數(shù)學高中數(shù)學重要公式和方法集錦PPT課件

1、第1頁/共70頁n121.();().2.3. ,22121UUUUUUnnnCABC AC B CABC AC BABAABBABa aa德摩根公式：包含關系：集合子集的個數(shù)：集合中子集共有個，真子集個，非空真子集個.第2頁/共70頁第3頁/共70頁22124.( )(0)( )()(0)( )()()(0).5.( )0( , )( ) ( )0.f xaxbxc af xa xhk af xa xxxxaf xa bf a f b二次函數(shù)的三種形式：一般式：；頂點式：；零點式：零點存在的判定：方程在內有實根的充分非必要條件是第4頁/共70頁 121212121212121212126.,

2、()()()()()00( ),()()()()()00( ),2,.xxa bxxf xf xxxf xf xxxf xa bf xf xxxf xf xxxf xa byfg xug xyf u函數(shù)單調性：1 若 、，那么在上是增函數(shù)；在是減函數(shù)；復合函數(shù)的單調性與構成它的函數(shù)的單調性之間是同增異減第5頁/共70頁 7.( )()()(2)( ).8.12.yf xxaf axf axfaxf xf xfxf xf xfxf xfxf x 函數(shù)的對稱性：函數(shù)的圖像關于直線對稱函數(shù)的奇偶性：是奇函數(shù)圖像關于原點對稱；是偶函數(shù)圖像關于y軸對稱第6頁/共70頁 9.10T0T=4a;30T=2a

3、;T4T.f xTf xTf xf xf xxa af xf xf xxa af xf xfx函數(shù)的周期性：是周期函數(shù)，且周期為 ；2為奇函數(shù)且關于對稱是周期函數(shù)，且周期為偶函數(shù)且關于對稱是周期函數(shù)，且周期周期為0 周期為第7頁/共70頁 10.1()( )( )( )2()( ) ( )( )3()( )( )( )log4()( ) ( )( ).xaf xyf xf yf xcxf xyf x f yf xaf xyf xf yf xxf xyf x f yf xx幾個常見的抽象函數(shù)的原型：正比例函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；冪函數(shù)第8頁/共70頁loglog(0,1,0).logloglo

4、gloglog1loglog;loglogamnbaNnmaaamnaaabNbaN aaNNNnNbbambbba11.指數(shù)式與對數(shù)式的互化：12.對數(shù)恒等式：a13.換底公式及其推論：；第9頁/共70頁log 10;log1.log ()logloglogloglogloglog()aaaaaaaanaaaMNMNMMNNMnM nR14.對數(shù)的性質：15.對數(shù)運算法則：；第10頁/共70頁 16.12345678910.求函數(shù)值域的常用方法：配方法； 換元法； 反解法； 分離常數(shù)法；判別式法； 基本不等式法； 函數(shù)單調性法；數(shù)形結合法； 導數(shù)法；三角代換法第11頁/共70頁第12頁/共7

5、0頁11*12111,1,2(1) ()()(1)1() .2222nnnnnnsnassnaand nNn aan ndsnadnad n17.數(shù)列通項公式與前n項和的關系：18.等差數(shù)列的通項公式：19.等差數(shù)列的前n項和公式：第13頁/共70頁1*11111()(1),1,11.1,1,1nnnnnnaa qnNaa qaqqqqssqna qna q20.等比數(shù)列的通項公式：21.等比數(shù)列的前n項和公式：或第14頁/共70頁22.數(shù)列通項的求法： 121321321111annnnnnnnnnSaf naaaaaaaaf naaaaaaaaaabn+1n+12n+1已知式與有關時，常用

6、。2 遞推關系為a時，常用。即a3 遞推關系為時，常用。即4 遞推關系為a姊妹式法累加法累時，常用乘法構造法。第15頁/共70頁n23.求數(shù)列前n項和S 的常用方法： 15倒序相加法2 錯位相減法3 裂項相消法4 分組求和法并項求和法21nnaaa1適合a形式的數(shù)列適合差比數(shù)列. 1naf nf n適合通項的數(shù)列.nnnabc適合通項的數(shù)列.n適合通項帶有 -1 的數(shù)列.第16頁/共70頁2124.1111nnapxxpxpxpanp分期付款問題：貸款 元， 次還清，每期利率為第17頁/共70頁第18頁/共70頁2225.sinsincos1 tantan1.cos26.cot同角關系：；誘導

7、公式：奇變偶不變，符號看象限第19頁/共70頁2227.sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan().1tantan28.3sincos2sin,sin3cos2sin;63sincos2sin; sincoss4xxxxxxxxxabab兩角和與差公式：；化單角單函數(shù)公式：2222in()cos,sin.ababab其中第20頁/共70頁2222222222222229.sin2sincoscos2cossin2cos11 2sin2tantan2.1tan30.2sinsinsin31.2cos2cos2cos .11132.sinsinsin

8、222abcRABCabcbcAbcacaBcababCSabCbcAcaB 倍角公式：；正弦定理：余弦定理：；面積定理：2abcss sasbscs其中第21頁/共70頁第22頁/共70頁11221221121212312333./00.34.cos35.(,).33axybxyabx yx yabx xy ya ba bABCxxxyyyG 向量平行與垂直：設，=，；向量夾角公式：的重心坐標公式：第23頁/共70頁 22236. ABC1 O2 O0OO0OAOBOCOAOBOCOA OBOB OCOC OAaOAbOBcOC 四心的向量形式：為外心為重心3為垂心4為內心第24頁/共70頁

9、 37.|(1)38.1 MPABxy.2OPABC1PABAPABAPtABOPt OAtOBMPxMAyMBOPxOAyOBzOC xyz 空間三點共線定理：、 、 共線空間四點共面定理：、 、 、 四點共面存在有序實數(shù)對，使對于空間任意一點 ， 點在平面內第25頁/共70頁第26頁/共70頁 22222222()240.241.12()2() ()23242abababRabababab abRabababRabababRabababR39.基本不等式：、重要不等式：求最值常用的四個不等式：一正，二定，三相等.、；、；、第27頁/共70頁42、線形規(guī)劃1）直線定界，特殊點定域。 標準形式

10、，大右小左。2）找整點的方法是（1）調整優(yōu)值法； （2）打網格線法.3)解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟(1)列出約束條件；(2)寫出目標函數(shù)；(3)畫出可行域；(4)找出最優(yōu)解；(5)求出最大（?。┲档?8頁/共70頁222121221221222243.44.0(0,40),.0,;0.45.00abababaxbxcabacx xxxaxbxcx xxxxaxbxcx xxxxa axaxaxaxa axa 絕對值不等式：一元二次不等式的解法：小于在中間，大于在兩邊.的根且的解集為：或的解集為：含絕對值的不等式的解法：小于在中間，大于在兩邊.x xaxa 或第29頁/共70頁第30頁/共70

11、頁 21211111212146.47.1() 234150.yyktaxxyyk xxykxbyyxxxyyyxxabAxByC斜率公式：直線的五種形式：點斜式：；斜截式：；兩點式：；截距式：；一般式：第31頁/共70頁121212121211112121212222002248.|,1|0.49.|.50.llkk bbllk kABCllllA AB BABCAxByCdAB 1222兩直線平行與垂直：；點到直線的距離：兩平行線間的距離：CCdAB第32頁/共70頁 2222222121251.1()()20403()()()()0 xaybrxyDxEyFDEFxxxxyyyy圓的方程

12、：標準方程：一般方程：直徑式方程：52.點與圓的位置關系設點P(x0，y0)，圓(x-a)2+(y-b)2=r2 , 則點在圓內(x0 -a)2+(y0 -b)2r2，點在圓上 (x0 -a)2+(y0 -b)2=r2，點在圓外(x0 -a)2+(y0 -b)2r2第33頁/共70頁53.線與圓的位置關系(1)設直線l，圓心C到 l 的距離為d則圓C與 l 相離dr，圓C與 l 相切d=r，圓C與 l 相交dr，(2)由圓C方程及直線 l 的方程，消去一個未知數(shù)，得一元二次方程，設一元二次方程的根的判別式為，則l 與圓C相交0，l 與圓C相切=0，l 與圓C相離0第34頁/共70頁54.圓與圓

13、的位置關系設圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，則兩圓相離|O1O2|r1+r2，外切 |O1O2|=r1+r2，內切|O1O2|=|r1-r2|，內含|O1O2|r1-r2|，相交|r1-r2|O1O2|r1+r2| 222211122255.00 xyD xE yFxyD xE yF兩圓相交時的公共弦所在直線方程：第35頁/共70頁121 2222200002222121256.MFMF22FF57.(,)1(0)1.58.| 2 ,(02|)59.aaxyxyP xyabababMFMFaaFF2橢圓的定義：點在橢圓內的充要條件：點在橢圓內雙曲線的定義：圓錐曲線的通徑：2b橢圓、雙曲

14、線的通徑長為；拋物線的通徑長為2p.a第36頁/共70頁 2222222222222222222260.102031.xyabxybyxababxyyxaabxyabxyxyabab 雙曲線方程與漸近線方程的關系：1 雙曲線方程為漸近線方程：；漸近線方程雙曲線可設為：；雙曲線與有共同的漸近線可設為第37頁/共70頁0121261.,02MF262.263.22ppdxCFpCFxppCDxxxxp22拋物線的定義：F拋物線y =2px的焦半徑拋物線y =2px的焦點弦長：第38頁/共70頁22222222121221212264.1max,65.(1) ()41(1) ()4xyka bakb

15、kABkxxx xyyy yk共焦點的圓錐曲線方程：弦長公式：第39頁/共70頁 66.1 .2 .解決直線與圓錐曲線關系問題的常用方法：設而不求，整體代入 適合中點弦問題曲直聯(lián)立，韋達定理 適合一般問題第40頁/共70頁第41頁/共70頁67.證線線平行的方法 1.若有線面平行，且經過這條直線的平面與已知平面相交，則這條直線與交線平行； 2.若有面面平行，且都與第三個平面相交，則交線平行； 3.利用平行線的傳遞性； 4.證明兩直線垂直于同一平面； 5.證明兩直線的方向向量是共線向量.第42頁/共70頁68.證線面平行的方法 1.證明平面外的一條直線與平面內的一條直線平行； 2.若有面面平行；

16、則一個平面內的任何一條直線都與另一平面平行； 3.證明平面的法向量與直線的方向向量垂直； 4.證明直線的方向向量與平面的兩相交直線的方向向量是共面向量.第43頁/共70頁69.證面面平行的方法 1.證明一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線； 2.證明一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面； 3.利用平行平面的傳遞性； 4.證明兩平面都垂直于同一直線； 5.證明兩平面的法向量是共線向量.第44頁/共70頁70.證線線垂直的方法 1.利用三垂線定理； 2.若有線面垂直，則這條直線垂直于平面內的一切直線； 3.證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為零.第45頁/共70頁71.證

17、線面垂直的方法 1. 證明這條直線垂直于平面內的兩條相交直線； 2. 若有面面垂直，經過一個平面內的一點垂直與交線的直線與另一個平面垂直； 3.若平行線中的一條與平面垂直；則另一條也與這個平面垂直； 4.證明直線的方向向量與平面的法向量共線.第46頁/共70頁72.證面面垂直的方法： 1.證明一個平面的垂線經過另一個平面； 2.證明兩平面的法向量垂直.第47頁/共70頁 1212121273.cos.PA2 .sin.ncos3 .ncos.a ba bnPA nnn nnn n 用向量法求空間角：1 .異面直線所成的角：直線與平面所成的角：當 為銳角時，二面角：當 為鈍角時第48頁/共70頁

18、74.|75.coscoscosAP nn 用向量法求點到平面的距離及異面直線的距離：d三余弦定理和最小角定理：=MDBOAE=AOB =AOD =DOBcoscos 斜線與平面內所有直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角最小.第49頁/共70頁 2376.77.44.378.661.1242SRVRaaa在運用斜二測畫直觀圖時，原圖面積與直觀圖面積之比：6原圖面積與直觀圖面積之比為：1：4球的表面積與體積：；球與正四面體：棱長為 的正四面體內切球半徑為，外接球半徑為內切球半徑，外接球半徑，正四面體的高之比為1：3：4.第50頁/共70頁 2222279.480.14;2abcRR2長方體與外

19、接球：正方體與球：正方體與外接球：3a正方體與內切球：a=2R.第51頁/共70頁第52頁/共70頁12n1281.N=m +m +m .82.83.(1)(2)(1).()84.(1)(1)1 2()nmnmmnnmmNmmmnAn nnnmnmAn nnmnCAmmnm 分類計數(shù)原理：分步計數(shù)原理：排列數(shù)公式：！組合數(shù)公式：！第53頁/共70頁 1185.12.mn mnnmmmnnnCCccc組合數(shù)的兩個性質：；第54頁/共70頁第55頁/共70頁0112221012186.()(012).87.CCCC288.222nnnnrn rrnnnnnnnrn rrrnnnnnnnnnabC

20、aC abC abC abC bTC ab rn二項式定理及通項：；通項：， ，各二項式系數(shù)的和：奇數(shù)項與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：0 02 21 13 3n nn nn nn nC CC CC CC C第56頁/共70頁第57頁/共70頁 1289.P A+BP AP B .90.P ABP A P B .91.A( )(1).92.10(1,2,)21.kkn knninP kC PPPiPP兩個互斥事件有一個發(fā)生的概率：兩個獨立事件同時發(fā)生的概率：在 次獨立重復試驗中，事件 恰有k次發(fā)生的概率：離散型隨機變量的兩個性質：；第58頁/共70頁 1 1222221122293.94.()( )2

21、,.95.96.12,(1).nnnnEx Px Px PE abaEbB n pEnpDxEpxEpxEpDD aba DB n pDnpp 數(shù)學期望：數(shù)學期望的性質：1； 如果方差與標準差：方差的性質：； 如果第59頁/共70頁 2226112221197.1,.2 698.xnniiiiiinniiiif xexxxyyx ynx ybyabxxxxnxaybx 正態(tài)密度函數(shù)：回歸方程：；其中第60頁/共70頁第61頁/共70頁 199.10;2 ()();3 (sin )cos ;4 (cos )sin ;115 (ln )(log);ln6 ()()ln .nnxxxxxCxnxnQxxxxxaxxaeeaaa 幾種常見函數(shù)的導數(shù)：，第62頁/共70頁 2100.1 ()2 ()3 ( )(0)101.( ( )( ( )( )( ).xuxxuvuvuvuvuvuuvuvvvvyfxyyufxf ux導數(shù)的四則運算：；復合函數(shù)的導數(shù)：的導數(shù)或寫成：第63頁/共70頁 0102.0030001f xfxf xfxf xfxf xf xf xfxf xfx0002導數(shù)與函數(shù)的單調性：已知在某個區(qū)間上