數(shù)值計(jì)算方法chap誤差PPT課件

1、模型誤差：實(shí)際問(wèn)題的解與數(shù)學(xué)模型的解之差.觀測(cè)誤差：由觀測(cè)所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題（模型） 中參量（數(shù)據(jù)）的誤差.截?cái)嗾`差：數(shù)學(xué)問(wèn)題的準(zhǔn)確解與數(shù)值方法所求 得的近似解之差. b)(a, )(12)()(2)()(311 fbfafabdxxfabIIRIIba舍入誤差：計(jì)算過(guò)程中對(duì)數(shù)字的舍取所產(chǎn)生的誤差.（計(jì)算機(jī)可以表示的數(shù)是有限的）第1頁(yè)/共35頁(yè)1.2.1絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值設(shè)設(shè)xx*xxe *xxe *xxx * xx或或:絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差:絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限:可可以以表表示示為為.:絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限不不唯唯一一注注1.2絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字第

2、2頁(yè)/共35頁(yè)例： 4 . 2 5 . 2 xx例：測(cè)得會(huì)議室的長(zhǎng)為30m寬為10m，長(zhǎng)的誤差不超過(guò)5cm, 寬的誤差不超過(guò)2cm, 如何表示？02. 010)( 05. 030)( 寬寬長(zhǎng)長(zhǎng)xy哪一個(gè)精度高？哪一個(gè)精度高？1 . 0e xx絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差：第3頁(yè)/共35頁(yè)相對(duì)誤差：*xexeer 相對(duì)誤差限： rer 兩種誤差限的關(guān)系：*xr rx * 002. 00016. 03005. 0)()(002. 01002. 0)()(* xyyxxxrr *2*2*1)()()(xexexexexxxxexexe 第4頁(yè)/共35頁(yè)1.2.2 有效數(shù)字位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則如果如果為

3、為為整數(shù)，為整數(shù)，其中其中表示成規(guī)范形式：表示成規(guī)范形式：一般地，將一般地，將nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121數(shù)字。數(shù)字。的所有數(shù)字均稱為有效的所有數(shù)字均稱為有效位小數(shù)位小數(shù)的第一位非零數(shù)字到第的第一位非零數(shù)字到第從從位小數(shù)，位小數(shù)，準(zhǔn)確到第準(zhǔn)確到第則稱則稱的絕對(duì)誤差限為的絕對(duì)誤差限為如果近似值如果近似值nxnxxn ,1021第5頁(yè)/共35頁(yè)例如005800. 0 1021005800. 0 . 1*6 xx表示近似值表示近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第6位，有4位有效數(shù)字.4*10.145204600461452 2 .x.具有7位有效數(shù)字，其誤差限374*1

4、0211021 xx準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到哪哪一一位位有有效效數(shù)數(shù)字字絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限 第6頁(yè)/共35頁(yè)有效數(shù)字和絕對(duì)誤差限的關(guān)系（準(zhǔn)確到哪一位）有效數(shù)字和絕對(duì)誤差限的關(guān)系（準(zhǔn)確到哪一位）位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則如果如果為為為整數(shù)，為整數(shù)，其中其中表示成規(guī)范形式：表示成規(guī)范形式：nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121;, 0;, 0;, 0,1021位位準(zhǔn)確到個(gè)位前的第準(zhǔn)確到個(gè)位前的第準(zhǔn)確到個(gè)位準(zhǔn)確到個(gè)位位位準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第若若nxnxnnxnxxn 4*1021)(,2376490 xx 且且例：例：.3*位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則x第7頁(yè)/

5、共35頁(yè)的相對(duì)誤差限滿足的相對(duì)誤差限滿足若若反之反之相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限為其為其則則位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有的近似值的近似值若若定理定理*11121*,1021,)0(10. 01 . 1xanaaaaxxnmn 1110) 1( 21 nra .*位有效數(shù)字位有效數(shù)字至少具有至少具有則則nx111*102110. 011021| nmnnmaaax mnmnraax 102110. 010)1(21|111 第8頁(yè)/共35頁(yè)1.3數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播1.3.1基本運(yùn)算中的誤差傳播的近似值，則的近似值，則為為處可微，處可微，在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)iinnxxxxxfxxxfy*2121),.,(),.,

6、( )().,( ).,().,()(*n1i*2*1*2*121*iinnnxexxxxfxxxfxxxfye )(),.,( ).,()()(*n1i*1*2*1*irniinrxexxfxxxxxfyyeye 第9頁(yè)/共35頁(yè)特別地，和、差、積、商的誤差公式為： )()()()()()(22121211212121xexxxxexxxxxexexexxerrr )()()()()()(2121211221xexexxexexxexxxerrr )()()()()(1)(212122211221xexexxexexxxexxxerrr第10頁(yè)/共35頁(yè) )()()()()()()()()(

7、212121212121xxxxxxxxxxxxrrrrrr 即和、差的絕對(duì)誤差限不超過(guò)各數(shù)的絕對(duì)誤差限之和，積、商的相對(duì)誤差極限不超過(guò)各數(shù)的相對(duì)誤差限之和.第11頁(yè)/共35頁(yè)1.3.2 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法：預(yù)先設(shè)計(jì)計(jì)算問(wèn)題近似解的運(yùn)算順序穩(wěn)定性：在按一個(gè)算法的計(jì)算過(guò)程中，數(shù)據(jù)誤差和舍入誤差在計(jì)算過(guò)程中不增長(zhǎng)，則稱算法是穩(wěn)定的；否則稱算法是數(shù)值不穩(wěn)定的.).,2, 1 ,0(5:10 ndxxxInn計(jì)算下列積分的近似值計(jì)算下列積分的近似值例例 10101111555ndxxdxxxxIInnnnn第12頁(yè)/共35頁(yè)算法*010018232155. 02 . 1ln51 IdxxI 取取).

8、, 2 , 1( 51 1 nInInn按公式按公式依次計(jì)算,21II近似值.nIInn151 第13頁(yè)/共35頁(yè)n(算法算法)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831*nI第14頁(yè)/共35頁(yè)估計(jì)估計(jì)nI0122222. 0)751901(21*14 I11100011116165551()

9、()nnnnxx dxIdxx dxnxn第15頁(yè)/共35頁(yè)算法 由于取 ) 1( 51) 1( 6121*nnIn按公式)1(511kkIkI )1 ,., 1,( nnk)., 2 , 1( 151 nnIInn計(jì)算0122222. 0)751901(21*14 I例如第16頁(yè)/共35頁(yè)n(算法算法)00.1823215510.0883922220.0580389230.0431387340.0343063350.0254683560.0243249170.0212326080.0188369990.01692617100.01536914110.01406339120.013016361

10、30.01184127140.01222222*nI0011. 0)901751(2114 01222222. 0)901751(21*14 I第17頁(yè)/共35頁(yè)0*00 eII 設(shè)設(shè)01*11*) 5(555eeIIIIennnnnnn nnkkeeee)51 ( ,51 01 分析什么原因：由算法)., 2 , 1( 511 nInInn對(duì)算法) 1, 1,( )1(511 nnkIkIkk第18頁(yè)/共35頁(yè) 關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法 一個(gè)程序往往要進(jìn)行大量的運(yùn)算才能得出結(jié)果，每一步的運(yùn)算都可能會(huì)產(chǎn)生舍入誤差。 在運(yùn)算過(guò)程中，舍入誤差能控制在某個(gè)范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法；否則，就稱之為

11、不穩(wěn)定的算法。第19頁(yè)/共35頁(yè)1.4數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問(wèn)題1.4.1. 避免兩個(gè)相近的數(shù)相減yxyexeyxer )()()(有效數(shù)字嚴(yán)重丟失。有效數(shù)字嚴(yán)重丟失。差很大差很大很接近時(shí)，差的相對(duì)誤很接近時(shí)，差的相對(duì)誤與與當(dāng)當(dāng)yx兩數(shù)之差x-y的相對(duì)誤差為第20頁(yè)/共35頁(yè)一般地， 當(dāng) x 充分大時(shí)，應(yīng)作變換：xxxx 111)1(1111 xxxx當(dāng)x接近零時(shí)，應(yīng)作變換xxxxxxcos1sinsincos1 ,2sin2cos12 第21頁(yè)/共35頁(yè) 例：如用四位有效數(shù)字計(jì)算: 結(jié)果只有一位有效數(shù)字;如改為: : 有四位有效數(shù)字。避免了兩個(gè)相近數(shù)的相減。.170130 0384048.170

12、1313 04130 04.11170130 0384013 041317013第22頁(yè)/共35頁(yè) 例：用四位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算解: : 只有一位有效數(shù)字, ,有效數(shù)字大量損失, ,造成相對(duì)誤差擴(kuò)大。結(jié)果仍然有四位有效數(shù)字。這說(shuō)明了算法設(shè)計(jì)的重要性。 117 5 97 6 0225110.1318 100.1316 100.2 107597605611110.1734 10759760759 7600.5768 10第23頁(yè)/共35頁(yè)1.4.2.1.4.2.避免大數(shù)避免大數(shù)“吃吃”小數(shù)小數(shù). . 計(jì)算機(jī)在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，首先要把參加運(yùn)算的數(shù)對(duì)階，即把兩數(shù)都寫(xiě)成絕對(duì)值小于1而階碼相同的數(shù)。 如 ，必須改寫(xiě)成

13、 如果計(jì)算機(jī)只能表示8 8位小數(shù)，則算 出 ，大數(shù)“吃”了小數(shù)。 這種情況有時(shí)允許，有時(shí)不允許。 9101a10100.1 100.0000000001 10a100.1 10a第24頁(yè)/共35頁(yè) 例如: : 被大數(shù)吃掉了。如按 , , 就沒(méi)有被吃掉。這也是構(gòu)造算法時(shí)要注意的問(wèn)題。1010,10, abca1010101010101010100abcb0acbbbb第25頁(yè)/共35頁(yè) 例:一元二次方程x2(109+1)x+109=0其精確解為 x1=109, x2=1。 如用求根公式: :和8 8位的計(jì)算機(jī)求解, ,有 及 ; ;則 的值與精確解差別很大。若用 因此, ,算法的選用很重要。21

14、,242bbacxa21891894104 101010 bac99101109999912( 10 )10( 10 )1010 ,022 xx2x292992422 1012( 10 ) 104 bbaccxabbac第26頁(yè)/共35頁(yè)1.4.3.1.4.3.避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值 , , 當(dāng) 時(shí), ,舍入誤差會(huì)擴(kuò)大。例: : 的舍入誤差均為 , ,而 , ,則的舍入誤差為: :很小的數(shù)作除數(shù)有時(shí)還會(huì)造成計(jì)算機(jī)的溢出而停機(jī)。 2xyyxxyy xy , x y30.510 *710yx xy 7311214100.510151010 xxxx 第

15、27頁(yè)/共35頁(yè)1.4.4.簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率例如 計(jì)算ln2的近似值，要求誤差不超過(guò)510 算法: 由 1111121234()lnnn 絕對(duì)誤差限11 n 由51011 n1105 n得nxxxxxnn 132) 1(.32)1ln( 第28頁(yè)/共35頁(yè)算法 129 ) 12(1.951931132311311ln2lnnn絕對(duì)誤差限899) 12(13291119) 12(132 nnnn 由510 5 n得224111ln2 (1)13521nxxxxxxn第29頁(yè)/共35頁(yè)又如計(jì)算n次多項(xiàng)式的值0111.)(axaxaxaxpnnnnn 再作線性組合再作線性組合先計(jì)算先計(jì)算,.,.32nxxxa需2n-1次乘法運(yùn)算，0121).)(.()(axaxaxaxaxpnnnn n次加法運(yùn)算，2n+1個(gè)存儲(chǔ)單元需n次乘法運(yùn)算，n次加法運(yùn)算，n+2個(gè)存儲(chǔ)單元按按秦秦九九韶韶算算法法. b第30頁(yè)/共35頁(yè)1.4.5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法.問(wèn)題：什么叫數(shù)值穩(wěn)定性好的算法？舍入誤差能控制在某個(gè)范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法,穩(wěn)定性好指的是誤差可控范圍可以很小。第31頁(yè)/共35頁(yè)介紹MATLAB matlab語(yǔ)言是由美國(guó)的Clever Moler博士于1980年開(kāi)發(fā)的 設(shè)計(jì)者的初衷是為解決“