第二章時(shí)間序列的預(yù)處理

1、第二章第二章 時(shí)間序列的預(yù)處理時(shí)間序列的預(yù)處理本章結(jié)構(gòu)本章結(jié)構(gòu)平穩(wěn)性檢驗(yàn)平穩(wěn)性檢驗(yàn)1.純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)2.2.1平穩(wěn)性檢驗(yàn)平穩(wěn)性檢驗(yàn) 平穩(wěn)時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)知識(shí)一、 隨機(jī)過程1、定義： 在數(shù)學(xué)上，隨機(jī)過程被定義為一組隨機(jī)變量，即，其中，T表示時(shí)間t的變動(dòng)范圍，對每個(gè)固定的時(shí)刻 t而言，Zt是一隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的全體就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程。2、特征（1）隨機(jī)過程是隨機(jī)變量的集合（2）構(gòu)成隨機(jī)過程的隨機(jī)變量是隨時(shí)間產(chǎn)生的，在任意時(shí)刻，總有隨機(jī)變量與之相對應(yīng).二、隨機(jī)序列（時(shí)間序列） 1、當(dāng)時(shí)，即時(shí)刻t 只 取整數(shù)時(shí)，隨機(jī)過程 可寫成 .此類隨機(jī)過程 稱為隨機(jī)序列，也成時(shí)間 序列?？梢姡?

2、）隨機(jī)序列是隨機(jī)過程的一種，是將連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程等間隔采樣后得到的序列；（2）隨機(jī)序列也是隨機(jī)變量的集合，只是與這些隨機(jī)變量聯(lián)系的時(shí)間不是連續(xù)的、而是離散的。三、時(shí)間序列的分布、均值、協(xié)方差函數(shù)1、分布函數(shù)(1)一維分布函數(shù):隨機(jī)序列中每個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).F1(z) ,F2(z) , Ft-1(z) , Ft(z) (2)二維分布函數(shù):隨機(jī)序列中任意兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)Fi,j(zi,zj).i,j=,-2,-1,0,1,2,(3)m維分布函數(shù)1 2, , ,1212( ,) ,(1,2, ), ,mt ttmmFx xxmmt ttT 2、均值函數(shù)對隨機(jī)序列中的任一隨機(jī)變量取期望

3、。當(dāng)t取遍所有可能整數(shù)時(shí)，就形成了離散時(shí)間的函數(shù)ut . 稱ut 為時(shí)間序列的均值函數(shù)。3.方差4.自協(xié)方差 )(xxdFEXttt)()()(22xdFxXEDXttttt)(),(ssttXXEst5.自相關(guān)系數(shù)當(dāng)t,s取遍所有可能的整數(shù)時(shí)，就形成了時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)，它描述了序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)。它的本質(zhì)等同于相關(guān)系數(shù)。 ( , )( , )tst st sDXDX平穩(wěn)時(shí)間序列的定義平穩(wěn)時(shí)間序列的定義平穩(wěn)時(shí)間序列的定義v 嚴(yán)平穩(wěn) 嚴(yán)平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認(rèn)為只有當(dāng)序列所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化時(shí)，該序列才能被認(rèn)為平穩(wěn)。v 寬平穩(wěn) 寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計(jì)

4、量來定義的一種平穩(wěn)性。它認(rèn)為序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。 平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)定義平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)定義 v滿足如下條件的序列稱為嚴(yán)平穩(wěn)序列v滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列),(),(21,21,2121mtttmtttxxxFxxxFmm有，正整數(shù)，正整數(shù)Ttttmm,21TtskksttskkstTtEXTtEXtt且，為常數(shù)，,),(),()3,)2,) 12嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系v 一般關(guān)系 嚴(yán)平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)（低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴(yán)平

5、穩(wěn)成立v 特例 不存在低階矩的嚴(yán)平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列 當(dāng)序列服從多元正態(tài)分布時(shí)，寬平穩(wěn)可以推出嚴(yán)平穩(wěn)平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) v 常數(shù)均值 平穩(wěn)時(shí)間序列均值為常數(shù)，為分析方便，假定E zt=0，當(dāng)均值不為零時(shí)，給每個(gè)值減去均值后再求均值，即等于0。v 自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時(shí)間的平移長度而與時(shí)間的起止點(diǎn)無關(guān) 延遲 自協(xié)方差函數(shù) 由此看出平穩(wěn)序列方差為常量 延遲 自相關(guān)系數(shù)k( )(0)kk為整數(shù)kkttk),()(k自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)v 規(guī)范性v 對稱性 v 非負(fù)定性 v 非唯一性 01 ,1,kk且

6、kk011102120mmmmmmm為非負(fù)定陣，正整數(shù)一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列一定唯一決定了它的自相關(guān)函一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列一定唯一決定了它的自相關(guān)函數(shù)，但一個(gè)自相關(guān)函數(shù)未必唯一對應(yīng)著一個(gè)平穩(wěn)數(shù)，但一個(gè)自相關(guān)函數(shù)未必唯一對應(yīng)著一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列。時(shí)間序列。平穩(wěn)性的重大意義平穩(wěn)性的重大意義v 傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 有限個(gè)變量，每個(gè)變量有多個(gè)觀察值v 時(shí)間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 可列多個(gè)隨機(jī)變量，而每個(gè)變量只有一個(gè)樣本觀察值v時(shí)間序列并不是一個(gè)隨機(jī)變量的反復(fù)抽樣，而是隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)據(jù)都是特定時(shí)間隨機(jī)變量的唯一實(shí)現(xiàn)值，時(shí)間序列樣本均值和方差的含義與截面數(shù)據(jù)也不同，這樣以隨機(jī)變量總體均值和方差的推斷為基礎(chǔ)的計(jì)量

7、經(jīng)濟(jì)分析的基礎(chǔ)就會(huì)出現(xiàn)問題。v并不是以時(shí)間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的計(jì)量分析都會(huì)存在問題 只要所使用的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，以時(shí)間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析就是有效的。u避免避免“偽回歸偽回歸“平穩(wěn)性的重大意義平穩(wěn)性的重大意義v 在平穩(wěn)序列場合，序列的均值等于常數(shù)，這意味著原本含有可列多個(gè)隨機(jī)變量的均值序列變成了只含有一個(gè)變量的常數(shù)序列。v 原本每個(gè)隨機(jī)變量的均值（方差，自相關(guān)系數(shù)）只能依靠唯一的一個(gè)樣本觀察值去估計(jì)，現(xiàn)在由于平穩(wěn)性，每一個(gè)統(tǒng)計(jì)量都將擁有大量的樣本觀察值。v 這極大地減少了隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，并增加了待估變量的樣本容量。極大地簡化了時(shí)序分析的難度，同時(shí)也提高了對特征統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)精度, ,t

8、tTtT平穩(wěn)性的檢驗(yàn)平穩(wěn)性的檢驗(yàn)平穩(wěn)性的檢驗(yàn)：圖檢法、假設(shè)檢驗(yàn)（單位根檢驗(yàn)）1.圖檢驗(yàn)方法v時(shí)序圖檢驗(yàn) 根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。 案例例例2.1:中國紗年產(chǎn)量中國紗年產(chǎn)量時(shí)序圖時(shí)序圖例例2.2:奶牛月產(chǎn)奶量奶牛月產(chǎn)奶量時(shí)序圖時(shí)序圖例例2.3：北京市每年最高氣溫北京市每年最高氣溫時(shí)序圖時(shí)序圖v自相關(guān)圖檢驗(yàn) 平穩(wěn)時(shí)間序列過程的自協(xié)方差，或由協(xié)方差計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)，應(yīng)該很小、很快趨向于0，具有截尾或拖尾特征 。這些特征正是判斷時(shí)間序列平穩(wěn)性的重要依據(jù)。v 首要問題是計(jì)算自相關(guān)函數(shù)。

9、自相關(guān)函數(shù)是以協(xié)方差函數(shù)為基礎(chǔ)定義的 ，因?yàn)橹挥袝r(shí)間序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，因此不可能根據(jù)隨機(jī)變量協(xié)方差、方差的定義計(jì)算，只能用樣本，也就是時(shí)間序列觀測值的時(shí)間平均代替總體平均，時(shí)間矩代替總體矩，得到自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。 21v自相關(guān)函數(shù)最好的估計(jì)方法是樣本自相關(guān)函數(shù)： 其中： 0kknYYYYntkttk1)(210()nttYYn例例2.1自相關(guān)圖自相關(guān)圖例例2.2 自相關(guān)圖自相關(guān)圖例例2.3自相關(guān)圖自相關(guān)圖本章結(jié)構(gòu)本章結(jié)構(gòu)平穩(wěn)性檢驗(yàn)平穩(wěn)性檢驗(yàn)1.純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)2.2.2 純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn) v本節(jié)結(jié)構(gòu) 純隨機(jī)序列的定義 純隨機(jī)性的性質(zhì) 純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)序列的定義純隨機(jī)序列的定義v

10、純隨機(jī)序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下兩條性質(zhì) TststststTtEXt, 0,),()2(,) 1 (2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列時(shí)序圖標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列時(shí)序圖 白噪聲序列的性質(zhì)白噪聲序列的性質(zhì) v 純隨機(jī)性 各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即為 “沒有記憶”的序列 v 方差齊性 根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時(shí)，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計(jì)值才是準(zhǔn)確的、有效的00k(k)， )0(2tDX 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，高斯馬爾可夫定理陳述的是：在誤差零在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，高斯馬爾可夫定理陳述的是：在誤差零均值，同方差，且互不相關(guān)的線性回歸模型中，回歸系數(shù)均值，同方差，且互不相關(guān)的線性回歸模型中，回歸系數(shù)的最佳

11、無偏線性估計(jì)（的最佳無偏線性估計(jì)（BLUEBLUE）就是最小方差估計(jì)。一般而）就是最小方差估計(jì)。一般而言，任何回歸系數(shù)的線性組合的最佳無偏線性估計(jì)就是它言，任何回歸系數(shù)的線性組合的最佳無偏線性估計(jì)就是它的最小方差估計(jì)。在這個(gè)線性回歸模型中，誤差既不需要的最小方差估計(jì)。在這個(gè)線性回歸模型中，誤差既不需要假定正態(tài)分布，也不需要假定獨(dú)立（但是需要不相關(guān)這個(gè)假定正態(tài)分布，也不需要假定獨(dú)立（但是需要不相關(guān)這個(gè)更弱的條件），還不需要假定同分布。更弱的條件），還不需要假定同分布。純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn) v檢驗(yàn)原理v假設(shè)條件v檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 v判別原則Barlett定理定理 v如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)的，得到一

12、個(gè)觀察期數(shù)為 的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布0, )1, 0(knNkn假設(shè)條件假設(shè)條件v原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于 期的序列值之間相互獨(dú)立v備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于 期的序列值之間有相關(guān)性 1, 0210mHm：mkmHk，：至少存在某個(gè)1, 01mm檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量vQ統(tǒng)計(jì)量 vLB統(tǒng)計(jì)量（小樣本） )(212mnQmkk)()()2(212mknnnLBmkk判別原則判別原則v拒絕原假設(shè) 當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于 分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值小于 時(shí)，則可以以 的置信水平拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列v接受原假設(shè) 當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于 分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值大于 時(shí)，則認(rèn)為在 的置信水平下無法拒絕原假設(shè)，即不能顯著拒絕序列為純隨機(jī)序列的假定 21( )m121( )m1例例2.4：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列純隨機(jī)性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列純隨機(jī)性檢驗(yàn)樣本自相關(guān)圖樣本自相關(guān)圖檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)果LBQLBQ延遲統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454由于P值顯著大于顯著性水平 ，所以該序列不能拒絕純隨機(jī)的原假設(shè)