《復(fù)變函數(shù)》考試試題(一)解讀

1、復(fù)變函數(shù)考試試題（一）一、 判斷題（20分）：1.若f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函數(shù)必在整個復(fù)平面為常數(shù). ( ) 3.若收斂，則與都收斂. ( ) 4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（常數(shù)）. ( ) 5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù). ( ) 6.若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點. ( ) 7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點. ( ) 8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則. ( ) 9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.( ) 10.若函數(shù)f(z)

2、在區(qū)域D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）二.填空題（20分）1、 _.（為自然數(shù)）2. _.3.函數(shù)的周期為_.4.設(shè)，則的孤立奇點有_.5.冪級數(shù)的收斂半徑為_.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是_.7.若，則_.8._，其中n為自然數(shù).9. 的孤立奇點為_ .10.若是的極點，則.三.計算題（40分）：1. 設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.2. 3. 設(shè)，其中，試求4. 求復(fù)數(shù)的實部與虛部.四. 證明題.(20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支, 并求出支割線上岸取正

3、值的那支在的值.復(fù)變函數(shù)考試試題（二）一. 判斷題.（20分）1. 若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù).( )2. cos z與sin z在復(fù)平面內(nèi)有界. ( )3. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù). ( )4. 有界整函數(shù)必為常數(shù). ( ) 5. 如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則一定不存在. ( )6. 若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.( )8. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( )9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析. ( )10. 存在一個在零

4、點解析的函數(shù)f(z)使且. ( )二. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則2.設(shè)，則_.3. _.（為自然數(shù)） 4. 冪級數(shù)的收斂半徑為_ .5. 若z0是f(z)的m階零點且m0，則z0是的_零點.6. 函數(shù)ez的周期為_. 7. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.8. 設(shè)，則的孤立奇點有_.9. 函數(shù)的不解析點之集為_.10. .三. 計算題. (40分)1. 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2. 在復(fù)平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.3. 計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4. 求 .四. 證明題.

5、(20分)1. 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.復(fù)變函數(shù)考試試題（三）一. 判斷題. (20分).1. cos z與sin z的周期均為. ( )2. 若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件, 則f(z)在z0解析. ( )3. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 4. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( )5. 若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù). ( )6. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo). ( )7. 如果函數(shù)f

6、(z)在上解析,且,則. （ ）8. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù). ( )9. 若z0是的m階零點, 則z0是1/的m階極點. ( )10. 若是的可去奇點，則. ( )二. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則f(z)的定義域為_.2. 函數(shù)ez的周期為_.3. 若，則_.4. _.5. _.（為自然數(shù)）6. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.7. 設(shè)，則f(z)的孤立奇點有_.8. 設(shè)，則.9. 若是的極點，則.10. .三. 計算題. (40分)1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2. 試求冪級數(shù)的收斂半徑.3. 算下列積分：，其中是. 4. 求在|z|

7、1內(nèi)根的個數(shù).四. 證明題. (20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當(dāng)時，證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)。復(fù)變函數(shù)考試試題（四）一. 判斷題. (20分)1. 若f(z)在z0解析，則f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件. （ ）2. 若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析. （ ）3. 函數(shù)與在整個復(fù)平面內(nèi)有界. （ ）4. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有.（ ）5. 若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點. （ ）6. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且

8、，則f(z)在D內(nèi)恒為常數(shù). （ ）7. 如果z0是f(z)的本性奇點，則一定不存在. （ ）8. 若，則為的n階零點. （ ）9. 若與在內(nèi)解析，且在內(nèi)一小弧段上相等，則. （ ）10. 若在內(nèi)解析，則. （ ）二. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則.2. 若，則_.3. 函數(shù)ez的周期為_.4. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_5. 若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是_.6. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_.7. 設(shè)，則.8. 的孤立奇點為_.9. 若是的極點，則.10. _.三. 計算題. (40分)1. 解方程.2. 設(shè)，求3. . 4. 函數(shù)有哪些

9、奇點？各屬何類型（若是極點，指明它的階數(shù)）.四. 證明題. (20分)1. 證明：若函數(shù)在上半平面解析，則函數(shù)在下半平面解析.2. 證明方程在內(nèi)僅有3個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（五）一. 判斷題.（20分）1. 若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù). （ ）2. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù). （ ）3. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析. （ ）4. 若冪級數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析. （ ）5. 若函數(shù)f(z)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z0解析

10、. （ ）6. 若存在且有限，則z0是f(z)的可去奇點. （ ）7. 若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則它在該點解析. （ ）8. 設(shè)函數(shù)在復(fù)平面上解析，若它有界，則必為常數(shù). （ ）9. 若是的一級極點，則. （ ）10. 若與在內(nèi)解析，且在內(nèi)一小弧段上相等，則. （ ）二. 填空題.（20分）1. 設(shè)，則.2. 當(dāng)時，為實數(shù).3. 設(shè)，則.4. 的周期為_.5. 設(shè)，則.6. .7. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_。8. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.9. 的孤立奇點為_.10. 設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)）三. 計算題. (40分)1. 求

11、復(fù)數(shù)的實部與虛部.2. 計算積分：，在這里L(fēng)表示連接原點到的直線段.3. 求積分：，其中0a1.4. 應(yīng)用儒歇定理求方程，在|z|1內(nèi)根的個數(shù)，在這里在上解析，并且.四. 證明題. (20分)1. 證明函數(shù)除去在外，處處不可微.2. 設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個數(shù)R及M，使得當(dāng)時，證明:是一個至多n次的多項式或一常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題（六）一、 判斷題（30分）：1. 若函數(shù)在解析，則在連續(xù). （ ）2. 若函數(shù)在處滿足Caychy-Riemann條件，則在解析. （ ）3. 若函數(shù)在解析，則在處滿足Caychy-Riemann條件. （ ）4. 若函數(shù)在是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則. （ ）5. 若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）6. 若在區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）7. 若，則函數(shù)在是內(nèi)的單葉函數(shù).（ ）8. 若是的階零點，則是的階極點.（ ）9. 如果函數(shù)在上解析，且,則.（ ）10. .（ ）二、 填空題（20分）1. 若，則_.2. 設(shè)，則的定義域為_.3. 函數(shù)的周期為_.4. _.5. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.6. 若是的階零點且，則是的_零點.7. 若函數(shù)在整個復(fù)平面處處