mathematica教程第五章線性代數(shù)運算命令與例題ppt課件

1、北京交通大學l5.1向量與矩陣的定義向量與矩陣的定義l數(shù)學上矩陣是這樣定義的數(shù)學上矩陣是這樣定義的: 由個數(shù)排成由個數(shù)排成m行行n列的列的數(shù)表數(shù)表:l 稱為稱為m行行n列矩陣，特別，當列矩陣，特別，當m=1時就是線性代時就是線性代數(shù)中的向量。數(shù)中的向量。l記作記作: l兩個矩陣稱為同型矩陣。兩個矩陣稱為同型矩陣。mnmmnnaaaaaaaaa212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA2122221112115.1.1輸入一個矩陣輸入一個矩陣命令形式命令形式1:Tablefi,j，i，m，j，n功能功能: 輸入矩陣，其中輸入矩陣，其中f是關于是關于i和和j的函數(shù)，給出的函數(shù)，給出i

2、， j項的值項的值.命令形式命令形式2:直接用表的形式來輸入直接用表的形式來輸入功能功能:用于矩陣元素表達式規(guī)律不易找到的矩陣的輸入。用于矩陣元素表達式規(guī)律不易找到的矩陣的輸入。注意注意:1. 要看通常的矩陣形式可以用命令要看通常的矩陣形式可以用命令: MatrixForm%2. 對應上述命令形式，輸入一個向量的命令為對應上述命令形式，輸入一個向量的命令為 Tablefj，j,n或直接輸入一個一維表或直接輸入一個一維表a1,a2,an，這里，這里a1,a2,an是數(shù)或字母。是數(shù)或字母。 例例1.輸入矩陣輸入矩陣A= , 向量向量b=1,4,7,-3。解解:Mathematica命令命令In1:

3、= a=12，-3，0，2，1，56，-8，-45，21，91，3，6，81，13，4Out1:= 12，-3，0，2，1，56，-8，-45，21，91，3，6，81，13，4In2:=b=1, 4, 7, -3 Out2:= 1, 4, 7, -34138163912145856120312例2. 輸入一個矩陣解:Mathematica命令In3:=TableSini+j，i，5，j，3Out3:=Sin2，Sin3，Sin4，Sin3，Sin4，Sin5，Sin4，Sin5，Sin6， Sin5，Sin6，Sin7，Sin6，Sin7，Sin8In4:=MatrixForm% Out4:

4、=Sin2 Sin3 Sin4Sin3 Sin4 Sin5Sin4 Sin5 Sin6Sin5 Sin6 Sin7Sin6 Sin7 Sin8 8Sin7Sin6Sin7Sin6Sin5Sin6Sin5Sin4Sin5Sin4Sin3Sin4Sin3Sin2Sin5.1.2 幾個特殊矩陣的輸入幾個特殊矩陣的輸入1. 生成生成0矩陣矩陣命令形式命令形式: Table0，m，n功能功能:產(chǎn)生一個的產(chǎn)生一個的0矩陣矩陣2. 生成隨機數(shù)矩陣生成隨機數(shù)矩陣命令形式命令形式: TableRandom ，m，n功能功能: 產(chǎn)生一個的隨機數(shù)矩陣產(chǎn)生一個的隨機數(shù)矩陣 3.生成上三角矩陣生成上三角矩陣命令形式命令

5、形式: TableIfi=j， a， 0， i，m，j，n功能功能: 產(chǎn)生一個非產(chǎn)生一個非0元全為數(shù)元全為數(shù)a的下三角矩的下三角矩陣陣 5.生成三對角矩陣生成三對角矩陣命令形式命令形式: TableSwitchi-j，-1，ai，0，bi，1， ci-1，-，0，i，m，j，n功能功能: 產(chǎn)生一個的三對角矩陣產(chǎn)生一個的三對角矩陣 6.生成對角矩陣生成對角矩陣命令形式命令形式:DiagonalMatrixlist功能功能:使用列表中的元素生成一個對角矩陣使用列表中的元素生成一個對角矩陣.7.生成單位矩陣生成單位矩陣命令形式命令形式:IdentityMatrixn功能功能:生成生成n階單位陣階單位

6、陣n例例3. 構造的構造的0矩陣。矩陣。n解解: Mathematica命令命令nIn5:=Table0，4，3nOut5:= 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0nIn6:= MatrixForm%nOut6:=n 0 0 0n 0 0 0n 0 0 0n 0 0 0n例例4. 構造一個的隨機數(shù)矩陣。構造一個的隨機數(shù)矩陣。n解解: Mathematica命令命令nIn7:=TableRandom ，2，5nOut7:=0.46223， 0.545335， 0.423938， 0.635765， 0.792571， n 0.802126， 0.372146， 0

7、.114424， 0660867， 0.0163719n例例5. 構造非構造非0元全為元全為2的的45上三角矩陣。上三角矩陣。n解解:Mathematica命令命令nIn8:=TableIfi=j，1，0，i，4，j，4nOut10=1，0，0，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，1，1，1nIn11:=MatrixForm%nOut11=1 0 0 0n 1 1 0 0n 1 1 1 0n 1 1 1 1n例7. 生成三對角矩陣 n解:Mathematica命令nIn12:=TableSwitchi-j，-1，a，0，b，1，c，_，0，i，6，j，6nOut12=b，a，0，0，0，0

8、，c，b，a，0，0，0，0，c，b，a,0,0，n 0，0，c，b，a，0，0，0，0，c，b，a，0，0，0，0，c，bn例8. 生成對角矩陣n解:Mathematica命令nIn13:=DiagonalMatrixa，b，c，dnOut13=a，0，0，0，0，b，0，0，0，0，c，0， 0，0，0，dbcabcabcabcabcab00000000000000000000dcban例例9.生成生成5階單位矩陣。階單位矩陣。n解解:Mathematica命令命令nIn14:=a=IdentityMatrix5nOut14=1，0，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，1，0 0， 0

9、，0，0，1，0，0，0，0，0，1 n In15:=MatrixForm%n Out15=1 0 0 0 0n 0 1 0 0 0n 0 0 1 0 0n 0 0 0 1 0n 0 0 0 0 15.2向量與矩陣的運算向量與矩陣的運算 5.2.1基本運算基本運算運算運算功能功能命令形式命令形式矩陣加法和減法矩陣加法和減法將兩個同型矩陣相加將兩個同型矩陣相加(減減)A B數(shù)乘數(shù)乘將數(shù)與矩陣做乘法將數(shù)與矩陣做乘法kA其中其中k是一個數(shù)，是一個數(shù)，A是一個矩陣是一個矩陣矩陣的乘法矩陣的乘法將兩個矩陣進行矩陣相將兩個矩陣進行矩陣相乘乘B其中乘號其中乘號.使用鍵盤上的小數(shù)點使用鍵盤上的小數(shù)點矩陣的求逆

10、矩陣的求逆求方陣的逆求方陣的逆InverseAA必須為方陣必須為方陣矩陣的轉置矩陣的轉置.求矩陣的轉置求矩陣的轉置TransposeAA可以是任意矩陣可以是任意矩陣向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積(點積點積) 求同維向量的數(shù)量積求同維向量的數(shù)量積v1.v2其中乘號其中乘號.使用鍵盤上的小數(shù)點使用鍵盤上的小數(shù)點例例10. 計算計算 解解:Mathematica命令命令In16:= 1，3，7，-3，9，-1+2，3，-2，-1，6，-7Out16=3， 6， 5，-4， 15， -8例例11 計算計算解解:Mathematica命令命令In17:=51，2，3，3，5，1Out17=5， 10， 15，

11、 15， 25， 57612321937311533215例12. 求向量 與 的點積。解:Mathematica命令In18:= a， b， c.e， f， gOut18= a e + b f + c g例13. 求向量a，b，c與矩陣 的乘積。解:Mathematica命令In19:= a， b， c.1， 2，3， 4，5， 6Out19=a + 3 b + 5 c， 2 a + 4 b + 6 ccb,a,gf,e,654321例例14. 求矩陣求矩陣 與向量與向量a，b的乘積。的乘積。解解:Mathematica命令命令In20:=1，2，3，4，5，6.a， bOut20:=a +

12、 2 b， 3 a + 4 b， 5 a + 6 b 例例15:求矩陣求矩陣 與與 的乘積。的乘積。解解:Mathematica命令命令In21:= a=1，3，0，-2，-1，1In22:=b=1，3，-1，0，0，-1，2，1，2，4，0，1In23:=a.bOut23:=1， 0， 5， 3， 0， -1， 0， 0654321112031104212100131例例16. 求矩陣求矩陣 的逆。的逆。解解:Mathematica命令命令In24:=A=1，2，3，4，2，3，1，2，1，1，1，-1，1，0，-2，-6Out24=1，2，3，4，2，3，1，2，1，1，1，-1，1，0，

13、-2，-6In25:=InverseAOut25=22，-6，-26，17，-17，5，20，-13，-1，0，2，-1，4，-1，-5，36201111121324321n例例17. 求矩陣求矩陣 的逆。的逆。n解解:Mathematica命令命令nIn26:= Inversea，b，c，dnOut26:=n例例18. 求矩陣求矩陣 的轉置。的轉置。n解解:Mathematica命令命令nIn27:=A=1，2，3，4，2，3，4，5，3，4，5，6nOut27:=1， 2， 3， 4， 2， 3， 4， 5， 3， 4， 5， 6nIn28:=TransposeAnOut28:=1， 2，

14、 3， 2， 3， 4， 3， 4， 5， 4， 5， 6 dcbaadbca,adbcc,adbcb,adbcd654354324321A5.2.2. 方陣的運算方陣的運算求行列式求行列式 命令形式命令形式:DetA功能功能:計算方陣計算方陣A的行列式的行列式求方陣的冪求方陣的冪命令形式命令形式:MatrixPowerA，n功能功能:計算方陣計算方陣A的的n次冪。次冪。求矩陣的求矩陣的k階子式階子式命令形式命令形式:MinorsA，k功能功能:求出矩陣求出矩陣A的所有可能的的所有可能的k階子式的值。階子式的值。例19 ,求A的行列式解:Mathematica命令In29:=Deta，b，c，

15、d Out29:=-bc+ad 例20. 求矩陣 的2次冪。解:Mathematica命令In30:=MatrixPower1，2，3，4，2Out30:=7， 10， 15， 22 dcbaA4321例21. 求矩陣 的所有2階子式的值。解:Mathematica命令In31:=Minors1，2，3，2，3，4，2Out31:=-1， -2， -1432321l解：年齡組為解：年齡組為5歲一段，故將時間周期也取歲一段，故將時間周期也取5年。年。15年經(jīng)過年經(jīng)過3個周期。用個周期。用k=1，2，3分別表示第一、二、三個周期，分別表示第一、二、三個周期，xi(k)表示第表示第i個年齡組在第個年

16、齡組在第k個周期的數(shù)量。由個周期的數(shù)量。由題意，有如下矩陣遞推關系：題意，有如下矩陣遞推關系：l即即 l利用利用Mathematica計算有：計算有：lIn32:=L=0，4，3.1/2，0，0，0，1/4，0; x0=1000，1000，1000;lIn33:= Dox0=L.x0;Printx0， 3lOut33：= 7000， 500， 250l 2750， 3500， 125l 14375， 1375， 875l結果分析：結果分析：l 15年后，農場飼養(yǎng)的動物總數(shù)將達到年后，農場飼養(yǎng)的動物總數(shù)將達到16625頭，其中頭，其中05歲的有歲的有14375頭，頭，占總數(shù)的占總數(shù)的86.47%

17、，610歲的有歲的有1375頭，占頭，占8.27%，1115歲的有歲的有875頭，頭，占占5.226%，15年間，動物總增長年間，動物總增長13625頭，總增長率為頭，總增長率為13625/3000=454.16%。 3 , 2 , 1,) 1() 1() 1(04/10002/1340)()()(321321kkxkxkxkxkxkx)()()()(,04/10002/13403 , 2 , 1,),1()(321kxkxkxkxLkkLxkx5.3解線性方程組解線性方程組命令形式命令形式: Solveeqns，x1，x2，功能功能:求解以求解以x1，x2，為未知量的方程或紡方程組。為未知量

18、的方程或紡方程組。注注:eqns表示方程或方程組，其中的等號用兩個等號表示方程或方程組，其中的等號用兩個等號“=”輸入。輸入。例例23 求方程組求方程組 的解。的解。解解:Mathematica命令命令In34:=Solve2x+3y= =4，x-y= =1，x，yOut34:= 1432yxyx52y,57x例例24. 求齊次方程求齊次方程 的解。的解。解解:Mathematica命令命令 In35:=Solve5x1+4x2+3x3+2x4+x5=0，x1 Out35= In36:=Solve5x1+4x2+3x3+2x4+x5=0，x5Out36=x5 - -5 x1 - 4 x2 -

19、3 x3 - 2 x40234554321xxxxx5x52x43x34x2x1例例25. 求非齊次方程求非齊次方程 的解。的解。解解:Mathematica命令命令In37:=Solve2x1+7x2+3x3+x4=6，3x1+5x2+2x3+2x4=4，9x1+4x2+x3+7x4=2， x1，x2，x3，x4Out37= 2749422536372432143214321xxxxxxxxxxxx11x4x31151110 x2,119x411x3112x1命令形式命令形式1:EigenvaluesA 功能功能:求出方陣求出方陣A的全部特征值。的全部特征值。命令形式命令形式2:Eigenv

20、aluesNA 功能功能: 求出方陣求出方陣A的全部特征值的數(shù)值解。的全部特征值的數(shù)值解。注意注意:命令命令1有時不能求出特征值，而命令有時不能求出特征值，而命令2總能求出特征值的近總能求出特征值的近似值似值例例26. 求矩陣求矩陣 的特征值。的特征值。解解:Mathematica命令命令In38:=A=2.，1.，1.，1.，2.，1.，1.，1.，2.Out38=2.， 1.， 1.， 1.， 2.， 1.， 1.， 1.， 2.In39:=EigenvaluesAOut39=4.， 1.， 1.211121112A例例27. 求矩陣求矩陣 的特征值。的特征值。解解:Mathematica

21、命令命令In40:=A=2，1，1，1，2，1，1，3，2;In41=EigenvaluesNAOut41=4.56155， 1.， 0.438447得三個特征值得三個特征值4.56155， 1.， 0.438447. 211121112A 例例28. 求矩陣求矩陣 的特征值。的特征值。 解解: Mathematica命令命令 In43:=A=3，7，-3，-2，-5，2，-4，-10，3; In44:=EigenvaluesNA Out44=1.， 1.77636 10 -15 + 1. I， 1.77636 10 -15 - 1. I 得三個特征值得三個特征值1.，1.77636 10 -15 + 1. I，1.77636 10 -15 - 1. I 3104252373A5.4.2 求矩陣特征向量命令求矩陣特征向量命令命令形式命令形式1:EigenvectorsA 功能功能:求方陣求方陣A全全部特征向量。部特征向量。命令形式命令形式2: EigenvectorsNA 功能功能:求方陣求方陣A全全部特征向量的數(shù)值解。部特征向量的數(shù)值解。例例29. 求矩陣的特征向量。求矩陣的特征向量。解解:Mathematica命令命令In47:=A=2.，1.，1.，1.，2.，1.，1.，1.，2.Out47=2.， 1.， 1.， 1.， 2.， 1.， 1.，