流體運(yùn)動(dòng)學(xué)課件

1、三元流動(dòng)三元流動(dòng): :運(yùn)動(dòng)要素必須表示為三個(gè)方向坐標(biāo)的函數(shù)運(yùn)動(dòng)要素必須表示為三個(gè)方向坐標(biāo)的函數(shù) v=v ( x, y, z, t) 二元（平面）流動(dòng)二元（平面）流動(dòng): : 運(yùn)動(dòng)要素為兩個(gè)方向坐標(biāo)的函數(shù)運(yùn)動(dòng)要素為兩個(gè)方向坐標(biāo)的函數(shù) v=v ( x, y, t) 或或 v=v ( r, z, t) 一元流動(dòng)一元流動(dòng): :運(yùn)動(dòng)要素為一個(gè)方向坐標(biāo)的函數(shù)運(yùn)動(dòng)要素為一個(gè)方向坐標(biāo)的函數(shù) v=v( x ) 或或 v=v ( s )什么是一元，二元與三元流動(dòng)什么是一元，二元與三元流動(dòng)常用的流動(dòng)簡(jiǎn)化形式：常用的流動(dòng)簡(jiǎn)化形式：(1) (1) 二元流動(dòng)二元流動(dòng): :平面流動(dòng)和軸對(duì)稱流動(dòng)。平面流動(dòng)和軸對(duì)稱流動(dòng)。(2)

2、(2) 一元流動(dòng)：一元流動(dòng)： 質(zhì)點(diǎn)沿曲線的流動(dòng)質(zhì)點(diǎn)沿曲線的流動(dòng) v v= =v v ( ( s s ) )流體沿管道的平均速度流體沿管道的平均速度 v v= =v v ( ( s s ) )3/45第三章第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)（F Fluid Kinematics）流體運(yùn)動(dòng)學(xué)（kinematics）：研究流體運(yùn)動(dòng)的方式和速度、加速度、位移、轉(zhuǎn)角等參量隨空間和時(shí)間的變化；流體運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究流場(chǎng)中各個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律，以及這些運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系等問(wèn)題。由于這些問(wèn)題并不涉及這些運(yùn)動(dòng)參量與力之間的關(guān)系，因此流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的結(jié)論對(duì)于理想流體和實(shí)際流體均適用。流體動(dòng)力學(xué)(dynamics)：研究引起運(yùn)

3、動(dòng)的原因和決定作用力、力矩、動(dòng)量和能量的方法。內(nèi)容第一節(jié)第一節(jié) 流體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日(Lagrange)描述和歐拉(Euler)描述第二節(jié)第二節(jié) 速度場(chǎng)(velocity field)與加速度場(chǎng)(acceleration field)第三節(jié)第三節(jié) 無(wú)窮小(infinitesimal)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)第四節(jié)第四節(jié) 有旋流動(dòng)(rotational flow)描述方法描述方法拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法質(zhì)點(diǎn)軌跡質(zhì)點(diǎn)軌跡：)(a,b,c,tr rr r參數(shù)分布參數(shù)分布：B B = = B B（x, y, z,tx, y, z,t） 3-1 3-1 流體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日描述和歐拉描述流體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日描

4、述和歐拉描述 流體的運(yùn)動(dòng)可以看成充滿一定空間的眾多流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的組合。研究流體的流動(dòng)，就是研究流場(chǎng)中流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)的分布規(guī)律，其描述方法一般分為以下兩種：特點(diǎn)：跟著選定的流體質(zhì)點(diǎn)，觀察它的位移，又稱為“跟蹤法”。定義：把流體質(zhì)點(diǎn)（分子微團(tuán)）作為研究對(duì)象，研究各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，然后通過(guò)綜合所有被研究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)獲得整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，這種方法叫做拉格朗日法。實(shí)質(zhì)是一種質(zhì)點(diǎn)系法。一、拉格朗日描述一、拉格朗日描述 用拉格朗日法描述流體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)不是獨(dú)立變量，而是起始坐標(biāo)X、Y、Z和時(shí)間變量t 的函數(shù)即 式中X，Y，Z，t 統(tǒng)稱為拉格朗日變量，不同的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的起始坐標(biāo)不同。tZ

5、YXzztZYXyytZYXxx,或),(tZYXrr 固定X,Y,Z而令t改變，上式描述的是 初始時(shí)刻位于（ X,Y,Z)處的這一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所處的位置；固定t而令X,Y,Z改變，上式描述的是t時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)在空間中的位置（分布）。一、拉格朗日描述一、拉格朗日描述流體質(zhì)點(diǎn)的壓力和密度表示為),(),(tZYXtZYXpp 用拉格朗日法分析流體運(yùn)動(dòng)，在數(shù)學(xué)上將會(huì)遇到困難。而且在實(shí)際工程問(wèn)題中，需要了解的是流動(dòng)參數(shù)在空間的分布規(guī)律，一般不需要了解流體質(zhì)點(diǎn)詳細(xì)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。所以除少數(shù)情況外（如研究波浪運(yùn)動(dòng)），在流體運(yùn)動(dòng)中多采用歐拉描述。一、拉格朗日描述一、拉格朗日描述定義：不研究各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)

6、動(dòng)過(guò)程，而著眼于流場(chǎng)（充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間）中的空間點(diǎn)，即通過(guò)觀察質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)每個(gè)空間點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化的規(guī)律，把足夠多的空間點(diǎn)綜合起來(lái)而得出整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，這種方法叫做歐拉法（流場(chǎng)法）。描述在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意給定空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。描述在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意給定空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 用歐拉法描述流體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)要素是空間坐標(biāo)x，y，z和時(shí)間變量t的連續(xù)可微函數(shù)。x，y，z，t 稱為歐拉變量， t時(shí)刻（ x，y，z ）處的速度場(chǎng)表示為：),(tzyxuu ),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx或二二、歐拉描述歐拉描述壓力場(chǎng)、密度場(chǎng)和溫度場(chǎng)表示為：壓力場(chǎng)、密度場(chǎng)和溫度場(chǎng)表示

7、為：tzyxTTtzyxtzyxpp,固定固定x, ,y, ,z而令而令t改變，各函數(shù)代表：改變，各函數(shù)代表：空間中某固定點(diǎn)上各物理量隨時(shí)間的變化規(guī)律空間中某固定點(diǎn)上各物理量隨時(shí)間的變化規(guī)律。固定固定t而令而令 x, ,y, ,z改變，各函數(shù)代表：改變，各函數(shù)代表：某時(shí)刻各物理量在空間中的分布規(guī)律某時(shí)刻各物理量在空間中的分布規(guī)律。二二、歐拉描述歐拉描述三、三、拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)化拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)化（A）由拉格朗日法到歐拉法的轉(zhuǎn)化）由拉格朗日法到歐拉法的轉(zhuǎn)化旺例旺例3.4 以拉格朗日變數(shù)（以拉格朗日變數(shù)（a,b,c）給出流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：）給出流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：tttcezbeyaex,2

8、試求：用歐拉方法描述該流動(dòng)的速度場(chǎng)是怎樣的。試求：用歐拉方法描述該流動(dòng)的速度場(chǎng)是怎樣的。tttzecyebxea,2（A）由拉格朗日法到歐拉法的轉(zhuǎn)化思路）由拉格朗日法到歐拉法的轉(zhuǎn)化思路, , , ,xx X Y Z tyy X Y Z tzz X Y Z t123, , , , , , ,Xfx y z tYfx y z tZfx y z t, , , , , , ,xx X Y Z tyy X Y Z tzz X Y Z t三、三、拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)化拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)化三、三、拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)化拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)化（B）由歐拉法到拉格朗日法的轉(zhuǎn)化（汪）由歐拉法到拉格朗日法

9、的轉(zhuǎn)化（汪48頁(yè)頁(yè)3.2） 一速度場(chǎng)用一速度場(chǎng)用 描述，求矢徑表示式描述，求矢徑表示式 ，再由此求加速度場(chǎng)的拉格朗日描述。，再由此求加速度場(chǎng)的拉格朗日描述。tzvtyvtxvzyx13,12,1),(tcbarr 33221)1()1(1tCztCytCx00 ttcZCbYCaXC321kctj bti attcbar32)1 ()1 (1),(kctj bdtrd)1 (6222積分（B）由歐拉法到拉格朗日法的轉(zhuǎn)化思路）由歐拉法到拉格朗日法的轉(zhuǎn)化思路 , , , , , , ,xxyyzzdxx y z tdtdyx y z tdtdzx y z tdt112321233123, , xf

10、c c c tyfc c c tzfc c c t, , , , , , ,xx X Y Z tyy X Y Z tzz X Y Z t積分積分110220330, , , , , , , ,cfX Y Z tcfX Y Z tcfX Y Z t0 t tx Xy Yz Z三、三、拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)化拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)化 拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡不能直接反映參數(shù)的空間分布不能直接反映參數(shù)的空間分布拉格朗日觀點(diǎn)是重要的拉格朗日觀點(diǎn)是重要的同時(shí)描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)參數(shù)同時(shí)描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)參數(shù)直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布流

11、體力學(xué)最常用的解析方法流體力學(xué)最常用的解析方法四四 拉格朗日法和歐拉法的比較拉格朗日法和歐拉法的比較 研究流體流動(dòng)的拉格朗日描述法和歐拉描述法的差別，研究流體流動(dòng)的拉格朗日描述法和歐拉描述法的差別，可以通過(guò)以下研究鳥(niǎo)類遷徙的生態(tài)學(xué)家的不同觀察方法來(lái)加可以通過(guò)以下研究鳥(niǎo)類遷徙的生態(tài)學(xué)家的不同觀察方法來(lái)加以對(duì)比。每年冬季到來(lái)之前，成千上萬(wàn)只鳥(niǎo)從北方飛向南方，以對(duì)比。每年冬季到來(lái)之前，成千上萬(wàn)只鳥(niǎo)從北方飛向南方，一部分生態(tài)學(xué)家一部分生態(tài)學(xué)家在一些特定的候鳥(niǎo)腳上，綁上無(wú)線電發(fā)射器，在一些特定的候鳥(niǎo)腳上，綁上無(wú)線電發(fā)射器，通過(guò)接受無(wú)線電信號(hào)了解這些候鳥(niǎo)的飛行信息通過(guò)接受無(wú)線電信號(hào)了解這些候鳥(niǎo)的飛行信息，

12、這相應(yīng)，這相應(yīng)于于 。另一部分生態(tài)學(xué)家等候。另一部分生態(tài)學(xué)家等候在候鳥(niǎo)途經(jīng)的某些在候鳥(niǎo)途經(jīng)的某些特定位置，測(cè)量候鳥(niǎo)通過(guò)這些特定位置時(shí)的飛行速率特定位置，測(cè)量候鳥(niǎo)通過(guò)這些特定位置時(shí)的飛行速率，這相，這相應(yīng)于應(yīng)于 。 歐拉法和拉格朗日法測(cè)量流體流動(dòng)參數(shù)的方法也是不同歐拉法和拉格朗日法測(cè)量流體流動(dòng)參數(shù)的方法也是不同的。若的。若在流體中放入示蹤顆粒在流體中放入示蹤顆粒，測(cè)量跟隨流體質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)，測(cè)量跟隨流體質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)的示蹤顆粒在流場(chǎng)中各處的參數(shù)，這種測(cè)量方法與的示蹤顆粒在流場(chǎng)中各處的參數(shù)，這種測(cè)量方法與 相相一致。若將一致。若將測(cè)量探頭固定在流場(chǎng)中的某一空間點(diǎn)測(cè)量探頭固定在流場(chǎng)中的某一空間點(diǎn)，測(cè)量不

13、同，測(cè)量不同流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)改點(diǎn)的參數(shù)，則與流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)改點(diǎn)的參數(shù)，則與 相一致。相一致。 拉格朗日法拉格朗日法歐拉描述法歐拉描述法歐拉描述法歐拉描述法 拉格朗日法拉格朗日法辨析辨析3-2 3-2 速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)（歐拉描述下）速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)（歐拉描述下）一、速度場(chǎng)：一、速度場(chǎng)：速度矢量的集合。任意瞬間，在流體流動(dòng)的任一空間上，速度矢量都有確定的大小和方向?？蓪?xiě)成其標(biāo)量分量為),(tr( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzx y z tx y z tx y z t二、加速度場(chǎng)二、加速度場(chǎng)dtdakjizyxdvdvdvd( , , , )( , , , )( , ,

14、, )xxyyzzx y z tx y z tx y z tdzzdyydxxdttdxxxxxdzzdyydxxdttdyyyyydzzdyydxxdttdzzzzzdtdzzdtdyydtdxxtdtdaxxxxxxdtdzzdtdyydtdxxtdtdayyyyyydtdxzdtdyydtdxxtdtdazzzzzzzyxtdtdayzyyyxyyyzyxtdtdazzzyzxzzzzyxtdtdaxzxyxxxxxzyxtdtdayzyyyxyyyzyxtdtdazzzyzxzzzzyxtdtdaxzxyxxxxxzvvyvvxvvtvazyx哈密頓算子kzjyix且有矢量運(yùn)算公式zv

15、vyvvxvvvvzyx可得到質(zhì)點(diǎn)P的加速度vvtvtvzvvyvvxvazyxvvvtvtvzvvyvvxvazyxv)(vv tv 由上式可見(jiàn)，在歐拉法中，流體質(zhì)點(diǎn)的加速度包括兩部由上式可見(jiàn)，在歐拉法中，流體質(zhì)點(diǎn)的加速度包括兩部分，一部分是分，一部分是隨時(shí)間隨時(shí)間的變化率的變化率 ，另一部分是，另一部分是隨空間隨空間位置位置的變化率的變化率 。加速度是速度場(chǎng)的隨體導(dǎo)數(shù)。加速度是速度場(chǎng)的隨體導(dǎo)數(shù)。加速度加速度=當(dāng)?shù)丶铀俣龋ň植考铀俣?、時(shí)變導(dǎo)數(shù)）當(dāng)?shù)丶铀俣龋ň植考铀俣?、時(shí)變導(dǎo)數(shù)）+遷移加速度（位變導(dǎo)數(shù)）遷移加速度（位變導(dǎo)數(shù)）加速度在空間坐標(biāo)加速度在空間坐標(biāo)x，y，z方向的分量為方向的分量為zu

16、uyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx 當(dāng)?shù)丶铀俣犬?dāng)?shù)丶铀俣? :反映流場(chǎng)的不定常性反映流場(chǎng)的不定常性遷移加速度遷移加速度: :反映流場(chǎng)的不均勻性反映流場(chǎng)的不均勻性穩(wěn)定場(chǎng)，定常場(chǎng)均勻場(chǎng)當(dāng)?shù)丶铀佼?dāng)?shù)丶铀俣葹槎葹?遷移加速遷移加速度為度為0水頭水頭H H不隨時(shí)間變化時(shí)，不隨時(shí)間變化時(shí)，A A、B B、C C、D D各點(diǎn)速度不隨時(shí)間變化，各點(diǎn)速度不隨時(shí)間變化，各點(diǎn)當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?。但是由于管道錐管部分的截面積沿流各點(diǎn)當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?。但是由于管道錐管部分的截面積沿流動(dòng)方向減小，流速沿流動(dòng)方向逐漸增

17、大，使流體質(zhì)點(diǎn)在由動(dòng)方向減小，流速沿流動(dòng)方向逐漸增大，使流體質(zhì)點(diǎn)在由C C點(diǎn)向點(diǎn)向D D點(diǎn)移動(dòng)時(shí)產(chǎn)生遷移加速度。點(diǎn)移動(dòng)時(shí)產(chǎn)生遷移加速度。水頭水頭H H隨時(shí)間變化，管路中各點(diǎn)的流速將隨時(shí)間發(fā)生變化，產(chǎn)隨時(shí)間變化，管路中各點(diǎn)的流速將隨時(shí)間發(fā)生變化，產(chǎn)生當(dāng)?shù)丶铀俣?。生?dāng)?shù)丶铀俣?。例題：給定速度分布例題：給定速度分布 ， ， ，求求t=0時(shí)的時(shí)的 加速度分布加速度分布 。xvxtyvyt 0zv 解解：（：（1 1）根據(jù)歐拉方法，各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)為：）根據(jù)歐拉方法，各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)為：1xvt1xvx1yvt 1yvy ，其余各項(xiàng)的偏導(dǎo)數(shù)為零，所以加速度分布為：其余各項(xiàng)的偏導(dǎo)數(shù)為零，所以加速度分布為：1xax t

18、 1yayt 0za （2 2）根據(jù)拉格朗日方法：）根據(jù)拉格朗日方法：111xxxdvdxavxtdtdt 111yyydvdyavytdtdt 0za 0t 時(shí)刻的加速度分布為：時(shí)刻的加速度分布為：1xax1yay0za 從上面的例題可以看出，采用拉格朗日法計(jì)算加速度和采從上面的例題可以看出，采用拉格朗日法計(jì)算加速度和采用歐拉法計(jì)算加速度得出的結(jié)果是完全相同的。用歐拉法計(jì)算加速度得出的結(jié)果是完全相同的。1.1.用歐拉法描述流體質(zhì)點(diǎn)沿用歐拉法描述流體質(zhì)點(diǎn)沿x x方向的加速度為方向的加速度為（）（）.xuAt .xxxuuButx .xxxxyzuuuC uuuxyz .xxxxxyzuuuuD

19、uuutxyz D2.2.歐拉法研究歐拉法研究_的變化情況的變化情況 (A) (A) 每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度 (B) (B) 每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的軌跡每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的軌跡 (C) (C) 流經(jīng)每個(gè)空間點(diǎn)的流速流經(jīng)每個(gè)空間點(diǎn)的流速 (D) (D) 流經(jīng)每個(gè)空間點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)軌跡流經(jīng)每個(gè)空間點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)軌跡3.3.什么叫時(shí)變（當(dāng)?shù)兀┘铀俣?，什么叫位變（遷移）加速度什么叫時(shí)變（當(dāng)?shù)兀┘铀俣?，什么叫位變（遷移）加速度？答：通過(guò)空間固定點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化率稱為當(dāng)答：通過(guò)空間固定點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化率稱為當(dāng)?shù)丶铀俣?；流體質(zhì)點(diǎn)所在的空間位置的變化而引起的速度變地加速度；流體質(zhì)點(diǎn)所在的空間位置的變化而引起的速度

20、變化率稱為遷移加速度?；史Q為遷移加速度。C4.4.用解析法分析液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本方法有哪兩種？我們常用解析法分析液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本方法有哪兩種？我們常采用哪種方法？為什么？采用哪種方法？為什么？答：有拉格朗日法和歐拉法兩種基本方法。我們常采用歐拉答：有拉格朗日法和歐拉法兩種基本方法。我們常采用歐拉法，因?yàn)橛美窭嗜辗ㄐ枰私飧髁黧w質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的歷史情況法，因?yàn)橛美窭嗜辗ㄐ枰私飧髁黧w質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的歷史情況，這在數(shù)學(xué)上會(huì)遇到很多困難，而且分析流體運(yùn)動(dòng)往往只需，這在數(shù)學(xué)上會(huì)遇到很多困難，而且分析流體運(yùn)動(dòng)往往只需要了解流動(dòng)空間中各運(yùn)動(dòng)要素之間的關(guān)系，沒(méi)有必要弄清楚要了解流動(dòng)空間中各運(yùn)動(dòng)要素之間的關(guān)系，沒(méi)

21、有必要弄清楚逐個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，故常用歐拉法。逐個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，故常用歐拉法。 表示的是質(zhì)點(diǎn)的對(duì)時(shí)間的變化率，它包括當(dāng)?shù)丶铀俦硎镜氖琴|(zhì)點(diǎn)的對(duì)時(shí)間的變化率，它包括當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度兩部分。而度和遷移加速度兩部分。而 僅代表當(dāng)?shù)丶铀俣?。僅代表當(dāng)?shù)丶铀俣?。tu dtdu0 tu 這意味著當(dāng)?shù)丶铀俣葹檫@意味著當(dāng)?shù)丶铀俣葹?，并不是全導(dǎo)數(shù)，并不是全導(dǎo)數(shù)0 dtdu 與與 的區(qū)別的區(qū)別dtdutu 定義：定義：用用歐拉法歐拉法形象地對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行幾何形象地對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行幾何描述，引進(jìn)了流線的概念。描述，引進(jìn)了流線的概念。某一瞬時(shí)某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中繪出的曲線，在流場(chǎng)中繪出的曲線，在這條曲線上所有質(zhì)點(diǎn)的速度矢在這

22、條曲線上所有質(zhì)點(diǎn)的速度矢量都和該曲線相切，此曲線稱為量都和該曲線相切，此曲線稱為流線。流線。流線流線三三 流線流線流線的性質(zhì)流線的性質(zhì)(1)(1)因?yàn)樵诳臻g每點(diǎn)只能有一個(gè)速度方向，所以流線因?yàn)樵诳臻g每點(diǎn)只能有一個(gè)速度方向，所以流線不能不能相交相交。另外，由于流體是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動(dòng)要素在空間是。另外，由于流體是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動(dòng)要素在空間是連續(xù)的，流線連續(xù)的，流線不可能轉(zhuǎn)折不可能轉(zhuǎn)折，只能是光滑曲線。，只能是光滑曲線。(2)(2)對(duì)于不穩(wěn)定流，經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的流線其空間方位和形狀對(duì)于不穩(wěn)定流，經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的流線其空間方位和形狀是隨時(shí)間改變的。是隨時(shí)間改變的。(3)(3)由于穩(wěn)定流動(dòng)的速度分布與時(shí)間無(wú)關(guān)，

23、所以流線的形由于穩(wěn)定流動(dòng)的速度分布與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化。同時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)只能沿著流線運(yùn)動(dòng)，狀和位置不隨時(shí)間變化。同時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)只能沿著流線運(yùn)動(dòng)，否則將會(huì)有一個(gè)與流線相垂直的速度分量。所以穩(wěn)定流動(dòng)否則將會(huì)有一個(gè)與流線相垂直的速度分量。所以穩(wěn)定流動(dòng)的跡線與流線重合。的跡線與流線重合。 (5)(5)在流場(chǎng)中，過(guò)每一空間點(diǎn)都有一條流在流場(chǎng)中，過(guò)每一空間點(diǎn)都有一條流線，所有流線構(gòu)成流線簇。由流線簇構(gòu)成線，所有流線構(gòu)成流線簇。由流線簇構(gòu)成流譜。流譜不僅能反映速度的方向，而且流譜。流譜不僅能反映速度的方向，而且能反映流速的大小。能反映流速的大小。(4)(4)不穩(wěn)定流動(dòng)包含兩方面的含義：大小

24、或方向隨時(shí)間變化。不穩(wěn)定流動(dòng)包含兩方面的含義：大小或方向隨時(shí)間變化。不穩(wěn)定流不穩(wěn)定流速度大小改變速度大小改變速度方向改變速度方向改變流線的形狀和位置不隨時(shí)間流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化，跡線與流線重合。變化，跡線與流線重合。流線的形狀和位置隨時(shí)間變流線的形狀和位置隨時(shí)間變化，跡線不與流線重合?；E線不與流線重合?；疖嚨倪\(yùn)行軌跡是跡線，而不論火車是否變速，其速度總與火車的運(yùn)行軌跡是跡線，而不論火車是否變速，其速度總與鐵軌相切，因此鐵軌為流線，跡線與流線重合。鐵軌相切，因此鐵軌為流線，跡線與流線重合。 流線的性質(zhì)流線的性質(zhì)流線方程流線方程 設(shè)流線上一點(diǎn)的速度矢量為設(shè)流線上一點(diǎn)的速度矢量為u, ,

25、流線上的微元線段矢量流線上的微元線段矢量dr0 rdu由流線定義，矢量表示的微分方程為由流線定義，矢量表示的微分方程為 tzyxudztzyxudytzyxudxzyx, 在直角坐標(biāo)系中，依矢量運(yùn)算法則可知在直角坐標(biāo)系中，依矢量運(yùn)算法則可知u與與dr成比例，即成比例，即式中的式中的t代表的是同一瞬時(shí)，是參變量。代表的是同一瞬時(shí)，是參變量。( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t拉格朗日法跡線的參數(shù)方程 歐拉方程出發(fā)推導(dǎo)跡線方程 四四 跡線跡線 是指是指某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間內(nèi)某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，的運(yùn)動(dòng)軌跡， 它描

26、述流場(chǎng)中它描述流場(chǎng)中定義：定義： 同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。),(),(),(tzyxutztzyxutytzyxutxzyxdddddddttzyxudztzyxudytzyxudxzyx ),(),(),(式中的式中的 代表的是不同瞬時(shí)，代表的是不同瞬時(shí)，t是自變量。是自變量。當(dāng)流動(dòng)為穩(wěn)定流時(shí)，消去當(dāng)流動(dòng)為穩(wěn)定流時(shí)，消去t便可得到跡線方程。便可得到跡線方程。跡線的微分方程也可寫(xiě)為：跡線的微分方程也可寫(xiě)為：dt例例3-1 3-1 給定一流場(chǎng)，速度為給定一流場(chǎng)，速度為 且在初且在初始時(shí)刻始時(shí)刻 時(shí)，有時(shí)，有 ，求，求 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的跡線方程。跡線方程。 0t),

27、(),(000cbazyx),(cba, 0,2zyxvyxvyxv解法一解法一解：因解：因 式中式中x，y都是都是t的函數(shù)，不能直接積分，的函數(shù)，不能直接積分，但但yxdtdx2/ xyxyxvudtdydtdxdtxd )(2)2(2222 上式是二階齊次線性微分方程上式是二階齊次線性微分方程 , ,其特征方程其特征方程為為 ，其根，其根 是一對(duì)共軛復(fù)根，所以通解為是一對(duì)共軛復(fù)根，所以通解為 0 qyypy012 rir tctcxsincos21 yxdtdxvx2tcctccdtdxxysin)(21cos)(21)(212121由由 ，得，得由由 得得, 0dtdzvz3cz 0t)

28、,(),(000cbazyx又又 時(shí)，時(shí)， ，則，則 ccbacac321,2,則跡線方程為則跡線方程為cztbatbytbatax,sin)(cos,sin)2(cos0/ wdtdz由由 可得可得3cz 由由 可得可得),(),(0cbazyxt ccbacac3212 cztbatbytbataxsin)(cossin)2(cos222222)()2(cos,22sinbabaxbayabtbababxayt 22222222221cossinbabayxyxtt 整理得整理得或者或者 由速度場(chǎng)可知，該流動(dòng)為穩(wěn)定流動(dòng)，流線與跡線重合。由速度場(chǎng)可知，該流動(dòng)為穩(wěn)定流動(dòng)，流線與跡線重合。因此求

29、得流線方程即可知跡線方程。因此求得流線方程即可知跡線方程。vdyudx yxdyyxdx 2cxyyxxydydxdydxxdyydyxdx 22)()()2(222222222babac 22222222babayxyx yxvyxu ,2由由初始時(shí)刻位于初始時(shí)刻位于 ，所以，所以),(cba解法二解法二例例3-2 有一二元流動(dòng)流場(chǎng)，速度場(chǎng)為有一二元流動(dòng)流場(chǎng)，速度場(chǎng)為) 1(, ytutxuyx) 1(, ytdtdyxtdtdx2/22/1221,ttecyecx cyx ) 1(求其跡線和流線求其跡線和流線解解:(1)由跡線微分方程由跡線微分方程積分得積分得x與與y+1相乘可得相乘可得c

30、yx ) 1( 流動(dòng)的跡線方程和流線重合。流動(dòng)的跡線方程和流線重合。) 1( ytdytxdx(2)由流線微分方程由流線微分方程積分可得積分可得定義：定義：由于流線不能相交，所以各個(gè)時(shí)刻，由于流線不能相交，所以各個(gè)時(shí)刻，1 1、流管、流管在流場(chǎng)中取任意封閉曲線在流場(chǎng)中取任意封閉曲線c c，經(jīng)過(guò)曲線，經(jīng)過(guò)曲線c c的每一點(diǎn)的每一點(diǎn)作流線，由這些流線所圍成的管稱為流管。作流線，由這些流線所圍成的管稱為流管。c c五五 流管、流束和總流流管、流束和總流流體質(zhì)點(diǎn)只能在流管內(nèi)部或沿流體流體質(zhì)點(diǎn)只能在流管內(nèi)部或沿流體表面流動(dòng)表面流動(dòng)，而不能穿越流管而不能穿越流管；穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)流管的形狀是和位置都穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)流

31、管的形狀是和位置都不隨時(shí)間變化，流管與固體管壁相不隨時(shí)間變化，流管與固體管壁相似，所不同的是流管有流線組成，似，所不同的是流管有流線組成，而管壁由固體組成；非穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)而管壁由固體組成；非穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，流管的形狀有可能隨時(shí)間變化。，流管的形狀有可能隨時(shí)間變化。2 2 流束流束無(wú)數(shù)微小流束的總和稱為總流。無(wú)數(shù)微小流束的總和稱為總流。 定義：定義： 1A2A1dA2dA 流束和總流流束和總流流管內(nèi)所有流線的總和稱為流束。流管內(nèi)所有流線的總和稱為流束。流線流線流束流束總流總流斷面無(wú)窮小的流束稱為微小流束，斷面無(wú)窮小的流束稱為微小流束，如圖中斷面為如圖中斷面為21,dAdA的流束。的流束。1 1在同一瞬

32、時(shí)，位于流線上各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向總是在同一瞬時(shí)，位于流線上各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向總是在該點(diǎn)，與此流線（）在該點(diǎn)，與此流線（）A A相切相切 B B重合重合 C C平行平行 D D相交相交A A2.2.實(shí)際水流中存在流線嗎？引入流線概念的意義何在？實(shí)際水流中存在流線嗎？引入流線概念的意義何在？答：不存在。引入流線概念是為了便于分析流體的流動(dòng)，確答：不存在。引入流線概念是為了便于分析流體的流動(dòng)，確定流體流動(dòng)趨勢(shì)。定流體流動(dòng)趨勢(shì)。六 向量場(chǎng)的通量和散度物理量的散度可用來(lái)判別向量場(chǎng)是否有源。物理量的散度可用來(lái)判別向量場(chǎng)是否有源。dSSLna通量：通量：在向量場(chǎng)在向量場(chǎng)a中曲面中曲面S的法向量為的法

33、向量為n，則，則SnSSSaSQddnadSa稱為向量稱為向量a通過(guò)曲面通過(guò)曲面S的通量。若的通量。若a為流速為流速v，Q流量。流量。Q Q 0 ( (有正源有正源) )Q Q 0 ( (有負(fù)源有負(fù)源) )Q Q=0 無(wú)源或正負(fù)源抵消無(wú)源或正負(fù)源抵消S 為閉合曲面，可根據(jù)凈通量為閉合曲面，可根據(jù)凈通量 的大小判斷閉合面的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)中源的性質(zhì):SSQdna散度散度(divergence) : :包圍點(diǎn)包圍點(diǎn)M M的閉合曲面的閉合曲面 S S所圍體積所圍體積 V V以任意以任意方式縮向點(diǎn)方式縮向點(diǎn)M M時(shí)時(shí), , 通量與體積之比的極限。通量與體積之比的極限。SanMVVdivSVSa

34、adlim0VzayaxaSVzyxSa dlim0aazayaxadivzyx旋度的物理意義旋度的物理意義 旋度表示向量場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的分布特性旋度表示向量場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的分布特性 向量的旋度向量的旋度a仍為向量，是空間點(diǎn)的函數(shù)；仍為向量，是空間點(diǎn)的函數(shù)； 向量場(chǎng)中，若向量場(chǎng)中，若a=a= 0,0,稱之為有稱之為有旋場(chǎng)旋場(chǎng)( (旋渦場(chǎng)旋渦場(chǎng)) )，為為旋度旋度源源( (渦強(qiáng)渦強(qiáng)) )； 向量場(chǎng)中，若處處向量場(chǎng)中，若處處a=0a=0，稱之為無(wú)，稱之為無(wú)旋場(chǎng)。旋場(chǎng)。七 旋度（rotation）kjiayaxaxazazayarotxyzxyzakjizyxaaazyx1 1、 有效斷面有效斷面 當(dāng)組成流束的所有流線互相平行時(shí)，有效斷面是平面；當(dāng)組成流束的所有流線互相平行時(shí)，有效斷面是平面；否則，有效斷面是曲面。否則，有效斷面是曲面。與流束中所有流線正交的橫斷面稱為有效斷面。與流束中所有流線正交的橫斷面稱為有效斷面。定義：定義：補(bǔ)