北京四中---高中數(shù)學高考綜合復(fù)習專題十七算術(shù)平

1、高中數(shù)學高考綜合復(fù)習 專題十七 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)一、知識網(wǎng)絡(luò) 二、高考考點1、運用重要不等式a2+b22ab（a、bR）或 （a、bR+）判斷或證明所給不等式的命題是否成立；2、在給定條件下求有關(guān)式的取值范圍；3、在給定條件下求有關(guān)函數(shù)的最大值或最小值；4、解決實際應(yīng)用問題，以最優(yōu)化問題為主要題型。三、知識要點（一）不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)是證明與求解不等式的基本依據(jù)，為了便于記憶和運用，我們將不等式的性質(zhì)劃分為“基本性質(zhì)”和“運算性質(zhì)”兩個類別。1、 關(guān)于不等式的“基本性質(zhì)”（1）對稱性：a>b b （ 2 ）傳遞性： a>b,b>c a>c （ 3 ） “ 數(shù)

2、加 “ 法則： a>b a+c>b+c 推論： a+b>c a>c-b （移項法則） （ 4 ） “ 數(shù)乘 ” 法則： a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac 2 、關(guān)于不等式 “ 兩邊運算 ” 的性質(zhì) （ 1 ）同向不等式兩邊 “ 相加 ” ： a>b,c>d a+c>b+d; （ 2 ）同向的正數(shù)不等式兩邊 “ 相乘 ” ： a>b>0 ， c>d>0 ac>bd ； （ 3 ）正數(shù)不等式兩邊 “ 乘方 ” ： a>b>0 a n >b n >0(n N

3、 * ; （ 4 ） 正數(shù)不等式兩邊 “ 開方 ” 認知：上述所有不等式的性質(zhì)均可應(yīng)用于證明不等式，但只有部分不等式的性質(zhì)，可應(yīng)用于解不等式，可應(yīng)用于求解不等式（保證等價變形）的性質(zhì)為 1 （ 1 ）； 1 （ 3 ）； 1 （ 4 ）及其 2 （ 3 ）； 2 （ 4 ） （二）基本定理及其推論 定理 1 ：如果 a,b R ，那么 a 2 +b 2 2ab （當且僅當 a=b 時等號成立） 推論（平方和不等式）： （當且僅當 a=b 時等號成立） 定理 2 ：如果 a,b R + ，那么 （當且僅當 a=b 時等號成立） 推論 1 （和的平方不等式）：若 a,b R + , 則（ a+b

4、） 2 4ab （當且僅當 a=b 時等號成立） 推論 2 （最值定理）：設(shè) x,y 均為正數(shù)，則 （ 1 ）當積 xy 為定值 P 時，和 x+y 有最小值 （當且僅當 x=y 時取得）； （ 2 ）當和 x+y 為定值 S 時，積有最大值 （當且僅當 x=y 時取得）； 四、經(jīng)典例題 例 1 （ 1 ）若 x,y R + 且 的最大值 . （ 2 ）若 x,y R 且 xy>0 ， x 2 y 2 ，求 u xy x 2 的最小值 . 分析：注意運用最值定理解題的要領(lǐng)：一正二定三相等 （ 1 ）欲求積 的最大值，首先致力于 “ 湊因子 ” ，為湊出已知條件下 “ 和為定值 ” 的正數(shù)

5、之積而變形 u ，若 u 的表達式的部分因子在根號外，則可考慮使這一部分進入根號或考察 u 2 ： （ 2 ）欲求和 xy+x 2 的最小值，首先致力于 “ 湊項 ” ，為湊出已知條件下 “ 積為定值 ” 的正數(shù)之和而變形 u ，若有可能，將 u 化為一元函數(shù)，問題分析會更明朗一些。 解： （ 1 ）注意到這里 x>0 ， u>0 ， = （當且僅當 ） 時等號成立）。 （ 2 ）由已知得 =3( 當且僅當 時成立 u min =3 （當且僅當 x=1 且 y=2 時取得） 點評：遇 “ 積 ” 湊因子，在主體部分湊出 “ 若干因子之和為定值 ” 的形式； 遇 “ 和 ” 則湊項，

6、在主體部分湊出 “ 若干項之積為定值 ” 的形成，完成此番設(shè)想后，進而再考察有關(guān)各數(shù) “ 相等 ” 的可能性。 例 2 （ 1 ）若 x,y,a,b R + ， ab ，且 ，求 u x+y 的最小值； （ 2 ）若 0 ， a ， b 為常數(shù)，且 ab>0 ，求 的最小值 . 分析： 對于（ 1 ）如何利用 , 這一條件通常用法多是作 “1 的替換 ” 或作 “ 三角替換 ” ； 對于（ 2 ），注意到這里 0 ，并且兩個分母之和為 1 ： x+(1-x=1, 在 (1 的基礎(chǔ)上易于尋出解題思路。 解： （ 1 ） 解法一（利用 “1 的替換 ” ）： x,y,a,b R + 解法二（

7、運用 “ 三角替換 ” ）：注意到 令 則有 x=asec 2 ， y=bcsc 2 u= asec 2 +bcsc 2 =(atan 2 +bcot 2 +(a+b ( 當且僅當 atan 2 bcot 2 時等號成立 (2 注意到這里 0 ，且 x+(1-x=1 ， 令 x=cos 2 , 則 1-x=sin 2 ( ( 當且僅當 時等號成立） y min =(a+b 2 ( 當且僅當 時取得 點評 : 對于 (1, 是明顯的 ; 對于 (2,x+(1-x=1 是隱蔽的，今后解決函數(shù)或代數(shù)的其它問題 , 也要注意認知并利用問題中隱蔽的等量關(guān)系或不等關(guān)系。 例 3 （ 1 ）設(shè) a,b,c

8、是 RtABC 的三邊， c 為斜邊之長，且 a+b+c=4, 試求 C 的取值范圍； （ 2 ）設(shè)三個數(shù) a,b,c 成等比數(shù)列，且 a+b+c=1 ，試求 b 的取值范圍。 分析：在一定條件下求某個變量的取值范圍，基本解題思路有二： (i 由已知條件與重要不等式導(dǎo)出關(guān)于 的不等式，而后由這一不等式解出 的取值范圍； （ ii ）立足于已知條件中的等式（內(nèi)因），借助已知的重要不等式（外因），內(nèi)外結(jié)合推導(dǎo) 的取值范圍。 解： （ 1 ）由已知得 c 2 =a 2 +b 2 ( 利用三角形的特殊性 4-c=a+b （以 c 為主元整理或變形） 注意到 a,b R + 且滿足 2 （ a 2 +b

9、 2 ） (a+b 2 將 ， 代入 得 2c 2 (4-c 2 再注意到這里 a+b>c ( 利用三角形的普通性質(zhì) a+b+c>2c 又 a+b+c=4 c<2 于是由 、 得 所求 C 的取值范圍為 （ 2 ）由已知得 b 2 =ac 1-b=a+c ( 以 b 為主元整理或變形 為利用重要不等式而討論：由題設(shè)知 a 、 c 同號 （ i ）當 a,c 同為正數(shù)時， ( 當且僅當 a=c 時等號成立 由 得 a+c2|b| 再由 得 1-b2|b| 2|b|+b1 若 b>0 ，則由 得 ； 若 b<0 ， 則由 得 -1b<0 由 解得 -1b<

10、0 或 (ii 當 a,c 同為負數(shù)時， 由 、 得 1-b-2|b| 2|b|-b-1 無解 于是綜合（ i ）（ ii ）得所求 b 的取值范圍為 -1 ， 0 ） （ 0 ， 點評：（ 1 ）、（ 2 ）解題的共同之處，是立足于已知的等式，借助算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)大小的不等式導(dǎo)出有關(guān)變量 的取值范圍，這也展示了這一類問題的基本解法。 例 4 （ 1 ）已知 a>b>c ，不等式 恒成立，求 k 的最大值 （ 2 ）已知 x,y R + , 且不等式 恒成立，求 a 的最小值 分析：此恒等式問題與最值有著千絲萬縷的聯(lián)系，而尋求有關(guān)式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。 解

11、： （ 1 ） a>b>c 原不等式恒成立 恒成立 令 則 ku 的最小值 又 ( 分子主動與分母溝通聯(lián)系 4 （當且僅當 時等號成立） u min =4( 當且僅當 a+c=2b 時取得 于是由 、 得 k4 ，即 k 的最大值為 4 （ 2 ）不等式 恒成立 恒成立 恒成立 ( 為便于利用重要不等式而變形 恒成立 ( 化生為熟轉(zhuǎn)化成功 令 則 au 的最大值 x ， y R + ( 當且僅當 x=y 時等號成立 ( 當且僅當 x=y 時等號成立 ( 當且僅當 x=y 時取得 于是由 、 得 ，即 a 的最小值為 例 5 已知 a,b R + ，且 a+b=1 ，求證： （ 1

12、） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） 分析：對于條件不等式的證明，條件的適當運用是證明的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對于題設(shè)條件中的等式的應(yīng)用，主要有三個方面 （ i ）直接代入：以 a+b=1 或（ a+b ） 2 =1 代入； （ ii ） 換元轉(zhuǎn)化：令 a=cos 2 , （ iii ）借助 “ 外因 ” 聯(lián)合推理：由已知等式聯(lián)想有關(guān)的重要不等式，二者聯(lián)合導(dǎo)出已知條件的延伸。 聯(lián)想 1 ：由已知等式本身聯(lián)想重要不等式： a,b R + ，且 （ 1 ）由左邊 a+b 聯(lián)想重要不等式 （當且僅當 a=b 時等號成立） （當且僅當 a=b 時等號成立） （當且僅當 a=b 時等號成立

13、） （ 2 ） （當且僅當 a=b 時等號成立） 聯(lián)想 2 ：由已知等式的等價變形聯(lián)想重要不等式 （當且僅當 a=b 時等號成立） （當且僅當 a=b 時等號成立） 這與聯(lián)想 1 中推出的結(jié)果殊途同歸 . 對已知條件作以上挖掘延伸之后 , 再證明所給例題便是水到渠成。 證明：（ 1 ） 證法一 ( 分析轉(zhuǎn)化、化生為熟 ： 原不等式 又 不等式（ * ）成立， 原不等式成立。 證法二：（化整為零，化隱為明）； 注意到 當且僅當 時等號成立 同理 ( 當且僅當 時等號成立 ( 當且僅當 時等號成立 (2 利用前面的推論，左邊 (3 略 (4 利用前面的結(jié)論 , 左邊 ( 當且僅當 時等號成立 (5

14、 利用前面的推論得 為了構(gòu)造同向不等式 , 對左邊配方 : 左邊 ( 當且僅當 時等號成立 ( 當且僅當 時等號成立 ( 當且僅當 時等號成立 ( 當且僅當 時等號成立 (6 解法一 :( 為了構(gòu)造 “ 同向不等式 ” 硬性提取 后再作變形 : 左邊 ( 當且僅當 時等號成立 ( 當且僅當 時等號成立 左邊 ( 當且僅當 時等號成立 解法二 : 仿 (5 之解法 , 留給同學們練習 點評（ 1 的證明告訴我們 , 對于感覺生疏的不等式的證明 , 要注意通過等價變形來認知它的本來面目 ; 其它問題的證明則告訴我們 , 條件不等式的證明中 , 已知條件延伸的主要方向 , 品悟本例的證明思路 , 對

15、證明其它的條件不等式具有重要的啟示或遷移作用。 例 6 、（ 1 ）已知 x,y R + ，且 x+y=1 ，試求 (i 的最小值； （ ii ） 的最小值。 （ 2 ）已知 a,b R + ，且 a 3 +b 3 =2 ，求證： （ i ） ab1; (iia+b2 分析： 對于（ 1 ）本質(zhì)上是例 5 （ 5 ）（ 6 ）的改作題； 對于（ 2 ），仍可仿照例 5 中已知條件的延伸手法來尋覓解題思路 解：（ 1 ）從略 (2 證明：注意到已知條件 a 3 +b 3 =2 (a+b(a 2 +b 2 -ab=2 (i 由 式左邊聯(lián)想重要不等式 a 2 +b 2 2ab 由 得 a 2 +b

16、2 -abab>0 由 得 ( 當且僅當 a=b=1 時等號成立 由 、 得 （當且僅當 a=b=1 時等號成立） （ ii ）由 式左邊聯(lián)想重要不等式 由 、 、 得 ( 當且僅當 a=b=1 時等號成立 （ a+b ） 3 8 a+b2( 當且僅當 a=b 時等號成立 命題得證 點評：前事不忘，后事之師，學習中要注意知識、方法與策略的遷移，對于（ 2 ），也可以根據(jù)已知條件 a 3 +b 3 =2“ 實施等量替換 ” ，只是效果不一定理想，事實上， 設(shè) 則 ； （i）得證；而a+b2則難以證明,同學們不妨一試.五、高考真題1、（2004遼寧卷）對于0 給出下列四個不等式： （ 1 ）

17、 （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 其中成立的是（ ） A.1 與（ 3 ） B. （ 1 ）與（ 4 ） C. （ 2 ）與（ 3 ） D. （ 2 ）與（ 4 ） 分析：從 0 入手去比較 1+a 與 的大小 0 又當 0 時， y=log a x 為減函數(shù) 當 0 時， y=a x 為減函數(shù)， 于是由（ * ）、（ * ）知本題應(yīng)選 D 2 、（ 2004 全國卷 II ）： 已知 a 2 +b 2 =1,b 2 +c 2 =2,c 2 +a 2 =2, 則 ab+bc+ca 的最小值為（ ） A. 分析：為建立 “ 已知 ” 與 “ 目標 ” 的聯(lián)系，考察已知三式的和： 將 與已知各

18、式聯(lián)立，解得 即 注意到欲求 ab+bc+ca 的最小值， 只需 a 、 b 同號且 c 與它們反號 ab+bc+ac 的最小值為 應(yīng)選 3、（2005湖南卷）集合 B=x| |x-b| ，若 “a=1” 是 “AB ” 的充分條件，則 b 的取值范圍可以是（ ） A.-2b<0 B.0 萬平方米以上的大學生創(chuàng)業(yè)孵化基地；每個科技創(chuàng)業(yè)特別社區(qū)中安排面積不少于 5000 平方米的載體專門用于大學生創(chuàng)業(yè)。 三、扶持政策分析：從認知與化簡集合A、B切入A=（-1，1）， B=（b-a, b+a）當a=1（三）提供創(chuàng)業(yè)場地扶持。對在寧初始創(chuàng)業(yè)青年大學生入住創(chuàng)業(yè)園區(qū)的項目，可提供最高30）此時，令

19、b=0 則B=（-1，1），顯然 AB ，符合要求，由此否定A，B；令b=-1，則B=（-2，0）此時，AB=（-1，1）（-2，0）=（-1，0） ，符合要求，否定C.8000元為限額依次扣減其當年實際應(yīng)繳納的營業(yè)稅、城市維護建設(shè)稅、教育費附加和個人所得稅。（六）鼓勵創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)。青年大學生創(chuàng)業(yè)并正常經(jīng)營納稅一年以上和帶動2人以上就業(yè)的，給予一次性4000元獎勵。初創(chuàng)企業(yè)3年內(nèi)吸納本市戶籍失業(yè)人員或就業(yè)困難人員就業(yè)，簽訂一年以上期限的勞動合同并依法繳納社會保險費的，給予1500元/人的一次性帶動就業(yè)獎勵。創(chuàng)辦企業(yè)吸納就業(yè)困難人員就業(yè)的，給予最長3年期限的社會保險和崗位補貼（創(chuàng)辦勞務(wù)派遣企業(yè)不

20、在本政策扶持范圍，下同）。（七）加強創(chuàng)業(yè)指導(dǎo)和培訓(xùn)。鼓勵駐寧高校結(jié)合大學生創(chuàng)業(yè)園建設(shè)成立大學生創(chuàng)業(yè)指導(dǎo)站，指導(dǎo)站建設(shè)符合市規(guī)定要求的，每個給予一次性5-10萬元經(jīng)費補貼。推行大學生創(chuàng)業(yè)導(dǎo)師制，通過“創(chuàng)業(yè)導(dǎo)師進校園”、“一對一”創(chuàng)業(yè)指導(dǎo)、跟蹤服務(wù)等多種形式幫助大學生提高創(chuàng)業(yè)實踐能力。開展青年創(chuàng)業(yè)培訓(xùn)實訓(xùn)，經(jīng)具備創(chuàng)業(yè)培訓(xùn)資質(zhì)且經(jīng)過公開招標的社會培訓(xùn)機構(gòu)培訓(xùn)合格的在寧青年大學生，可按規(guī)定申報創(chuàng)業(yè)培訓(xùn)補貼。對到定點實訓(xùn)基地參加創(chuàng)業(yè)實訓(xùn)的我市戶籍大學畢業(yè)生，給予最低工資標準60%的生活費補助。n滿足（一）加強青年大學生創(chuàng)業(yè)工作組織領(lǐng)導(dǎo)。市區(qū)（縣）兩級成立由政府分管領(lǐng)導(dǎo)任組長、相關(guān)責任部門參加的青年大學生創(chuàng)業(yè)工作領(lǐng)導(dǎo)小組。創(chuàng)業(yè)工作領(lǐng)導(dǎo)小組負責青年大學生創(chuàng)業(yè)工作的組織和協(xié)調(diào)，加強目標責任的管理和跟蹤監(jiān)督檢查，確保青年大學生創(chuàng)業(yè)計劃的順利實施。在大學生就業(yè)工作主管部門設(shè)立青年大學生創(chuàng)業(yè)工作辦公室，按照屬地化管理的原則，受理并審核大學生創(chuàng)業(yè)享受扶持政策的申請，對符合條件的發(fā)放青年大學生創(chuàng)業(yè)證，青年大學生憑證享受各項創(chuàng)業(yè)優(yōu)惠扶持政策。（二）加強青年大學生創(chuàng)業(yè)扶持工作經(jīng)費保障。市、區(qū)（縣）財政要加大對大學生創(chuàng)業(yè)扶持工作的資金投入和保障力度，根據(jù)本意見確