線性代數(shù)測試試卷及答案

1、以上答案都不正確a22a33及A分別等于(A) 10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,84.設實二次型f(x1,x2)2 (X1,X2) 4X2的矩陣為A,那么()(A) A(B)(C)(D)線性代數(shù)(A卷)一、選擇題(每小題3分，共15分)1 .設A、B是任意n階方陣，那么下列等式必成立的是()(A) AB BA (B) (AB)2 A2B2 (C) (A B)2 A2 2AB B2 (D) A B B A2 .如果n元齊次線性方程組 AX 0有基礎解系并且基礎解系含有 s(s n)個解向量，那么矩陣A的秩為()(A) n (B) s (C) n s (D)3 .如果三階方陣A

2、 (aj )3 3的特征值為1,2,5,那么an5.若方陣A的行列式A 0,則()(A) A的行向量組和列向量組均線性相關 (B)A的行向量組線性相關，列向量組線性無關 (C) A的行向量組和列向量組均線性無關 (D)A的列向量組線性相關，行向量組線性無關 二、填空題(每小題3分，共30分)1如果行列式D有兩列的元對應成比例，那么該行列式等于 ;2.設A100210, A是A的伴隨矩陣，則(A )3413.設 ， 是非齊次線性方程組AX b的解，若也是它的解，那么4 .設向量 (1, 1,1)T與向量 (2,5, t)T正交，則t 5 .設A為正交矩陣，則A ;1116 .設a,b,c是互不相

3、同的三個數(shù)，則行列式abc2,22a b c7 .要使向量組 1 (1, ,1)T, 2 (1,2,3)T, 3 (1,0,1)T 線性相關，則 8 .三階可逆矩陣A的特征值分別為1, 2, 3,那么A 1的特征值分別為 ;9 .若二次型 f(xi,X2,X3)x2i x22 5x23 2txiX2-2xiX3 4x2X3 是正定的，則 t 的取值范圍 為；10 .設A為n階方陣，且滿足A2 2A 4I 0 ,這里I為n階單位矩陣，那么A 1.三、計算題(每小題9分，共27分)1 01.已知A0 1 ,求矩陣X使之滿足AX X B.0 012 3 4234 1一2.求行列式234 1的值.34

4、124 12 33求向量組(1,0,1,0), 2(2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4(4, 3,1, 3,)的一個最大無關組和秩.四、(10分)設有齊次線性方程組X(1)x2x30,(1)x1x2x30,X飛(1)x30.問當 取何值時，上述方程組(1)有唯一的零解；(2)有無窮多個解，并求出這些解.五、(12分)求一個正交變換X PY ,把下列二次型化成標準形：f (x1，x2,x3)4x1x24x1x3 4x2x3.六、(6分)已知平面上三條不同直線的方程分別為11 : ax 2by 3c 0,12 : bx 2cy 3a 0,13 : cx 2ay 3b 0.試證：

5、這三條直線交于一點的充分必要條件為a b c 0.線性代數(shù)(A卷)答案1. D2.C 3. B4. A5. A1.02. (A ) A3. 14. 35. 1或-1114116. （c a）（c b）（b a） 7. 0 8.1, , 9.- t 0 10.A I23542三、1.解由 AX X B得 X （A I）1B. （2 分）下面求（A I） 1.由于（4 分）011（7分）1（A I ） 23011130073111110所以X （A I） 1B011 1 01110 11100 00 111 . （9 分）1 12.解12 3 42 3 4 13 4 124 12 310 2 3

6、410 3 4 110 4 1 210 1 2 312 3 4112 3分）1234（8 分）160 （9 分）.0 113100 0440 0 043.解由于r3 5r2 04jujdUj2 0041301 UUuuU10302341135337332 34113021204241234故向量組的秩是3 ,0JjjjjjJjJ3 01 32 12（6分）3是它的一個最大無關組。（9分）四、解 方程組的系數(shù)行列式2(1)(2)(2 分)當 A (1)(2)20,即1且 2時，方程組有唯一的零解；（4分）當1 時,|A（1）（2）2 0,方程組的系數(shù)矩陣為它有一個二階子式3 0,因此秩（A）2

7、n （這里n 3）,故方程組有無窮多個解.對A施行初等行變換，可得到方程組的一般解為XX3,X2X3,其中X3可取任意數(shù)；（7分）X3X3,當 2 時，|A (1)(2)20 ,方程組的系數(shù)矩陣為顯然，秩（A） 1 n （這里n可得方程組的一般解為3）,所以方程組也有無窮多個解.對A施行初等行變換X1X2 X3,X2 X2,其中X2,X3可取任意數(shù).(10 分)X3 X3,五、解二次型的矩陣為(2分)因為特征多項式為2-22(1)(5),1所以特征值是1（二重）和5 . （4 分）(I A)X 0 得把特征值1代入齊次線性方程組解此方程組可得矩陣A的對應于特征值利用施密特正交化方法將1,2正交

8、化：(1,0, 1)T再將2單位化得把特征值5代入齊次線性方程組解此方程組可得矩陣A的對應于特征值再將3單位化得則P是一個正交矩陣，且滿足2x12x22%0,2x12x22x30,2xi2x22x30,1的特征向量為(1,0,可,(I4x12x12x1(A)X2x24x22x2(0,1, 1)T.2)T,(8。得2x32%4x30,0,0,5的特征向量為3 (1,1,11v33 73 T飛飛飛).(10分）分）3 -3-3 -3- 36 一 6一3一6一62 o -2-23,2,1/kp1P 1AP PTAP00所以，正交變換X PY為所求，它把二次型化成標準形22-2"。"

9、; y 1 y 2 5y 3.(12分）六、證明：必要性由ll23交于一點得方程組ax 2by 3c 0bx 2cy 3a 0cx 2ay 3b 0有解，可知a2b3cR(A) R(A)b2c3ac2a3b1 b c0 (a b c) 1 c a1 a b0 (2 分)1bc由于1ca1ab222 _4(b a) (c b) (a c) 0,所以 a b c 0 (3 分)充分性：a b c 0 b (a c)a 2bb 2c2(ac b2) 2ac (a c)2a2c2(a c)2 0又因為1bc6(a b c)1ca01aba 2b 3cb 2c 3ac 2a 3ba b c6 b c a

10、 cabR(A) R(A) 2, (5 分)因此方程組ax 2by 3c 0bx 2cy 3a 0cx 2ay 3b 0有唯一解,即11,12,13交于一點.（6分）線性代數(shù)習題和答案第一部分選擇題（共28分）、單項選擇題（本大題共 14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1.設行列式A. m+nC. n - m2.設矩陣A.aiiai2a2ia22=mai3a23aiia2i=n,則行列式an a12a13a 21 a22 a23B. - (m+n)D. m- nC.3.設矩陣A. 一 6A=A=，則A-

11、 1等于（* . . . . .1 , A是A的伴隨矩陣，則4C. 24.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC,則必有A. A = 0C. A 0 時 B=C5.已知3X4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（A. 1C. 36.設兩個向量組A.B.C.D.有不全為有不全為有不全為有不全為.a 1,（0的數(shù)入0的數(shù)入0的數(shù)入0的數(shù)入2,2,2,入入入入B.D.D.中位于（B. 61, 2）的元素是（B. B C時 A=0D. | A| 0 時 B=CAT)等于(B. 2D. 4, 3 s均線性相關，則（s 使入 1 a 1+入 2a 2+ Isa s=0 和入 11+入 22+入 s 3 s=0s

12、使入 1 ( a 1+ 3 1) +入 2( a 2+3 2) +入 s(as+3s) =0s 使入 1 (a1- 3 1) + 入2 (a 2- 3 2)+A,s(as- ”)=0s和不全為0的數(shù)科1,科2,，sc s使入1(X1+入2 a 2+ , , + X s a s=0和181+11282+ |ls3 s = 07 .設矩陣A的秩為r ,則A中（）B.所有r- 1階子式全為0D.所有r階子式都不為0Y 2是其任意2個解，則下列結論錯誤的是（）B. - y1 1+刀2是Ax=b的一個解22刀1-刀2是Ax=b的一個解）B.秩（A）=n- 1D.方程組Ax=0只有零解A.所有r - 1階

13、子式都不為0C.至少有一個r階子式不等于08 .設Ax=b是一非齊次線性方程組，y i,A.刀i+刀2是Ax=0的一個解C.刀1-刀2是Ax=0的一個解9 .設n階方陣A不可逆，則必有（A.秩（A）<n=010 .設A是一個n（>3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A.如存在數(shù)入和向量 a使Aa =入a ,則a是A的屬于特征值入的特征向量B.如存在數(shù)入和非零向量 a ,使（入E- A） a =0,則入是A的特征值的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D.如入1,入2,入3是A的3個互不相同的特征值，“1, a 2, “3依次是A的屬于入1,入2,入3的特征向量，則a 1, a 2,

14、a 3有可能線性相關11.設入0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入0的線性無關的特征向量的個數(shù)為k,則必有（）A. k <3B. k<3C. k=3D.k>312 .設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）A.| A|2必為 1B.| A| 必為 1=AT的行（列）向量組是正交單位向量組13 .設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，所人0則（）與B相似B. A與B不等價C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14 .下列矩陣中是正定矩陣的為（）A.3 B.21 1 1D. 1 2 01 0 2100C. 0 2303 5第二部分非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共 10小

15、題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的 空格內(nèi)。錯填或不填均無分。1 1115. 3 5 69 25 36、汗 11116.設 A=1 111 B=12 3 .則 A+2B=2 417.設 A=(a ij )3 x 3|A|二2Aj表示| A|中元素aj的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3),則(a 11A21+a12A22+a13A23)+(a 21A21 + a22A22+a23A23) +(a 31A21 + a32A22+a33A23)=18.設向量(2, -3, 5)與向量(-4,619.設A是3X4矩陣，其秩為3,若刀1,為 20.設A是mX n矩陣，A的秩為

16、r(<n)a)線性相關，則a= .y 2為非齊次線性方程組 Ax=b的2個不同的解，則它的通解,則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系中含有解的個數(shù)為 21.設向量a、22.設3階矩陣3的長度依次為2和3,A的行列式| A|=8 ,已知則向量a + 3與a - 3的內(nèi)積(a + 3 , a - 3 )二A有2個特征值-1和4,則另一特征值為.23.設矩陣A=1031021是它的一個特征向量，則 a所對應的特征值為224.設實二次型f(x1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩為、計算題(本大題共7小題，每小題4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為6分，共42分)125.設 A= 31B=.求(

17、1) ABT； (2)|4A|.26.試計算行列式3521110513132413427.設矩陣A= 11,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.試判斷a 429.設矩陣A=是否為122321301301, 52=(X 3=, (X 4 =022434191 1, a 2,a 3的線性組合；若是，貝U求1：30328.給定向量組a 1 =2413120306232634求：(1)秩(A);02 230.設矩陣A= 23 4的全部特征值為12431和-8.求正交矩陣T和對角矩陣 D,使T- 1AT=D.31 .試用配方法化下列二次型為標準形 222f（x1,X2,X3）=X1 2x2 3x3

18、4x1x2 4x1x3 4x2x3 ?并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10分）32 .設方陣A滿足A3=0,試證明E- A可逆，且（E- A） - 1=E+A+A A的列向量組的一個最大線性無關組。.33 .設刀0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個特解， ），E 2是其導出組Ax=0的一個基礎解系.試證明 （1）刀1 =刀。+21,刀2二刀o+22均是 Ax=b的解；（2） Y 0 , Y 1 , Y 2 線性無關。答案：一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）二、填空題（本大題共 10空，每空2分，共20分）15. 616.17. 418

19、. - 1019. Y1 1 + C( Y 2 Y 1)(或 Y) 2 + C( Y 2 Y 1) ) , C 為任意常數(shù)20. n r21. - 522. - 223. 1222224. Z1Z2Z3Z4三、計算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分)12 02225. 解(1) ABT= 3 4 0 341 2 110 6=18 10 .3 10(2) 14 A|=4 3| A|=64| A| ,而120I A|=3402.121所以 14 A|二64.(- 2)=- 128311226.解513420111533511111 131001055 30511111155 06 230 1

20、0 40.5527.解 AB=A+2B 即(A- 2E) B=A,而1223, - 1(A- 2E)= 11 01211所以 B=(A- 2E)-1A= 143 4 2 353110386=296 .2 129 13028.解一13 01022413 010 11241 91035011200880014140 131 1210 3 50 1120 0 110 0 0 010 0 20 10 10 0 110 0 0 0所以a 4=2 a 1+ a 2+ a 3,組合系數(shù)為(2, 1,1)解二 考慮 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,2x1 X2 3X3 0X1 3X2 , X

21、2, X3)= (X1+2X2- 2x3)2- 2X22+4X2X3- 7X322X2 2X3 43X1 4X2 X3 9.方程組有唯一解（2, 1, 1） T,組合系數(shù)為（2, 1, 1）29.解對矩陣A施行初等行變換1210 200062A03282096321210203283000620002171210 203283c二B.0003100000(1)秩(B) =3,所以秩(A)=秩(B) =3.(2)由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。(A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是)30.解 A的屬于特征值入=1的2個線性無關的特征向量為E 1= (2, - 1, 0) T, E 2= (2, 0, 1) T.2.5/525/15經(jīng)正交標準化，得 Y 1= 75/5 , v 2= 4Y5/150.5/3