克萊姆法則及證明

1、第7節(jié) 克萊姆（Cramer）法則、線性方程組“元線性方程組是指形式為：&阿+如勺+ %召対（1）匸是方程的個數(shù)，I，'''<y ¥ Hi y的方程組，其中 ；打代表:個未知量，.- 丄|稱為方程組的系數(shù)，I-i稱為常數(shù)項。線性方程組的一個解是指由、個數(shù)：' ! ' I組成的有序數(shù)組 !'-上J ,當(dāng)、個« y m i y尸 戶 Hu戶未知量；：打分別用|代入后，式（1）中每個等式都成為恒等式。 方程組（1） 的解的全體稱為它的解集合， 如果兩個線性方程組有相同的解集合，就稱它們是同解方程組。為了求解一個線性方程

2、組，必須討論以下一些問題：（1）.這個方程組有沒有解?（2）.如果這個方程組有解，有多少個解?（3）.在方程組有解時，解之間的關(guān)系，并求出全部解。本節(jié)討論方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等（即- ；1 ）的情形。、克萊姆法則定理1 （克萊姆法則）如果線性方程組的系數(shù)行列式:D-那么這個方程組有解，并且解是唯一的，這個解可表示成:(3)其中r是把丄中第.列換成常數(shù)項宀所得的行列式，即%"劃°li+La2 一a2i-l 婦眄i+L- %知3 S%+】也詞。給出。分析：定理一共有 3個結(jié)論：方程組有解；解是唯一的；解由公式（3）因此證明的步驟是:第一，把_代入方程組，驗(yàn)證它確實(shí)是解。這

3、樣就證明了方程組有解，并且（3）是一個解，即證明了結(jié)論 與第二，證明如果1'：是方程組（2）的一個解，那么一定有2D1。這就證明了解的唯一性，即證明了結(jié)論 -。當(dāng)i =丿時; 當(dāng)"丿詠工阪嗎t(yī) =砌嗎+如勾十+為冷=門iu當(dāng)? = J時匚 當(dāng)沖丿時。接下來證明定理。首先，證明（3）確實(shí)是（2）的解。將行列式按第列展開得:DAc仏z. _ H、Xj = （z = 1,2/- ）其中是行列式一中元素.；的代數(shù)余子式?，F(xiàn)把代入第：個方程的左端，得：厲*1 土+%書+喝才二孑（如耳+知場+。皿2=萬%山血4毎婦4仏*41）+知厲血乜&2 u 婦 +細(xì)您九+毎厶+乜4J二了 I

4、A （細(xì)41 + 如12 + ' '' + &屏M）+俎+ 知血" + /歆&J+'' 乜鶴4】+au4a+，+ 弧A）=b.D =bj.D這說明將（3）代入第H；/；- -/"1'1個方程后，得到了一個恒等式，所以（3）是（2）的一個解。其次，設(shè)1' :是方程組（2）的一個解，那么，將】！代入（2）后，得到】個恒等式：訶5巾”PA %鬥6+務(wù)刈i W# =bt(4)用系數(shù)行列式的第 iG=U-;»） 列的代數(shù)余子式-：'j1-：' - "：!依次去乘（4）中個恒等得

5、到:£砧+如4巾+十 $4眄14心+ aiic2 +眄*=為禺f血45 +總曲4心 1 仏4仇=®4將此"個等式相加，得:(如4+也$ +附&>i+血九+也禺+知如勺+(fliA + +% 4k>= M + 也+爲(wèi)4從而有:叨如咻譏訕這就是說，如果-一J - . 1是方程組（2）的一個解，那么一定有 -，所以方程組只有一個解。三、齊次線性方程組在線性方程組中，有一種特殊的線性方程組，即常數(shù)項全為零的方程組，稱為齊次線性方程組。顯然，齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)?"- _"''就是它的解，這個解X、稱為零解；

6、其他的，即！不全為零的解（如果還有的話），稱為非零解。所以，對于齊次線性方程組，需要討論的問題，不是有沒有解，而是有沒有非零解。這個問題與齊次線性方程組解的個數(shù)是有密切關(guān)系的。如果一個齊次線性方程組只有零解，那么這個方程組就只有唯一解；反之，如果某個齊次線性方程組有唯一解，那么由于零解是一個解，所以這個方程組不可能有非零解。對于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同的齊次線性方程組，應(yīng)用克萊姆法則，有推論1如果齊次線性方程組如坷+如冷+孤為-01+2+，=c的系數(shù)行列式不等于零，那么（5）只有零解。(5)推論2齊次線性方程組缶阿+ %帀+孤召=0ax + ax2 +' - + a2n =01耳1咼十

7、知再+細(xì)耳=0有非零解的必要條件是它的系數(shù)行列式等于零。四、例子例1解線性方程組與兀十可-再+=-3嗎 _總+西斗2百=42無+觀+ 2巧-x4 = 7碼 + 2巧+兀=6解：方程組的系數(shù)行列式：311 -1 D =2 11 0-1 11 2 = T3T2 -12 1所以根據(jù)克萊姆法則，這個線性方程組有唯一解。又因-1-1-1-13313-11412=-2672-1621131-3131-1-31-1421-114= -39D廣217-1212710611026A-13所以這個線性方程組的唯一解為:= L = -1D例2解線性方程組2 - 冷十3 十- 3x2 + 3 也 +3無-礦西+3嗎屯

8、+ 3xs-解：方程組的系數(shù)行列式:2-132D3323-1-12-7003-16-13226325-3323532= -70fD2 =3-1-1233-124-13-1343-1這個線性方程組有唯一解。又因6-702622-136所以根據(jù)克萊姆法則,A3523323353433-1-134-70所以這個線性方和組的唯一解為:=2丸無=2=1DD已知三次曲線在四個點(diǎn)處的值分別為：一 一1：一-，試求其系數(shù) m止。解：將三次曲線在4點(diǎn)處的值代入其方程，得到關(guān)于'I?的線性方程組:-6所以根據(jù)克萊姆法則,-1-1576-72-8-1一-172+ 角 + 曲=6十鬥(T)十 CJ/-1)2

9、+ a3(-l)3 = 6+ 曲 2 + 令，+ dCj23 = 6 flfl + ol(-2) + fla(-2)a +a3(-2)3它的系數(shù)行列式是范德蒙行列式:1 1 1 111111 -1 (-1)3 (-1)31-11-11 2 22 2312 481 -2 (-2)a (-2)31-2 4-8D= 720這個線性方程組有唯一解。又因-_ ，即所求的三次曲線方程為-二上.上例4如果齊次線性方程組珂+可+也+= 0珂 + 2x3 += 0畫+花一？住十看=0旺+耳+込-bq = 0有非零解，那么必須滿足什么條件?解：由克萊姆法則知, 此有齊次線性方程組有非零解的必要條件是其系數(shù)行列式等于零,又由:101 a111110-3110ab1 -3 111 a0 T Ip =+l)3-4A0 a b-a,，從而尬0必須滿足的條件為（亦1）2=4方。注 用克萊姆法則求解系數(shù)行列式不等于零的' 元非齊次線