達(dá)西方程與滲透

1、Darcy方程與滲透率Darcy方程du dt動(dòng)量守恒律即是控制體元中運(yùn)動(dòng)流體的動(dòng)量變化率等于所有有效的作用外 力總和，表小為：(1-2)在流體力學(xué)中，不可壓縮粘性流體動(dòng)量守恒律表現(xiàn)為著名的Navier-Stokes方程組。原則上講，給出 Navier-Stokes方程、連續(xù)性方程以及兩個(gè)狀態(tài)方程， 就可以解決任意形狀中不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)的所有問題，而多孔介質(zhì)中流體的流動(dòng)也不例外。遺憾的是 Navier-Stokes方程是非線性的，除非多孔介質(zhì)中流體 流動(dòng)的孔道具有規(guī)則的幾何形狀和良好的對(duì)稱性，否則不可能求解之。以多孔介質(zhì)孔道的復(fù)雜性和不規(guī)則性，Navier-Stokes方程不可能直接適用于

2、解決滲流力學(xué) 問題，因此如果要想在多孔介質(zhì)中應(yīng)用流體力學(xué)基本方程組，必須根據(jù)流體滲流的特點(diǎn)對(duì)之加以改造。在滲流力學(xué)中，動(dòng)量守恒律表現(xiàn)為Darcy方程。這一方程原是 Darcy在18551856年就法國(guó)Dijon的給水過濾問題進(jìn)行的直立均質(zhì)砂柱中水的流動(dòng)實(shí)驗(yàn) 所得到的。Darcy方程雖然是一個(gè)實(shí)驗(yàn)型定律，但是有具體的物理含義。根據(jù)流 體力學(xué)中的Hagen-Poisseuille公式(Navier-Stokes方程的一個(gè)特解)采用毛細(xì)管 模型、水力半徑模型等可以導(dǎo)出 Darcy方程的等價(jià)形式。而在低 Renolds數(shù)的層 流條件下，忽略滲流流體的慣性力影響并且對(duì)單元體取體積平均，由 Navier-

3、Stokes出發(fā)亦可以得出Darcy方程。以下我們回顧Darcy方程。Darcy方程：(1-3)其中，v是流體滲流速度，而流體勢(shì)函數(shù)定義為：Pgz(1-4)這里，P是流體密度，流體勢(shì)實(shí)質(zhì)是每單位體積上的機(jī)械能。平面均質(zhì)流體滲流的Darcy方程：K Pq A-p(1-5)Darcy方程是一種線性方程，它假定介質(zhì)與流體之間沒有耦合作用，而只表明流量與介質(zhì)長(zhǎng)度成正比；它只適用于一定的Reynolds數(shù)范圍。Forchheimer等人就多孔介質(zhì)中大Renolds數(shù)的非Darcy流動(dòng)問題有過很好的研究。而卜may等 就Darcy方程的下限問題進(jìn)行過討論。有關(guān)論述可參閱Bear (1972)的著作。與歐姆

4、定律物理相似性(p =電導(dǎo)率)：(1-6)式中，I=電流（A）, 4V=電壓降（V）, R=電阻（Q）與Fourier定律物理相似性：q AKhf（1-7）式中，q=熱量單位，心=導(dǎo)熱系數(shù)（熱量單位/ （m*hour*K）, zT=溫差（K）。平均滲透率計(jì)算、毛管方程層狀介質(zhì)并聯(lián)線性流、徑向流: nnK Kjhj hjj ij i層狀介質(zhì)用聯(lián)線性流：層狀介質(zhì)串聯(lián)徑向流:Log re / LK-nLog 口。i Kj j i牛頓流體Hagen-Poisseuille圓管層流方程:r4 P q TT 牛頓流體h3 P q 12 L 牛頓流體2 4r Pv f L2，K TBuckingham水平裂

5、縫層流方程:K史12Fanning 圓管紊流方程：非牛頓幕率流體圓管層流方程（C二稠度指數(shù)，n=幕率指數(shù)）：qeKe2C L,qr(13n)n1 3nn (1 n)(1 n)r n-r2 1 3n(1 n)n非牛頓Bingham流體圓管層流方程（C二稠度指數(shù)，n=幕率指數(shù)）r4 P . 4 2 0 / rq1 一8 L 3 ( P/L)4212 0/rr2- ,K 一3(P/L)8Klinkenbeig 效應(yīng)KlKg Kg m11 b - PP(5)(6)(8)(10)(11)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)(9)滲透率和孔隙度、有效應(yīng)力關(guān)系單一介質(zhì)(1) Kozeny-Carman

6、方程( 1927, 1937, 1997)KKoK222 Sgv (1)2式中，Ko=無量綱常數(shù)，R=水力半徑，=孔隙度，=孔喉半徑，=迂曲度，Sgv 二 比表面。(2)滲透率和壓差關(guān)系式：Henpumepob 1961), Pedrosa (1986), Kikani (1991)1_KKTK°e(P p)式中，K0=初始滲透率，二常數(shù)(3)滲透率和正應(yīng)力關(guān)系式：Louis (1974鉆孔壓水試驗(yàn))K K°e, h式中，K0=初始滲透率，=常數(shù)，=巖石容重，h=埋藏深度，=正應(yīng)力(4)常曉林( 1987)假設(shè)滲透主軸與應(yīng)力主軸保持重合，推廣情形2 ( i,j,k 1,2,

7、3)(i )2KiK0exp ' e) j k - i 2 P單一裂縫(1)立方定律：平均N-V方程單一水平縫解_3Q (2a) dP12 dl式中，2=縫半寬，與Darcy定律相對(duì)比可知K a3(2) Snow (1968)2Kn 2bKh KoP Pos式中，Kh=水平滲透率，4二初始?jí)毫o下的滲透率，2b=裂縫張開度，s=裂隙間距。Kn =裂隙法向剛度(ML 1T 2)(3) Jones (碳酸巖類巖石裂隙1975)Kf Ko log3Ph式中，P=有效壓力，¥=有效壓力（Kf 0）(4) Nelson (Navajo 砂巖裂隙1975)Kf A BP n式中，P=有效壓力（5） Gangi （基質(zhì)裂隙平均模型1975)2/3 4_ P PaK(P) Ko 1 Co e Po式中，。=充填影響常數(shù)，P°=基質(zhì)（顆粒）有效模量。單一裂隙釘板模型:K(P) ko 1,0 m 1P1式中，=裂隙面粗糙度有效模量（6） Kranz （Barre 花崗巖裂隙 1978）Kf Q（Pc Pf） n A式中，A =過水面積，巳=總壓力，Pf =孔隙流體壓力 Wals