《線性規(guī)劃對偶問題》ppt課件

1、第第2章章 對偶實際對偶實際線性規(guī)劃續(xù)線性規(guī)劃續(xù)知識點知識點 了解對偶問題的特點，熟習互為對偶的問了解對偶問題的特點，熟習互為對偶的問題之間的關系；題之間的關系； 掌握對偶規(guī)劃的實際和性質，如可逆性、掌握對偶規(guī)劃的實際和性質，如可逆性、弱對偶性、對偶定理、互補松馳定理等；弱對偶性、對偶定理、互補松馳定理等； 掌握對偶單純形法；掌握對偶單純形法；主要內容主要內容 一、對偶問題的根本概念一、對偶問題的根本概念 二、對稱的對偶線性規(guī)劃二、對稱的對偶線性規(guī)劃 三、對偶的根本性質三、對偶的根本性質 四、對偶單純形法四、對偶單純形法一、對偶問題的根本概念一、對偶問題的根本概念載重汽車載重汽車 大轎車大轎車

2、資源限制資源限制鋼材鋼材勞動力勞動力座椅座椅22.5025116002500400利潤千元利潤千元/輛輛34 傳統(tǒng)的線性規(guī)劃問題：傳統(tǒng)的線性規(guī)劃問題： 在有限的資源下如何安排消費以獲得最大在有限的資源下如何安排消費以獲得最大利潤利潤 該問題的線性規(guī)劃模型為：該問題的線性規(guī)劃模型為： 目的函數(shù)：目的函數(shù)：max Z=4x1+3x2 約束條件：約束條件： 2x1 2x2 1600 5x1+2.5x2 2500 x1 400 x1 0,x2 0 如今的問題：假設工廠目前不再計劃消費如今的問題：假設工廠目前不再計劃消費汽車，而是將鋼材和座椅以比買價更高的汽車，而是將鋼材和座椅以比買價更高的價錢賣出去加

3、價，把消費才干以更高價錢賣出去加價，把消費才干以更高的工時費接受外協(xié)加工，那么資料和工時的工時費接受外協(xié)加工，那么資料和工時的定價應該是多少才是合算的？的定價應該是多少才是合算的？ 假設假設y1表示出賣單位鋼材的利潤，表示出賣單位鋼材的利潤， y2表示外協(xié)加工的工時利潤，表示外協(xié)加工的工時利潤， y3表示出賣每套大轎車座椅的利潤表示出賣每套大轎車座椅的利潤 那么消費一輛載重汽車的資料銷售利潤和那么消費一輛載重汽車的資料銷售利潤和工時利潤之和不應低于出賣一輛載重汽車工時利潤之和不應低于出賣一輛載重汽車所得的利潤，即：所得的利潤，即：2y1+2.5y23 同樣有，同樣有，2y1+5y2+y3 4

4、為了不虧本，各種資料的利潤加價不為了不虧本，各種資料的利潤加價不能為負值，即：能為負值，即：y1、y2、y3 0 工廠的總利潤是出賣資料的利潤、工時利工廠的總利潤是出賣資料的利潤、工時利潤和座椅利潤之和，即：潤和座椅利潤之和，即：W=1600y1+2500y2+400y3 從工廠決策者的角度看從工廠決策者的角度看W越大越好。但為越大越好。但為了在市場實現(xiàn)買賣，在滿足上述條件的根了在市場實現(xiàn)買賣，在滿足上述條件的根底上，底上，W應盡能夠小。從而得到如下線性應盡能夠小。從而得到如下線性規(guī)劃模型：規(guī)劃模型：Min W=1600y1+2500y2+400y32y1+2.5y23 s.t.2y1+5y2

5、+y3 4y1、y2、y3 0線性規(guī)劃原問題和對偶問題線性規(guī)劃原問題和對偶問題原問題：原問題：Max Z=c1x1+cnxn a11x1+a1nxnb1 a21x1+a2nxnb2s.t. am1x1+amnxn bm X1,xn0對偶問題：對偶問題：Min W=b1y1+bmym a11y1+am1ym c1 a12y1+am2ym c2s.t. a1ny1+amnym cn y1,ym 0矩陣表述矩陣表述原問題：原問題：Max Z=CTX s.t. AXb X 0對偶問題：對偶問題：Min W=bTY s.t. ATY C Y 0 兩個模型之間的關系：兩個模型之間的關系： 原問題是求最大值

6、，而對偶問題是求最小原問題是求最大值，而對偶問題是求最小值；值； 原問題的約束條件是原問題的約束條件是“，而對偶問題的，而對偶問題的約束條件是約束條件是“； 原問題的目的函數(shù)系數(shù)是對偶問題的約束原問題的目的函數(shù)系數(shù)是對偶問題的約束條件右端的常數(shù)項；原問題的約束條件右條件右端的常數(shù)項；原問題的約束條件右端的常數(shù)項是對偶問標題的函數(shù)的系數(shù)；端的常數(shù)項是對偶問標題的函數(shù)的系數(shù)； 原問題約束條件中原問題約束條件中xi的系數(shù)是對偶問題第的系數(shù)是對偶問題第i個約束條件的系數(shù)，原問題第個約束條件的系數(shù)，原問題第i個約束條件個約束條件的系數(shù)是對偶問題的約束條件中的系數(shù)是對偶問題的約束條件中yi的系數(shù)。的系數(shù)。

7、對稱的對偶線性規(guī)劃對稱的對偶線性規(guī)劃 定義：假設一個線性規(guī)劃具備下面兩個條定義：假設一個線性規(guī)劃具備下面兩個條件，那么稱它具有對稱方式：件，那么稱它具有對稱方式： 一切的變量都是非負的；一切的變量都是非負的； 一切的約束條件都是不等式，且在目的函一切的約束條件都是不等式，且在目的函數(shù)是求極大值的情況下，為數(shù)是求極大值的情況下，為“型，求極型，求極小值時，為小值時，為“型。型。原問題對偶問題原問題對偶問題對偶問題原問題對偶問題原問題目的函數(shù)目的函數(shù)限定向量限定向量價值向量價值向量技術系數(shù)技術系數(shù)約束條件約束條件變量數(shù)目變量數(shù)目約束條件個數(shù)約束條件個數(shù)變量正負變量正負目的函數(shù)目的函數(shù)價值向量價值向

8、量限定向量限定向量技術系數(shù)技術系數(shù)對偶變量對偶變量約束條件個數(shù)約束條件個數(shù)對偶變量數(shù)目對偶變量數(shù)目約束條件約束條件非對稱方式的對偶問題非對稱方式的對偶問題在原線性規(guī)劃問題為在原線性規(guī)劃問題為Max型，且變量非負型，且變量非負的前提下：的前提下：1. 原問題約束條件是原問題約束條件是“型型兩邊都乘以兩邊都乘以“-1轉化為轉化為“型，得到對型，得到對偶規(guī)劃的變量約束為：偶規(guī)劃的變量約束為：yi0 例：例：Max Z=x1+2x2-3x3 S.t. x1+2x2+5x31 2x1-3x2-4x3 2 x1,x2,x3 0 Max Z=x1+2x2-3x3 S.t. -x1-2x2-5x3 -1 2x

9、1-3x2-4x3 2 x1,x2,x3 0 Min W=-y1+2y2 S.t. -y1+2y2 1 -2y1-3y2 2 -5y1-4y2 -3 y1,y2 0 令令y1=-y1 ，上述模型化為：，上述模型化為： Min W=y1+2y2 S.t. y1+2y2 1 2y1-3y2 2 5y1-4y2 -3 y1 0,y2 0 例：例：Max Z=x1+2x2-3x3 S.t. x1+2x2+5x3 1 2x1-3x2-4x3 2 x1,x2 0 , x3 0 令令x3=-x3，得：，得： Max Z=x1+2x2+3x3 S.t. x1+2x2-5x3 1 2x1-3x2+4x3 2 x

10、1,x2,x3 0 Min W=y1+2y2 S.t. y1+2y2 1 2y1-3y2 2 -5y1+4y2 3 y1,y2 0 第三個方程兩邊同乘第三個方程兩邊同乘-1，得，得 Min W=y1+2y2 S.t. y1+2y2 1 2y1-3y2 2 5y1-4y2 -3 y1,y2 02. 原問題約束條件是原問題約束條件是“=型型看成兩個約束條件：看成兩個約束條件：+ 組成，得組成，得到對偶規(guī)劃的變量約束為：到對偶規(guī)劃的變量約束為：yi無非負約束即可正可負無非負約束即可正可負 例：例：Max Z=x1+2x2-3x3 S.t. x1+2x2+5x3 1 2x1-3x2-4x3=2 x1,

11、x2,x3 0 Max Z=x1+2x2-3x3 S.t. x1+2x2+5x3 1 2x1-3x2-4x3 2 2x1-3x2-4x3 2 x1,x2,x3 0 Min W=y1+2y2-2y3 S.t. y1+2y2 -2y3 1 2y1-3y2 +3y3 2 5y1-4y2 +4y3 -3 y1,y2,y3 0 Max Z=x1+2x2-3x3 S.t. x1+2x2+5x3 1 2x1-3x2-4x3 2 -2x1+3x2+4x3 -2 x1,x2,x3 0 令令y4=y2-y3 ，得：，得： Min W=y1+2y4 S.t. y1+2y4 1 2y1-3y4 2 5y1-4y4 -

12、3 y1 0, y4無符號約束無符號約束 原問題與對偶問題的對應關系原問題與對偶問題的對應關系原問題或對偶問題原問題或對偶問題對偶問題或原問題對偶問題或原問題目的函數(shù)為目的函數(shù)為 Max Z目的函數(shù)為目的函數(shù)為 Min W變量變量n個個 0 0無約束無約束n個個 約束條件約束條件約束約束條件條件m個個 m個個 0 0無約束無約束變量變量價值系數(shù)價值系數(shù)cj約束條件右端項約束條件右端項bi約束條件的系數(shù)矩陣約束條件的系數(shù)矩陣A約束條件右端項約束條件右端項cj價值系數(shù)價值系數(shù)bi約束條件的系數(shù)矩陣約束條件的系數(shù)矩陣AT例：例： 寫出下面線性規(guī)劃問題的對偶問題： 1.1234123412313413

13、24max 235234. . 1,0,Zxxxxxxxxxxxstxxxx xx x無約束 解：根據(jù)上述對偶關解：根據(jù)上述對偶關系，可以寫出原問題系，可以寫出原問題的對偶問題：的對偶問題：1231231212313132min 54221. . 3310,0,Wyyyyyyyystyyyyyyyy無約束例：例： 寫出下面線性規(guī)劃問題的對偶問題： 2.12121212min 354212. . 3218,0Zxxxxstxxx x 解：根據(jù)上述對偶關解：根據(jù)上述對偶關系，可以寫出原問題系，可以寫出原問題的對偶問題：的對偶問題：1231323132max 4121833. . 2250,0,Wy

14、yyyystyyyyy無約束對偶的根本性質對偶的根本性質 原問題：原問題： Max Z=CTX s.t. AXb X0 對偶問題： Min W=bTY s.t. ATY C Y 0 對稱性：對偶問題的對偶是原問題；對稱性：對偶問題的對偶是原問題； 弱對偶性：假設弱對偶性：假設X是原問題的可行解，是原問題的可行解，Y是對偶問題的可行解，那么是對偶問題的可行解，那么CTX bTY 弱對偶性的證明：弱對偶性的證明：AX bXTAT bTXTATY bTY 所以：所以： bTY XTATY XTC =CT X 無界性：假設原問題對偶問題為無無界性：假設原問題對偶問題為無界解，那么其對偶問題原問題無可行

15、界解，那么其對偶問題原問題無可行解。解。 例：例： 闡明：無界性質并不存在逆例見：闡明：無界性質并不存在逆例見：P570, 0442. .4max21212121xxxxxxt sxxZ 可行解是最優(yōu)解的條件：可行解是最優(yōu)解的條件： 設設X*是原問題的可行解，是原問題的可行解，Y*是對偶問題的是對偶問題的可行解，當可行解，當CTX*=bTY*時，時，X*，Y*是最優(yōu)是最優(yōu)解。解。 證明：由弱對偶性，可知原問題的一切可證明：由弱對偶性，可知原問題的一切可行解行解X均滿足均滿足 CT X bTY* 又由于又由于CTX* = bTY* ，所以，所以CT X CTX* ，即：，即：X*是使目的函數(shù)取值

16、最大的可是使目的函數(shù)取值最大的可行解。因此是最優(yōu)解。行解。因此是最優(yōu)解。 同理可證同理可證Y*也是最優(yōu)解。也是最優(yōu)解。 對偶定理：假設原問題有最優(yōu)解，那么對偶定理：假設原問題有最優(yōu)解，那么對偶問題也有最優(yōu)解，且最優(yōu)目的函數(shù)值對偶問題也有最優(yōu)解，且最優(yōu)目的函數(shù)值相等。相等。 證明：設證明：設X*是原問題的最優(yōu)解，那么其對應的基矩陣是原問題的最優(yōu)解，那么其對應的基矩陣B必必有：有：CBTB-1A-CT0，非基變量的檢驗數(shù)大于，非基變量的檢驗數(shù)大于或等于或等于0，基變量的檢驗數(shù)等于，基變量的檢驗數(shù)等于0即：即：ATY*C，其中，其中，Y*=CBTB-1T 故故Y*是對偶問題的可行解，它使：是對偶問題

17、的可行解，它使：W=bTY*=bTCBTB-1T=CBTB-1b 由于由于X*是原問題的最優(yōu)解，使目的函數(shù)值是原問題的最優(yōu)解，使目的函數(shù)值Z=CTX*=CBTB-1b由此得到：由此得到：bTY*=CBTB-1b=CTX* 因此，因此，Y*是對偶問題的最優(yōu)解。是對偶問題的最優(yōu)解。 原規(guī)劃的檢驗數(shù)對應于對偶規(guī)劃的一個解；原規(guī)劃的檢驗數(shù)對應于對偶規(guī)劃的一個解；對偶規(guī)劃的檢驗數(shù)對應于原規(guī)劃的一個解。對偶規(guī)劃的檢驗數(shù)對應于原規(guī)劃的一個解。特別地，假設原問題的最優(yōu)基為特別地，假設原問題的最優(yōu)基為B，那么其，那么其對偶問題的最優(yōu)解為對偶問題的最優(yōu)解為Y*=CBTB-1 互補松馳定理：設原問題和對偶問題的規(guī)范

18、型分別為： 假設X*，Y*分別是原問題和對偶問題的可行解，那么Y*TXs=0和YsTX*=0當且僅當X*、Y*為最優(yōu)解。max . . ,0TssZC XAXIXbstX Xmin . . ,0TTssWb YA YIYCs tY Y 證明：證明： 原問題原問題 對偶問題對偶問題 Max Z=CX Min W=Yb AX+Xs=b YA-Ys=C X,Xs0 Y,Ys 0 Z=CX=(YA-Ys)X=YAX-YsX W=Yb=Y(AX+Xs)=YAX+YXs 充分性：充分性：P58 必要性：必要性：P58 該定理的隱含結論：該定理的隱含結論： 當一對對偶規(guī)劃到達最優(yōu)時，假設一個問當一對對偶規(guī)劃

19、到達最優(yōu)時，假設一個問題的某個變量為正數(shù)，那么相應的另一個題的某個變量為正數(shù)，那么相應的另一個問題的約束必取等式；或者一個問題中的問題的約束必取等式；或者一個問題中的約束條件取不等式，那么相應的另一個問約束條件取不等式，那么相應的另一個問題的變量必為零。題的變量必為零。 理由：由于理由：由于X*,Y*為最優(yōu)，故為最優(yōu)，故YsTX*=0，Y*TXs=0。 假設假設Xi*0，所以有，所以有Ysi=0，也就有對偶問，也就有對偶問題相應的約束條件為等式約束由于題相應的約束條件為等式約束由于X,Y都都是非負的；是非負的； 假設假設Y*j0，所以有，所以有Xsj=0，也就有對偶問，也就有對偶問題相應的約束

20、條件為等式約束。題相應的約束條件為等式約束。 設原問題是： max Z=CX; AX+Xs=b; X,Xs0 對偶問題是： min W=Yb; YA-Ys=C; Y,Ys0 那么原問題單純形表的檢驗數(shù)行對應于其對偶問題的一個基解，其對應關系為：XBXNXS0CN-CBB-1N-CBB-1YS1YS2-Y例：例： 知線性規(guī)劃問題 的最優(yōu)解為X*=(0,0,4,4)T，最優(yōu)值Z*28。試用互補松馳性找出其對偶問題的最優(yōu)解。123412341234max 23422320. . 232200, 1,2,3,4iZxxxxxxxxstxxxxxi 解：寫出該問題的對偶問題：解：寫出該問題的對偶問題：

21、Min W=20y1+20y2 S.t. y1+2y21 2y1+y2 2 2y1+3y2 3 3y1+2y2 4 yi 0,i=1,2,3,4 根據(jù)互補松馳性，可得：根據(jù)互補松馳性，可得： x3*=40,那么那么2y1+3y2=3 x4*=40,那么那么3y1+2y2=4 解得：解得：y1=6/5,y2=1/5滿足對偶問題的前兩個約束滿足對偶問題的前兩個約束條件，所以它是對偶問題的可行解。其對應的目條件，所以它是對偶問題的可行解。其對應的目的函數(shù)的函數(shù)W*=28=Z*，從而，從而y1=6/5,y2=1/5為對偶問為對偶問題的最優(yōu)解。題的最優(yōu)解。例：例： 知線性規(guī)劃問題 試用對偶實際證明上述線

22、性規(guī)劃問題無最優(yōu)解。12123123max 2. . 210, 1,2,3iZxxxxxstxxxxi 證明：首先看到該問題存在可行解，如X=(0,0,0)，而上述問題的對偶問題為： 由第一個約束條件可知對偶問題無可行解，因原問題有可行解，故無最優(yōu)解假設原問題有最優(yōu)解，那么對偶問題也有最優(yōu)解。12121212min W2211. . 00, 1,2iyyyyyystyyyi對偶單純形法對偶單純形法 對偶單純形法是運用對偶原理求解原問題的一種對偶單純形法是運用對偶原理求解原問題的一種方法，而不是求解對偶問題的單純形法。方法，而不是求解對偶問題的單純形法。 正那么解：檢驗數(shù)全部為非負的根本解，叫正

23、那正那么解：檢驗數(shù)全部為非負的根本解，叫正那么解。么解。 正那么解普通不可行。假設可行，即為最優(yōu)解。正那么解普通不可行。假設可行，即為最優(yōu)解。 原理：從一個正那么解出發(fā)，用單純形法進展迭原理：從一個正那么解出發(fā)，用單純形法進展迭代，迭代過程中一直堅持解的正那么性不變，使代，迭代過程中一直堅持解的正那么性不變，使解的不可行性逐漸消逝，所得第一個可行解即為解的不可行性逐漸消逝，所得第一個可行解即為最優(yōu)解。最優(yōu)解。 其與單純形法的區(qū)別在于：其與單純形法的區(qū)別在于： 單純形法在整個迭代的過程中，一直堅持單純形法在整個迭代的過程中，一直堅持原問題的可行性，即常數(shù)列非負，而檢驗原問題的可行性，即常數(shù)列非負

24、，而檢驗數(shù)由有負分量逐漸變?yōu)槿糠秦?，即同時數(shù)由有負分量逐漸變?yōu)槿糠秦摚赐瑫r得到原問題和對偶問題的最優(yōu)解。得到原問題和對偶問題的最優(yōu)解。 對偶單純形法在整個迭代過程中，一直堅對偶單純形法在整個迭代過程中，一直堅持對偶問題的可行性，即全部檢驗數(shù)非負，持對偶問題的可行性，即全部檢驗數(shù)非負，而常數(shù)列由有負分量逐漸變?yōu)槿糠秦?，而常?shù)列由有負分量逐漸變?yōu)槿糠秦?，即同時得到原問題和對偶問題的最優(yōu)解。即同時得到原問題和對偶問題的最優(yōu)解。單純形法單純形法對偶單純形法對偶單純形法從一個初始基可行解出從一個初始基可行解出發(fā)發(fā)從一個初始正那么解出從一個初始正那么解出發(fā)發(fā)檢驗數(shù)可檢驗數(shù)可正可負正可負堅持右邊常

25、堅持右邊常數(shù)非負即數(shù)非負即解的可行性解的可行性右邊常數(shù)右邊常數(shù)可正可負可正可負堅持檢驗數(shù)堅持檢驗數(shù)非負即解非負即解的正那么性的正那么性檢驗數(shù)均非負，那么為檢驗數(shù)均非負，那么為最優(yōu)解最優(yōu)解常數(shù)均非負，那么為最常數(shù)均非負，那么為最優(yōu)解優(yōu)解對偶單純形法的步驟對偶單純形法的步驟 確定換出變量：在負的基變量中選擇最小確定換出變量：在負的基變量中選擇最小的基變量為換出變量；的基變量為換出變量； 確定換入變量：用換出變量的那一行具有確定換入變量：用換出變量的那一行具有負值的系數(shù)分別去除同列的檢驗數(shù)，取絕負值的系數(shù)分別去除同列的檢驗數(shù)，取絕對值最小者所對應的變量為換入變量；對值最小者所對應的變量為換入變量；

26、進展迭代變換分別進展行、列變換；進展迭代變換分別進展行、列變換； 進展最優(yōu)性檢驗：假設所得的根本解都是進展最優(yōu)性檢驗：假設所得的根本解都是非負的，那么此解即為最優(yōu)解，反之繼續(xù)非負的，那么此解即為最優(yōu)解，反之繼續(xù)迭代，直至一切基變量為非負的數(shù)值為止。迭代，直至一切基變量為非負的數(shù)值為止。對于消費汽車的例子：對于消費汽車的例子：Min W=1600y1+2500y2+400y3 2y1+5y2+y3 4 s.t. 2y1+2.5y2 3 y1、y2、y3 0Max (-W)=-1600y1-2500y2-400y3-My5-My7 2y1+5y2+y3 -y4+y5=4 s.t. 2y1+2.5y

27、2 -y6+y7=3 y1 0 ,i=1,2,7Min (-W)=-1600y1-2500y2-400y3 -2y1-5y2-y3 -4 s.t. -2y1-2.5y2 -3 y1、y2、y3 0Min (-W)=-1600y1-2500y2-400y3 -2y1-5y2-y3+y4 =-4 s.t. -2y1-2.5y2+y5=-3 y1、y2、y3 0 解的過程：見解的過程：見Word文檔文檔對偶單純形法的優(yōu)點及用途對偶單純形法的優(yōu)點及用途 初始可行解可以是非可行解，當檢驗數(shù)都初始可行解可以是非可行解，當檢驗數(shù)都是正值時，就可以進展基變換，這樣就防是正值時，就可以進展基變換，這樣就防止了添

28、加人工變量，使運算簡化；止了添加人工變量，使運算簡化； 對變量較少，而約束條件很多的線性規(guī)劃對變量較少，而約束條件很多的線性規(guī)劃問題，可先將其變?yōu)閷ε紗栴}，再用對偶問題，可先將其變?yōu)閷ε紗栴}，再用對偶單純形法求解，簡化計算；單純形法求解，簡化計算； 可用于靈敏度分析?？捎糜陟`敏度分析。 影子價錢影子價錢 影子價錢代表單位資源在最優(yōu)利用的條件影子價錢代表單位資源在最優(yōu)利用的條件下所產(chǎn)生的經(jīng)濟效果；下所產(chǎn)生的經(jīng)濟效果； 影子價錢給出了該當購進某種資源，以添影子價錢給出了該當購進某種資源，以添加消費量，從而獲得更多利潤的價錢規(guī)范。加消費量，從而獲得更多利潤的價錢規(guī)范。影子價錢影子價錢 對偶變量對偶變

29、量yi的意義是在當前的基解中對一個的意義是在當前的基解中對一個單位的第單位的第i種資源的估價。這種估價不是資種資源的估價。這種估價不是資源的市場價錢，而是根據(jù)資源在消費中做源的市場價錢，而是根據(jù)資源在消費中做出的奉獻而作出的估價，我們稱之為影子出的奉獻而作出的估價，我們稱之為影子價錢。價錢。 yi= W/bi 影子價錢是一種動態(tài)價錢，也是一種時機影子價錢是一種動態(tài)價錢，也是一種時機本錢。本錢。*TZYb*TTZC Xb YW1*1122.TTBmmZC B bYby by by b當bi變?yōu)閎i+ bi 時，*1 12 2.TiiimmZYby by bybby b *iiZZZyb*iiZy

30、b*iiZyb由于，由于，Z=CBTB-1b ，故有：，故有：CBTB-1=Y*T 影子價錢的經(jīng)濟意義是在其它條件不變的影子價錢的經(jīng)濟意義是在其它條件不變的情況下，單位資源變化所引起的目的函數(shù)情況下，單位資源變化所引起的目的函數(shù)最優(yōu)值的變化，即對偶變量就是第個約束最優(yōu)值的變化，即對偶變量就是第個約束條件的影子價錢。條件的影子價錢。 影子價錢是針對某一詳細的約束條件而言影子價錢是針對某一詳細的約束條件而言的，而問題中一切其他數(shù)據(jù)都堅持不變，的，而問題中一切其他數(shù)據(jù)都堅持不變，因此影子價錢也可以了解為目的函數(shù)最優(yōu)因此影子價錢也可以了解為目的函數(shù)最優(yōu)值對資源的一階偏導數(shù)。值對資源的一階偏導數(shù)。 影子

31、價錢，又稱為影子價錢，又稱為Lagrange乘子或靈敏率乘子或靈敏率系數(shù)，通常指線性規(guī)劃對偶模型中對偶變系數(shù)，通常指線性規(guī)劃對偶模型中對偶變量的最優(yōu)解。假設原規(guī)劃模型屬于在一定量的最優(yōu)解。假設原規(guī)劃模型屬于在一定資源約束條件下，按一定的生活耗費消費資源約束條件下，按一定的生活耗費消費一組產(chǎn)品并尋求總體效益目的函數(shù)最大化一組產(chǎn)品并尋求總體效益目的函數(shù)最大化問題，那么其對偶模型屬于對本問題中每問題，那么其對偶模型屬于對本問題中每一資源以某種方式進展估值以便得出與最一資源以某種方式進展估值以便得出與最優(yōu)消費方案相一致的一個企業(yè)的最低總價優(yōu)消費方案相一致的一個企業(yè)的最低總價值。該對偶模型中資源的估價表

32、現(xiàn)為相應值。該對偶模型中資源的估價表現(xiàn)為相應資源的影子價錢。資源的影子價錢。 當一切資源按最優(yōu)方式分配時，第當一切資源按最優(yōu)方式分配時，第i種資源種資源的影子價錢的影子價錢yi給出了第給出了第i種資源單位追種資源單位追加量的邊沿利潤。即，在原規(guī)劃模型最優(yōu)加量的邊沿利潤。即，在原規(guī)劃模型最優(yōu)基堅持不變的前提下，添加減少單位基堅持不變的前提下，添加減少單位第第i種資源，原規(guī)劃模型的目的函數(shù)值將添種資源，原規(guī)劃模型的目的函數(shù)值將添加或減少一個加或減少一個yi值，因此，人們可以根據(jù)值，因此，人們可以根據(jù)yi的大小，對第的大小，對第i種資源緊缺程度和經(jīng)濟效果種資源緊缺程度和經(jīng)濟效果作出判別，討論資源的優(yōu)

33、化利用，為企業(yè)作出判別，討論資源的優(yōu)化利用，為企業(yè)決策效力。決策效力。 影子價錢影子價錢yi隨著目的函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟意義隨著目的函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟意義和測度單位不同而有種種不同的詳細內容。如：和測度單位不同而有種種不同的詳細內容。如： 將將yi視為第視為第i種資源的邊沿值。它反映了一定條件種資源的邊沿值。它反映了一定條件下，添加減少單位第下，添加減少單位第i種資源占用量對目的函種資源占用量對目的函數(shù)添加或減少的影響程度。數(shù)添加或減少的影響程度。 將將yi視為第視為第i種資源時機本錢或時機損失，它反映種資源時機本錢或時機損失，它反映了企業(yè)假設放棄單位第了企業(yè)假設放棄單位第i種資源的利用，將

34、失去一種資源的利用，將失去一次獲利時機，其損失價值為次獲利時機，其損失價值為yi ；假設添加單位第；假設添加單位第i種資源的利用，企業(yè)將博得一次增值為種資源的利用，企業(yè)將博得一次增值為yi的獲利的獲利時機。時機。 將將yi看作一種附加值或附加價錢，它取決于企看作一種附加值或附加價錢，它取決于企業(yè)對第業(yè)對第i種資源運用效果的一種評價。假設第種資源運用效果的一種評價。假設第i種資源的單位市場價錢為種資源的單位市場價錢為mi ，當，當yi mi時，時，企業(yè)情愿購進這種資源。也就是說，假設第企業(yè)情愿購進這種資源。也就是說，假設第i種種資源追加一單位，作最優(yōu)分配時所得利潤資源追加一單位，作最優(yōu)分配時所得利潤yi比比本錢本錢mi要大，單位純利潤為要大，單位純利潤為yi-mi ，購進這種，購進這種資源有利可圖；假設資源有利可圖；假設yimi ，企業(yè)情愿有償轉，企業(yè)情愿有償轉讓這種資源，可獲單位純利讓這種資源