等于零。等于零。平衡方程：平衡方程：2.4 2.4

29、平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程解：解：1 1、取梁、取梁ABAB為研究對象。為研究對象。2 2、受力分析如圖，其中、受力分析如圖，其中Q Q= =q q. .ABAB=100=1003=300N3=300N；作；作用在用在ABAB的中點的中點C C 。B BA AD DQ QF FAyAyF FAxAxF FD DC CM My yx xB BA AD D1m1mq q2m2mM M例題例題 梁梁ABAB上受到一個均布載荷和一個力偶作用，上受到一個均布載荷和一個力偶作用，已知載荷集度已知載荷集度q q = 100N/m = 100N/m，力偶矩大小，力偶矩大小

30、M = 500 NM = 500 Nm m。長度長度AB AB = 3m= 3m，DBDB=1m=1m。求活動鉸支。求活動鉸支D D 和固定鉸支和固定鉸支A A 的反力。的反力。3 3、列平衡方程：、列平衡方程：:0 xF0AxF:0yF0DAyFQF :0FmA0223MFQD4 4、聯(lián)立求解：、聯(lián)立求解： F FD D= 475 N= 475 N F FAxAx= 0= 0 f fAyAy= -175 N= -175 NB BA AD DQ QF FAyAyF FAxAxF FD DC CM My yx x一、幾個概念：一、幾個概念：1 1、物體系、物體系 由若干個物體通過約束組成的系統(tǒng)由

31、若干個物體通過約束組成的系統(tǒng)2 2、外、外 力力 物體系以外任何物體作用于該系統(tǒng)的力物體系以外任何物體作用于該系統(tǒng)的力3 3、內(nèi)、內(nèi) 力力物體系內(nèi)部各物體間相互作用的力物體系內(nèi)部各物體間相互作用的力二、物體系平衡方程的數(shù)目：二、物體系平衡方程的數(shù)目： 由由n n個物體組成的物體系，總共有不多于個物體組成的物體系，總共有不多于3 3n n個獨立個獨立的平衡方程。的平衡方程。 物體系的靜定與超靜定問題的概念物體系的靜定與超靜定問題的概念靜定靜定超靜定超靜定超靜定超靜定超靜定超靜定 三、靜定與超靜定概念：三、靜定與超靜定概念： 1 1、靜定問題、靜定問題 當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目等于或少當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目

32、等于或少于獨立平衡方程數(shù)目時的問題。于獨立平衡方程數(shù)目時的問題。 2 2、超靜定問題、超靜定問題 當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨立當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目時，不能求出全部未知量的問題。平衡方程數(shù)目時，不能求出全部未知量的問題。 設(shè)一物系由 n 個物體構(gòu)成,則每個物體可列出3個獨立的平衡方的未知量多于3n個,則為超靜定系統(tǒng).本章不討論超靜定系統(tǒng). 內(nèi)約束力是成對出現(xiàn)的,作用力與反作用力的關(guān)系應(yīng)予考慮. 物系: 由若干個物體所組成的物體系統(tǒng) 內(nèi)約束, 內(nèi)力, 外力 物系平衡時物系平衡時,構(gòu)成物系的每一個物體都必然平衡構(gòu)成物系的每一個物體都必然平衡. 物系的平衡: 解決物系的平衡問題的基本方

33、法是將物系拆開成若干個單個物體,對每個物體列平衡方程,聯(lián)立求解.解題須知解題須知: 對于物系問題，是先拆開還是先整體研究，通常：對于構(gòu)架，若其整體的外約束反力不超過4個，應(yīng)先研究整體；否則，應(yīng)先拆開受力最少的哪一部分。對于連續(xù)梁，應(yīng)先拆開受力最少的哪一部分，不應(yīng)先整體研究。 拆開物系前，應(yīng)先判斷系統(tǒng)中有無二力桿，若有，則先去掉之，代之以對應(yīng)的反力。在任何情況下，二力桿不作為研究對象，它的重要作用在于提供了力的方向。 拆開物系后，應(yīng)正確的表示作用力和反作用力之間的關(guān)系、字母的標(biāo)注、方程的寫法。 對于跨過兩個物體的分布載荷，不要先簡化后拆開，力偶不要搬家。 定滑輪一般不要單獨研究，而應(yīng)連同支撐的桿

34、件一起考慮。 根據(jù)受力圖，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸，應(yīng)使坐標(biāo)軸與盡可能多的力的作用線平行或垂直，以免投影復(fù)雜；坐標(biāo)軸最好畫在圖外，以免圖內(nèi)線條過多。 取矩時,矩心應(yīng)選在盡可能多的未知力的交點上,以避免方程中出現(xiàn)過多的未知量。MA BMqA例1:圖示連續(xù)梁,求A、B、C三處的約束反力。MlqCBAl解：先以BC為研究對象，做受力圖列平衡方程000mYXFbx=0Fby+FC-ql=0FCl-ql2/2=0000mYXFax-Fbx=0Fay-Fby=0MA+M-Fbyl=0聯(lián)立求解即可。BCFC Fby Fbx BAFbx Fby Fax Fay 再研究AB：（或整體ABC）ABCaaMq2a例2:梁如

35、圖所示，求A、B、C三處的反力。解:先拆開BC:Fbx Fby 2F 0 00 002 02qaFqaFFYFXqaaFmbyCCbybxCBMqaMqaqaFYFXMqaMaFmAayCaxACA2ay2 , 23F 02F 00 0022 0再整體:BCFC Fax Fay MAFC 解：解：1 1、取、取AC AC 段研究，受力分析如圖。段研究，受力分析如圖。例3:三鉸拱橋如圖所示，由左右兩段借鉸鏈三鉸拱橋如圖所示，由左右兩段借鉸鏈C C 連接起連接起來，又用鉸鏈來，又用鉸鏈A A、B B 與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)。已知每段重與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)。已知每段重G G=40 =40 kNkN，重心分別在，重心分

36、別在D D、E E 處，且橋面受一集中載荷處，且橋面受一集中載荷P P=10 =10 kNkN。設(shè)各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時，各鉸鏈中的。設(shè)各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時，各鉸鏈中的力。尺寸如圖所示，單位是力。尺寸如圖所示，單位是m m。P P3 3DEABCN NCyCyN NCxCxN NAyAyN NAxAxDAC:0 xF0CxAxNN:0yF0GNNCyAy :0FmC0566GNNAyAx列平衡方程：列平衡方程：2 2、再取、再取BC BC 段研究，受力分析如圖。段研究，受力分析如圖。列平衡方程：列平衡方程：:0 xF0BxCxNN:0yF0GPNNByCy06653BxByNNG

37、P :0FmCyNCNCxByNBxNP PBCEN NCyCyN NCxCxN NAyAyN NAxAxDACCyCyCxCxN NNN , 聯(lián)立求解：可得聯(lián)立求解：可得 N NAxAx= -N= -NBx Bx = N= NCx Cx = = 9.2 kN9.2 kN N NAyAy= = 42.5 kN42.5 kN N NByBy= = 47.5 kN47.5 kN N NCyCy= = 2.5 kN2.5 kN N NCx Cx 和和 N N CxCx、 N NCy Cy 和和 N N CyCy是二對作用與反作用力。是二對作用與反作用力。 2.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡

38、問題摩擦按物體間的運動狀態(tài)分滑動摩擦滾動摩擦靜滑動摩擦動滑動摩擦一. 靜滑動摩擦定律FPN摩擦力F: 方向: 恒與物體相對滑動的 趨勢方向相反 大小: 一般狀態(tài)下由平衡方程確定,當(dāng)物體處于將動未動的臨界狀態(tài) 時,由靜滑動摩擦定律計算.Fmax=NfN:法相反力f:靜滑動摩擦系數(shù),為常數(shù),由材料決定1 滑動摩擦G 因此, 0 F Fmax作用位置: 作用在兩物體的接觸面上沿公切線二. 動滑動摩擦定律F =N f N:法相反力f :動滑動摩擦系數(shù),為常數(shù),由材料決定f f2. 帶有摩擦的平衡問題 帶有摩擦的平衡問題的解法與平面一般力系的解法基本相同,只是在分析受力時要考慮摩擦力,并正確地判斷出摩擦

39、力的方向,考慮臨界狀態(tài)并補充摩擦定律.其結(jié)果往往有一個范圍.例: 重為G的物體放在傾角為的斜面上,今在該物體上作用一水平力Q,問能使該物體保持平衡時Q的范圍.已知 f=0.5.解: 解除約束,作受力圖 考察該物體可能的運動趨勢,分別考慮每一運動趨勢,畫出對應(yīng)的摩擦力, 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,列平衡方程.NF1 F2 G若不告訴物體的尺寸,則屬匯交力系,否則屬于一般力系. 在臨界狀態(tài)并補充摩擦定律 Fmax=Nf 將各種趨勢的結(jié)果比較分析,得出待求的范圍.Q(1). 下滑時:摩擦力朝上xy00YXQcos+F-Gsin=0-Qsin+N-Gcos=0Fmax=NfQ1=G(sin-fcos)/(co

40、s+fsin)(2). 上滑時:摩擦力朝下Q2=G(sin+fcos)/(cos-fsin) Q1 Q Q2FR3 . 摩擦角與自鎖現(xiàn)象GPN全反力: R = N + F 由于 0 F Fmax N R N+ Fmax 把全反力的最大值Rmax與法線N間的夾角maxmax稱為摩擦角,用表示maxmaxfNNfNFtgm由圖可知:可見,摩擦角與摩擦系數(shù)f 一樣也是表示材料表面性質(zhì)的一個常量.當(dāng)物體的滑動趨勢方向改變時,全約束反力作用線的方位也隨之改變,當(dāng)物體在支承面內(nèi)有各個方向滑動的趨勢時,則全反力的最大值Rmaxmax作用線將畫出一個以接觸點為頂點的圓錐面-摩擦錐摩擦錐的頂角為 2 max,m

41、ax,由于F不可能超過最大值,所以,全反力R的作用線也不可能超出摩擦角以外,即.物體平衡時,全反力R必在摩擦角以內(nèi).FmaxmaxRmaxmax2 maxmax 因此 : 如果作用于物體上的主動力的合力作用線落在摩擦角以內(nèi),則不論這個力多么大, 物體都能夠平衡; 這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象. 反之如果主動力的合力作用線落在摩擦角以外,則不論這個力多么小, 物體都不能夠平衡.(可用二力平衡原理解釋)摩擦角的概念被廣泛的使用: (1) 摩擦系數(shù)的測定 (2) 螺旋千斤頂?shù)淖枣i條件 (3) 沙堆成型的過程概念題：圖示物快重G，一力P作用在摩擦角m之外，已知=300，m=200，G=P，問物快能否保持平衡？

42、為什么？PGm答：能，因為主動力P、G的合力作用線落在摩擦角之內(nèi)概念題： 長方形均質(zhì)塊尺寸如圖，放在斜面上，當(dāng)增加到m ( ) 時處于臨界狀態(tài)，求此時靜滑動摩擦系數(shù) f 及 b/a 的范圍。541 tgmba解:5454mmtgabtgf練習(xí)題：圖示結(jié)構(gòu)在力偶 M=pl 的作用下處于臨界狀態(tài)，求C處靜滑動摩擦系數(shù) f 及 A處的反力。桿自重不計。pRRCA32ABC600600M= plBC= lRARC解：BC為二力桿3330otgf練習(xí)題： 無重桿AB擱在不計自重的圓柱體上，求不論P多大都不能使圓柱被擠出的各接觸面的摩擦角，表成與的關(guān)系。NF解：只要2sin2cosNF則不會被擠出。 :

43、tgtg :222sin2cos即即NNfPA練習(xí)題：兩根同重等長的均質(zhì)桿在B點絞接，C點靠在墻上，f=0.5，求平衡時的角=?解:研究整體， 分析受力:ABCPNFXAYAP02cos222sin20lPlNMA 再研究BC， 分析受力:02cos2cos22sin 0FllPlNMB128421. 或 ctgNfF- : 解得練習(xí)題：圖示折梯，兩角的fA=0.2， fB=0.6，AC中間D點作用力P=500N，不計梯重，問能否平衡？若能， FA、 FB各為多少？ABCDP BC為二力桿，受力如圖，由平衡方程：NANBFAFB解：先整體：12503750BAB NY NMNC17.72312

44、5BF17.7275 :maxBBBBFfNF而能平衡， FA= FB=72.17N。練習(xí)題：一扇形搖椅底腿半徑為r，頂角600，重Q=100N，重心在C點，OC=r/2，在O點加水平力P并逐漸增加，問搖椅是先滑動還是先翻倒？就f=0.2和0.3兩種情況考慮；若先滑動，OC與鉛直成何角度？若先翻倒，此時F=？600ABOCPQ600ABOCPQNF解：依題意畫圖，D20sin2Pr000Nf臨界時 FrQ MN QYF PXmDf =0.2時:62352sin. 解得: 此種情況下，先滑動.f =0.3時:30sin2Pr000Nf臨界時 FrQ MN QYF PXmD87.366 . 0si

45、n 解得: 當(dāng)=300時，搖椅處于將翻未翻的臨界狀態(tài)；圖示結(jié)構(gòu)不可能超過300，所以此種情況下，先翻倒。此時：2530sin2FrQF P Pr練習(xí)題：圖示折梯，兩角的fA=0.2， fB=0.6，AC中間D點作用力P=500N，不計梯重，問能否平衡？若能， FA、 FB各為多少？ABCDP BC為二力桿，受力如圖，由平衡方程：NANBFAFB解：先整體：12503750BAB NY NMNC17.723125BF17.7275 :maxBBBBFfNF而能平衡， FA= FB=72.17N。maxNsmaxNNN2FFFfFFFFFFBABA 022, 00, 00, 0NNNdFdFFFa

46、MFFFFFFFABBDBAyBAxFBBAAFfFFfFNsNsslim2 fbasflim2 cot2fbba第二章 思考題2-12-10 習(xí)題 單號題OFx= X=FcosFx 第第3 3章章 空間力系空間力系zyFy= Y=FcosFz= Z=Fcos二次投影法:Fx= X=FsincosFy= Y=FsinsinFz= Z=FcosFZFYFXZYXFcoscoscos222一.力在空間的表示: 各力的作用線在空間任意分布且交于同一點.31 空間中的力、力矩與力偶空間中的力、力矩與力偶OFxzyFx x=Xi iFy y=Yj jFz z=Zk kF=Xi i+ Yj j + Zk

47、k 空間匯交力系用幾何法合成并不方便,因為空間幾何圖形不易表示. 所以常用解析法. 將空間匯交力系的各力分別投影到空間直角坐標(biāo)系的三個軸上,根據(jù)矢量投影法則,合力在某軸上的投影等于各個分力在該軸上投影的代數(shù)和:Rx= XRy= YRz= ZRZRYRXZYXRcos cos cos)()()(222，F(xiàn)xy R= = Fi合力投影定理:C300zyxoBADG000ZYX上式即為空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系平衡 R = 0R = 0例:等長桿BD、CD鉸接于D點并用細繩固定在墻上A點而位于水平面內(nèi)，D點掛一重G的物塊，不計桿重，求桿及繩的約束反力。T-Tsin300cos450-SCD=

48、0-Tsin300sin450-SBD=0Tcos300-G=0SBD SCD 解：研究力的匯交點D（空間力系不用取隔離體） 畫受力圖各力偶在空間任意分布 空間力偶系一.空間力偶的等效條件(對平面力偶的性質(zhì)進一步擴展) 作用于同一剛體上兩平行平面內(nèi)的兩個力偶,若其力偶矩大小相等,轉(zhuǎn)向相同,則兩力偶等效.即:空間力偶可以向平行平面內(nèi)搬動.F1 F1 abFF F=2F1dc利用兩個反向平行力的合成結(jié)論F1 F1 abF2 F2F2 F2cdm矢量的長度表示力偶矩的大小,矢量的指向與力偶的轉(zhuǎn)向成右手系, 矢量的方位于力偶作用平面垂直. 力偶矩矢為自由矢量,與作用位置無關(guān),既可以在同平面內(nèi)移動,又可

49、在平行平面內(nèi)搬動.空間力偶的等效條件: 兩力偶矩矢相等.m3 m2 m1 mn m3 m1 mn zyxom2 zyxoM合力偶矩矢合力偶矩矢 M=mM=mi i 合力偶投影定理: 將空間力偶系的各力偶矢分別投影到空間直角坐標(biāo)系的三個軸上,根據(jù)矢量投影法則,合矢量在某軸上的投影等于各個分矢量在該軸上投影的代數(shù)和:Mx= mxMmMmMmmmmMzyxzyxcos ,cos ,cos)()()(222My= myMz= mz空間力偶系的平衡條件:M=0=0 mx =0 my =0 mz =0空間力偶系的平衡方程:zFz Fxy Fy FFx y 力F使物體繞z軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)稱為力對軸之矩,記為:

50、mz(F)=FxOA =Fxyh oAhxB顯然:力與軸平行,無矩 力與軸相交,無矩即: 力與軸位于同一 平面內(nèi)時,無矩合力矩定理: mz(R)=mz(Fi)rzyxo力對軸之矩的解析式: (x,y,z).FdXFm0( F)= rF YZzyxmx(F)=yZ - zYmY(F F)=zX - xZmz(F)=xY- yXzyxo.A(x,y,z)矢量的長度表示力矩的大小,矢量的指向與力矩的轉(zhuǎn)向成右手系, 矢量的方位于力矩作用平面垂直. 定位矢量,與作用位置有關(guān).m0( F)力對點矩矢的解析式F=Xi i+Yj j+Zk kr=xi i+yj j+zk kmm0( F F)= r rF F

51、= (= (yZ - Zy) i i+ (zX - xZ) j j +(xY- yX)k k ZYXzyxk kj ji i力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影等于力對該軸之矩.空間一般力系: 各力的作用線在空間任意分布.33 空間任意力系空間任意力系F3 F2 F1 Fn .OF3 F1 Fn F2 .Om mn m m2 m m1 m m3 .OR, , M0 主矢主矢 R=F 與簡化中心位置無關(guān) 主矩主矩 M0=m= mo(Fi) 與簡化中心位置有關(guān)222)()()(ZYXR222222)()()()()()(zyxzoyoxommmFmFmFmM二.簡化結(jié)果討論,合力矩定理(略)000

52、000zyxmmmZYX例:重為G的均質(zhì)正方形板置于水平面內(nèi),求球鉸鏈O和蝶鉸鏈A處的反力及繩的拉力.AzyxoB300AzyxoB300T 解:研究板,分析受力GZA XA XO YO ZO 000000zyxmmmZYXXO -Tsin300cos450+XA=0YO-Tsin300sin450=0ZO-G+Tcos300+ZA=0b-Gb/2+Tcos300b+ZAb=0Gb/2-Tcos300b=0XA=0空間平行力系: 作用點任意分布,方位彼此平行zyxo000000zyxmmmZYX0=0讓 z / Fi0=0z=0mx=0my=00=0空間平行力系的平衡方程為:z=0mx=0my

53、=0S空間一般力系平衡方程的其他形式 前面我們討論了空間一般力系平衡方程的基本形式,也即三矩式。除了基本形式以外,空間一般力系平衡方程也有其他形式：四矩式、五矩式、六矩式。 三矩式是必要充分條件，而其他形式是必要不充分條件，要使其充分必須附加一定的條件，而我們所遇到的題目都是平衡的，所以只需必要條件即可。不必考慮附加條件。 即：解題時，可以對任意直線取矩。但應(yīng)向盡可能多的力的平行和相交的直線取矩，以減少方程中未知量的數(shù)目。例：水平均質(zhì)正方形板重P，用六根直桿支撐如圖，求各桿內(nèi)力。ABCD12 3456解：研究板，作受力圖PSSSSSms1=0 S6=0ms3=0 S4=0ms5=0 S2=0m

54、AC=0 S3=0mAB=0 S5= -P/2Z=0 S5= S1= -P/2例:已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡時(勻速轉(zhuǎn)動)力Q=？和軸承A , B的約束反力？ 解：選輪軸為研究對象； 受力分析如圖)N(746,020cos10050;0)N(352,0;0QQPmPYPYYzyyAyA由：例：水平軸AB上分別固結(jié)半徑為100cm和10cm的兩圓輪，并在切線方向受力P和Q，已知P=10kN，求平衡時Q=？；A、B兩軸處的反力分別為多少？zxy10cm10cm80cmQPABXAZAXBZB解：受力如圖：10,90,9,

55、 1,100BABAZZXXQ例：圖示機構(gòu)，在踏板C上作用一鉛直力P=1000N，與作用在曲桿上的水平力T相平衡，求軸承A、B兩處的反力。xyz450 TPOEDCBA8m8m6m4m3mXBYBZBXAZA解：機構(gòu)受力如圖：PTPZPYPXPZPXBBBAA22 ,81 ,2 ,5 . 0 ,87 ,5 . 1例: 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求T2=？, T3=？N2 =？)kN(546, 045sin15sin, 011TQTY由C點：解：分別研究C點和B點作受力圖)kN( 230 , )kN( 419 53 sin ,54434 cos0 sin sin60cos , 0045cos cos45cos cos60sin , 0045cos cos45cos cos , 023222321232132NTTTTTNZTTTYTTX由B點：例:曲桿ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?此題課堂練習(xí)此題課堂練習(xí)： 力偶不出現(xiàn)在投影式中； 力偶在力矩方程中出現(xiàn)，是把力偶當(dāng)成矢量后，再在坐標(biāo)軸上投影； 力爭一個方程求解一個未知量； 了