萬有引力中的能量

1、萬有引力中的能量作者:日期:物理訓(xùn)練課講義內(nèi)容訓(xùn)練目標(biāo)要求訓(xùn)練內(nèi)容訓(xùn)練課老師：李武星時間:五.人造衛(wèi)星、天體的運(yùn)動1.引力勢：質(zhì)量為m的物體離地心的距離為r,設(shè)地球的質(zhì)量為M,則物體的引力勢能（嚴(yán)格上是地球mgEpG和物體共有的，且取無限遠(yuǎn)引力勢能為零）Pr證：把物體移到無限遠(yuǎn)，引力做功等于引力勢能的減小量，只要求出引力的功，可求出引力勢能。把物體移動過程分為無限段過程,過程 r都為無限小.W1在r1到r2的過程中引力做功MmG r1MmG “2r1)w2i 1GMm ()ri2同理在r2到r3的過程中引力做功W2GMm ()r2W2在rn-1到rn的過程中引力做功-11GMm( )r n 1

2、 rnW1W2所以在ri到rn的過程中引力做功GMm(1-) r1無限遠(yuǎn)rn（引力勢能為零），EPm.m9G -2r ,適用于均勻球體或質(zhì)點(diǎn)問。1k -2 r注意：上述方法也是求r1k(一 ri1）r2的常用方法（積分）。2.宇宙速度:22c Mm v G m 第一宇宙速度（環(huán)繞速度），r rv得衛(wèi)星的速度GM丁 ，當(dāng)r=R時，衛(wèi)星繞地球表面作圓周運(yùn)動的速度GMRg 3R =7.9 103m/s.第二宇宙速度（脫離速度），由機(jī)械能守恒:12 八 Mm 12mv2 G - mv22 R 2衛(wèi)星脫離地球的條件是當(dāng)r時，v0,206得V2至少為,V2手現(xiàn)=11.2103m/s.1 2mv2第三宇宙速

3、度（逃逸速度）,已知M日=21030kg,r日地=1.51011m.12M日m一mv3G即脫離地球后相對太陽的速度至少V3；2GM 日舊地 =42.2 103m/s.注意：發(fā)射衛(wèi)星時發(fā)射的方向、地點(diǎn)和時間的選擇?地球繞太陽公轉(zhuǎn)的線速度 v=2 r日地/T=29.8 103m/s.脫離地球時，相對地球的速度 v3 =v3 -V =12.4 103m/s.即在地球上發(fā)射的速度V3=?時，才能使脫離地球時相對地球的速度v3 =12.4 103m/so12mv3由機(jī)械能守恒定律（地球和飛船組成的系統(tǒng)）：2M地mG Rm1一 mv2G M 地 m 12 因R地2 m的，所以 v3 V1v2 v3211.

4、22 12.42 10316.7103m/s3.天體運(yùn)動的軌道與能量從理論上可以證明行星的運(yùn)動（或衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動）軌道為三種圓錐曲線，即橢圓（包括圓）、拋物線和雙曲線。它們的運(yùn)動軌道跟哪些因素有關(guān)呢?（1）.橢圓軌道b3飛船脫離太陽條件（太陽和飛船組成的系統(tǒng)）：2日地22xy12b ,質(zhì)量為M的太陽在27T1,，、一2橢圓方程為a2b2,長半軸為a、短半軸為b,半焦距cYa其焦點(diǎn)S(c,0)處，如圖所示。質(zhì)量為m的行星繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動時，行星和太陽構(gòu)EImv2GMm成的引力勢能和動能之和(以下簡稱能量)為：2rO設(shè)行星在橢圓軌道頂點(diǎn)時的速率分別為V1和V2,行星繞太陽運(yùn)動時機(jī)械能守恒，即

5、12Mm12MmEmvG-mv1G2r2ac,要求出行星的能量，必須先求出行星在橢圓軌道的頂點(diǎn)1處的速率v1(即v1用M、G、a、c來表示)。v1可用二種方法求解，一種是根據(jù)機(jī)械能守恒定律和開普勒第二定律求得，另一種是根據(jù)機(jī)械能守恒定律和曲線運(yùn)動向心力公式求得。我們先根據(jù)機(jī)械能守恒定律和開普勒第二定律求解。12 - Mmmv2 G2a c o12-MmmvjG根據(jù)機(jī)械能守恒定律：2ac根據(jù)開普勒第二定律：v1(ac)v2(ac)0由上述二式解得:acv122,acGMacv22acGMo則行星做橢圓軌道運(yùn)動時具有的能量:12 Mm 1 a cE mv1 G - m -2a c 222、a c2

6、GM MmMm G 0c 2ao我們再根據(jù)機(jī)械能守恒定律和曲線運(yùn)動向心力公式求解。12mvi根據(jù)機(jī)械能守恒定律：2GaMm12Mmmv2G設(shè)橢圓頂點(diǎn)1和2的曲率半徑分別為1和2。貝11=2。在頂點(diǎn)1,由曲線運(yùn)動向心力公式:八MmG2(ac)2V1m-1。在頂點(diǎn)2,由曲線運(yùn)動向心力公式:MmG2(a(2V2m由上述四式解得:acV1a2c2GMac：V2a70GM（根據(jù)橢圓的半焦距c、長半軸a、短半軸b的關(guān)系:,2b,可得橢圓頂點(diǎn)1和2的曲2V112率半徑a1nb2a,頂點(diǎn)3和4的曲率半徑a3nE-mv2則行星做橢圓軌道運(yùn)動時具有的能量：2MmGGMmo2a0即行星的能量小于零時，行星做橢圓軌道

7、運(yùn)動。（2）拋物線軌道2拋物線的方程為yax,質(zhì)量為M的太陽在其焦點(diǎn)0，4a所示。設(shè)行星在拋物線軌道頂點(diǎn)時的速率為V0,質(zhì)量為做拋物線軌道運(yùn)動時機(jī)械能守恒定律，行星的能量等于在拋物1處，如圖星繞太陽m的行線軌道頂12Mm12EmV0GmV04aGMm點(diǎn)時的能量，其能量為：21/4a2。根據(jù)機(jī)械能守恒定律和開普勒第二定律求行星在拋物線軌道頂點(diǎn)時的速率V0比較復(fù)雜。下面我們根據(jù)等效類比法先求拋物線頂點(diǎn)的曲率半徑，再根據(jù)曲線運(yùn)動向心力公式求出行星在拋物線軌道頂點(diǎn)時的速率V0。因平拋運(yùn)動的軌跡為拋物線，如圖所示。設(shè)平拋運(yùn)動的初速度為V0,則平拋運(yùn)動的水平位移為xV0t，豎直高度為y1gt2一、,2,平

8、拋運(yùn)動的軌跡為y比較的軌跡與拋2aV。3時平拋運(yùn)動g2y-2x2V020物線y2ax的軌跡相同。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，物體在任一點(diǎn)（點(diǎn)2P）時的速度大小：VV02gy。122322把yax和g2av0代入上式得VV0V14ax在P點(diǎn)物體的法向加速度:anV0 g -V2avo3v2所以拋物線V ax曲率半徑與X關(guān)系:2 van32 2.3/2v (1 4a x )32avo2ao12拋物線Vax頂點(diǎn)(x=0)的曲率半徑：2aVo21也可直接求頂點(diǎn)的曲率半徑：g2ao2根據(jù)曲線運(yùn)動向心力公式，行星在拋物線Vax軌道頂點(diǎn)時的速率由:2MmVoG2-m-(1/4a2)得到Vo，8aGM行星做拋物線軌道

9、運(yùn)動時具有的能量:1212EmV04aGMmm(8aGM)4aGMm22即行星的能量等于零時，行星做拋物線軌道運(yùn)動。(3).雙曲線軌道2x2雙曲線的方程為a2n1,實半軸為a、虛半軸為b,半焦距cVxa,質(zhì)量為M的太陽在其焦點(diǎn)S(c,0)處，如圖行星在雙曲線軌道頂點(diǎn)時的速率為V0,質(zhì)量為m的行星繞曲線軌道運(yùn)動時機(jī)械能守恒定律，行星的能量等于在雙2-2Vab,漸近線方程為所示。設(shè)太陽做雙曲線軌道12cMmE一mV0G頂點(diǎn)時的能量，其能量為：2ca設(shè)行星遠(yuǎn)離太陽時的速率為V,因rsinSG,又因OED與OSG全等，故rsinSGDEb根據(jù)開普勒第二定律：VrsinVbV0(ca)1 2一 mv2

10、o12Mmmv0G根據(jù)機(jī)械能守恒定律：2ca雙曲線的半焦距c、實半軸a、虛半軸b的關(guān)系:22.2Cab。V0由上述三式解得行星在雙曲線軌道頂點(diǎn)時的速率:一caGMa(ca)o得行星做雙曲線軌道運(yùn)動時具有的能量：2E1mv2GMmImGMcaGmGMm02ca2a（ca）ca2ao即行星的能量大于零時，行星做雙曲線軌道運(yùn)動。V3V1.3GM1 .以、2、2r的速度沿地面發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，不計空氣阻力，求衛(wèi)星的周期（已知地球的半徑R=6.4106m）（答案：1.42104s）2 .3 .宇宙飛船繞地球中心作圓周運(yùn)動，飛船質(zhì)量為m,軌道半徑為2R（R為地球的半徑，已知地球的質(zhì)量為M）,現(xiàn)將飛船轉(zhuǎn)移到另一半徑為4R新的圓軌道上，如圖所示.4 .求（1）轉(zhuǎn)移時所需要的能量.5. （2）如果