材料力學(xué)第七章(2)

1、17-3 空間應(yīng)力狀態(tài)的概念空間應(yīng)力狀態(tài)的概念 當(dāng)一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力都不等于零時(shí)，稱該點(diǎn)處的應(yīng)力當(dāng)一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力都不等于零時(shí)，稱該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)為空間應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)為空間應(yīng)力狀態(tài)( (三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)) )；鋼軌在輪軌觸點(diǎn)處就；鋼軌在輪軌觸點(diǎn)處就處于空間應(yīng)力狀態(tài)處于空間應(yīng)力狀態(tài)( (圖圖a) )。2 空間應(yīng)力狀態(tài)最一空間應(yīng)力狀態(tài)最一 般的表現(xiàn)形式如圖般的表現(xiàn)形式如圖b所所 示；正應(yīng)力示；正應(yīng)力s sx、s sy、s sz 的下角標(biāo)表示其作用的下角標(biāo)表示其作用 面，切應(yīng)力面，切應(yīng)力t txy、t txz、t tyx、t tyz、t tzx、t tzy的第一個(gè)下角標(biāo)表示其作用面，第二個(gè)下

2、角的第一個(gè)下角標(biāo)表示其作用面，第二個(gè)下角標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。 圖中所示的正應(yīng)力和切應(yīng)力均為正的，即正應(yīng)力以拉應(yīng)圖中所示的正應(yīng)力和切應(yīng)力均為正的，即正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，若正面（外法線與坐標(biāo)軸正向一致的平面）上切應(yīng)力為正，若正面（外法線與坐標(biāo)軸正向一致的平面）上切應(yīng)力矢的指向于坐標(biāo)軸正向一致，或負(fù)面（外法線與坐標(biāo)軸負(fù)力矢的指向于坐標(biāo)軸正向一致，或負(fù)面（外法線與坐標(biāo)軸負(fù)向一致的平面）上切應(yīng)力矢的指向于坐標(biāo)軸負(fù)向一致。向一致的平面）上切應(yīng)力矢的指向于坐標(biāo)軸負(fù)向一致。3 最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)中有最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)中有9個(gè)應(yīng)力分量，但個(gè)應(yīng)力分量，但根據(jù)切應(yīng)力互等定理有

3、根據(jù)切應(yīng)力互等定理有t txyt tyx，t tyzt tzy ，t txzt tzx，因而獨(dú)，因而獨(dú)立的應(yīng)力分量為立的應(yīng)力分量為6個(gè)，即個(gè)，即s sx、s sy、s sz、t tyx、t tzy、t tzx。 當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力s s1、s s2、s s3已知時(shí)已知時(shí)( (圖圖a) )，與任何一個(gè)主平，與任何一個(gè)主平面垂直的那些面垂直的那些斜截面斜截面( (即平行于該主平即平行于該主平面上主應(yīng)力的斜截面面上主應(yīng)力的斜截面) )上的應(yīng)力均可用上的應(yīng)力均可用應(yīng)力圓顯示。應(yīng)力圓顯示。2022-2-342 2、主應(yīng)力已知條件下任意斜截面的應(yīng)力、主應(yīng)力已知條件下任意斜

4、截面的應(yīng)力 yxz1s2s3s（1）平行于）平行于z軸方向的斜截面的應(yīng)力軸方向的斜截面的應(yīng)力1s2s3sts1s2s3sstO（2）平行于）平行于x、y軸方向的斜截面的應(yīng)力軸方向的斜截面的應(yīng)力2s1s3s2s1s3s1s3s2s5s s1s s2s s3IIIIIIt ts s6zpypxpIIIIIIs s1s s2s s3s sxt txt tt t t tt tmax=s s1s s2s s3s s2s s1s s2s s3s s1s s3s s2s s1s s2s s3s s1s s3s s1s s3s s2s s3s s2s s1 在三組特殊方向面中都有各自的面內(nèi)最大切應(yīng)力在三組特殊

5、方向面中都有各自的面內(nèi)最大切應(yīng)力,即：即：,221sst,232sst 231s ss st t 71maxss3minss231maxsst8它的作用面根據(jù)應(yīng)力圓點(diǎn)它的作用面根據(jù)應(yīng)力圓點(diǎn)B的的位置可知，系與主應(yīng)力位置可知，系與主應(yīng)力s s2作用作用面垂直而與面垂直而與s s1作用面成作用面成45，即下面圖即下面圖a中的截面中的截面abcd。1sabcd453s2s2s1s(a)acd1s2s231maxsst231sssb2s3s9 試根據(jù)圖試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應(yīng)力作出應(yīng)力圓，并求所示單元體各面上的應(yīng)力作出應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的值及它們的作用面方位。出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的

6、值及它們的作用面方位。例題例題 7-2101. 圖圖a所示單元體的前后兩面所示單元體的前后兩面 ( (z截面截面) )上無切應(yīng)力，因而該上無切應(yīng)力，因而該面上的正應(yīng)力面上的正應(yīng)力s sz=20 MPa為已知的主應(yīng)力。為已知的主應(yīng)力。例題例題 7-2解解:11 2. 垂直于垂直于z的各截面上的應(yīng)的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力力與主應(yīng)力s sz無關(guān)，故可根據(jù)無關(guān)，故可根據(jù)x截面和截面和y截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓。如圖圓。如圖b所示。所示。(-20,20)(40, -20)(b)510(MPa)0比例尺比例尺例題例題 7-212 從圓上從圓上得出兩個(gè)主應(yīng)力分別為得出兩個(gè)主應(yīng)力分別為46

7、MPa和和- -26 MPa。這樣。這樣就得到了包括就得到了包括s sz=20 MPa在內(nèi)的三個(gè)主應(yīng)力。他們按代數(shù)值在內(nèi)的三個(gè)主應(yīng)力。他們按代數(shù)值大小排序?yàn)榇笮∨判驗(yàn)閟 s146 MPa，s s220 MPa，s s3- -26 MPa。 由應(yīng)力圓得由應(yīng)力圓得2 0=34 ， 0=17 ，由此確定，由此確定s s1的方向，的方向，其主單元體如圖其主單元體如圖c所示。所示。例題例題 7-213其作用面與其作用面與s s2垂垂直與直與s s1方向成方向成45角角(圖圖c)。MPa36max CBt t 圖圖b所示的應(yīng)力圓的主應(yīng)力為所示的應(yīng)力圓的主應(yīng)力為s s1和和s s3，其半徑為，其半徑為 最大

8、切應(yīng)力，由應(yīng)力最大切應(yīng)力，由應(yīng)力圓量得圓量得)(2131s ss s CB(-20,20)(40, -20)(b)5 10(MPa)0比例尺比例尺例題例題 7-2147-4 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系 前已講到，最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)有前已講到，最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)有6個(gè)獨(dú)立個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量：的應(yīng)力分量： s sx 、s sy 、s sz 、t txy 、t tyz 、t tzx；與之相應(yīng)；與之相應(yīng)的有的有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量：分量：e ex、e ey 、e ez、g gxy 、g gyz 、g gzx。15 關(guān)于應(yīng)力分量的正負(fù)已于關(guān)于應(yīng)力分量的正負(fù)已于7-

9、-3中講述；至于應(yīng)變分量的中講述；至于應(yīng)變分量的正負(fù)為了與應(yīng)力分量的正負(fù)相一致，規(guī)定：線應(yīng)變正負(fù)為了與應(yīng)力分量的正負(fù)相一致，規(guī)定：線應(yīng)變e ex , e ey , e ez以以伸長變形為正，切應(yīng)變伸長變形為正，切應(yīng)變g gxy、g gyz 、g gzx 以使單以使單元體的直角元體的直角xOy 、yOz 、zOx減小減小為正。為正。16 本節(jié)討論在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，空間本節(jié)討論在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，空間應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系，即廣義胡克定應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系，即廣義胡克定律。律。17I. . 各向同性材料的廣義胡克定律各向同性材料的

10、廣義胡克定律 對于各向同性材料，它在任何方向上的彈性性質(zhì)相同，對于各向同性材料，它在任何方向上的彈性性質(zhì)相同，也就是它在各個(gè)方向上應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系相同。因此，也就是它在各個(gè)方向上應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系相同。因此，對于各向同性材料：對于各向同性材料： (1) 在正應(yīng)力作用下，沿正應(yīng)力方向及與之垂直的方向在正應(yīng)力作用下，沿正應(yīng)力方向及與之垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變，而在包含正應(yīng)力作用面在內(nèi)的三個(gè)相互垂直產(chǎn)生線應(yīng)變，而在包含正應(yīng)力作用面在內(nèi)的三個(gè)相互垂直的平面內(nèi)不會(huì)發(fā)生切應(yīng)變；的平面內(nèi)不會(huì)發(fā)生切應(yīng)變； (2) 在切應(yīng)力作用下只會(huì)在切應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)產(chǎn)生切在切應(yīng)力作用下只會(huì)在切應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變，

11、而在與之垂直的平面內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)變；也不會(huì)在切應(yīng)變，而在與之垂直的平面內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)變；也不會(huì)在切應(yīng)力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變。應(yīng)力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變。18 圖圖a、b、c作為示例顯示了單元體以及對各向同性材料來作為示例顯示了單元體以及對各向同性材料來說不可能產(chǎn)生的變形，因?yàn)槊總€(gè)圖中上面的單元體在繞說不可能產(chǎn)生的變形，因?yàn)槊總€(gè)圖中上面的單元體在繞x軸旋軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)180 以后，如各圖中下面的單元體所示，或者受力情況未變以后，如各圖中下面的單元體所示，或者受力情況未變而變形卻反了而變形卻反了(圖圖a)，或者變形無變化但受力情況卻反了，或者變形無變化但受力情況卻反了(圖圖b、c)

12、，而這些都不符合各向同性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不應(yīng)該隨單，而這些都不符合各向同性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不應(yīng)該隨單元體轉(zhuǎn)動(dòng)而變化的特征。元體轉(zhuǎn)動(dòng)而變化的特征。xxsxsx(a)tttxxt(b)tttxx(c)t19 現(xiàn)在來導(dǎo)出一般空間應(yīng)現(xiàn)在來導(dǎo)出一般空間應(yīng)力狀態(tài)力狀態(tài)( (圖圖a) )下的廣義胡克下的廣義胡克定律。因?yàn)樵诰€彈性定律。因?yàn)樵诰€彈性,小變形小變形條件下可以應(yīng)用疊加原理，條件下可以應(yīng)用疊加原理，故知故知x方向的線應(yīng)變與正應(yīng)方向的線應(yīng)變與正應(yīng)力之間的關(guān)系為力之間的關(guān)系為 zyxzyxxEEEEs ss s s ss s s s s se e 1同理有同理有 yxzzzxyyEEs ss s s s

13、e es ss s s se e 11，20至于切應(yīng)變與切應(yīng)力的關(guān)至于切應(yīng)變與切應(yīng)力的關(guān)系，則根據(jù)前面所述可知，系，則根據(jù)前面所述可知，切應(yīng)變只與切應(yīng)變平面內(nèi)切應(yīng)變只與切應(yīng)變平面內(nèi)的切應(yīng)力相關(guān)，因而有的切應(yīng)力相關(guān)，因而有GGGzxzxyzyzxyxyt tg gt tg gt tg g ，21 對于圖對于圖b所示的那種平面應(yīng)力狀態(tài)所示的那種平面應(yīng)力狀態(tài)( (s sz0，t txz=t tzx=0，t tyz=t tzy=0) )，則胡克定律為則胡克定律為 GEEExyxyyxzxyyyxxt tg gs ss s e esss se esss se e 11ysxsxytyxt(b) 各向同性

14、材料的三個(gè)彈性常數(shù)各向同性材料的三個(gè)彈性常數(shù)E、G、 之間存在如下關(guān)系：之間存在如下關(guān)系： 12EG22 當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)如下圖所示以主應(yīng)力表示時(shí)，廣義胡克當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)如下圖所示以主應(yīng)力表示時(shí)，廣義胡克定律為定律為 213331223211111s ss s s se es ss s s se es ss s s se e EEE式中，式中，e e1、e e2、e e3分別為沿主應(yīng)力分別為沿主應(yīng)力s s1、s s2、s s3方向的線應(yīng)變。方向的線應(yīng)變。23 對于各向同性材料由于主應(yīng)力作用下，在任何兩個(gè)主對于各向同性材料由于主應(yīng)力作用下，在任何兩個(gè)主應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)不發(fā)生切應(yīng)變，因而主應(yīng)力方向的

15、線應(yīng)變應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)不發(fā)生切應(yīng)變，因而主應(yīng)力方向的線應(yīng)變就是主應(yīng)變就是主應(yīng)變 一點(diǎn)處兩個(gè)相互垂直方向間不發(fā)生切應(yīng)變時(shí)一點(diǎn)處兩個(gè)相互垂直方向間不發(fā)生切應(yīng)變時(shí)該兩個(gè)方向的線應(yīng)變。該兩個(gè)方向的線應(yīng)變。 21312221111s ss s e esss se esss se eEEE 在平面應(yīng)力狀態(tài)下，若在平面應(yīng)力狀態(tài)下，若s s30，則以主應(yīng)力表示的胡克，則以主應(yīng)力表示的胡克定律為定律為24 已知構(gòu)件受力后其自由表面上一點(diǎn)處已知構(gòu)件受力后其自由表面上一點(diǎn)處x方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變e ex240 10-6，y 方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變e ey=-160 10-6，試求該點(diǎn)處，試求該點(diǎn)處x和和y截面

16、上的正應(yīng)力截面上的正應(yīng)力s sx和和s sy，并求自由表面法線的線應(yīng)變，并求自由表面法線的線應(yīng)變e ez。已知材料的彈性模量已知材料的彈性模量E=210 GPa，泊松比，泊松比 0.3。例題例題 7-325 1. 構(gòu)件的自由表面上無任何應(yīng)力，故知該點(diǎn)處于平構(gòu)件的自由表面上無任何應(yīng)力，故知該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。面應(yīng)力狀態(tài)。例題例題 7-3解解:262. 根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律，得根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律，得 MPa33.44Pa1033.44 101603 . 0102403 . 01Pa102101666292 yxxE e ee e s s MPa3 .20Pa103 .20 1024

17、03 . 0101603 . 01Pa10210166692 xyyE e ee e s s例題例題 7-327再根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律求得再根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律求得 6669103 .34 Pa103 .20Pa103 .44Pa102103 . 0 yxzEs ss s e e 需要注意的是，題文中給出了需要注意的是，題文中給出了x和和y方向的線應(yīng)變，并方向的線應(yīng)變，并未說明在未說明在xy平面內(nèi)無切應(yīng)變，故不能把求得的平面內(nèi)無切應(yīng)變，故不能把求得的s sx和和s sy認(rèn)為是認(rèn)為是主應(yīng)力。主應(yīng)力。例題例題 7-328有人認(rèn)為，根據(jù)有人認(rèn)為，根據(jù)e e=-e e，所以有，所以有顯然與

18、上述結(jié)果不同。這種算法是錯(cuò)誤的。顯然與上述結(jié)果不同。這種算法是錯(cuò)誤的。原因是把平面應(yīng)力狀態(tài)的問題誤用單向應(yīng)力狀態(tài)的胡克定原因是把平面應(yīng)力狀態(tài)的問題誤用單向應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律。律。6661024)1016010240(3 . 0)( yxze ee e e e)(1, )(1, )(xyyyxxyyxxyxzEEEEE s ss se e s ss se ee es se es ss ss s e e 因因?yàn)闉椤Ｊ绞街兄欣}例題 7-329* *II. . 各向異性材料的廣義胡克定律各向異性材料的廣義胡克定律 各向異性材料受力時(shí)，正應(yīng)各向異性材料受力時(shí)，正應(yīng)力會(huì)引起切應(yīng)變，而切應(yīng)力也會(huì)力會(huì)引起切

19、應(yīng)變，而切應(yīng)力也會(huì)引起線應(yīng)變。完全各向異性的材引起線應(yīng)變。完全各向異性的材料在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下，三個(gè)料在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下，三個(gè)相互垂直平面上的相互垂直平面上的6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量分量s sx、s sy、s sz、t tyz、t tzx、t txy中的中的每一個(gè)都可引起每一個(gè)都可引起6個(gè)應(yīng)變分量個(gè)應(yīng)變分量e ex、e ey、e ez、g gyz、g gzx 、g gxy。30 xyzxyzzyxxCCCCCCt tt tt ts ss ss se e161514131211 xyzxyzzyxyCCCCCCt tt tt ts ss ss se e262524232221 xyzx

20、yzzyxzCCCCCCt tt tt ts ss ss se e363534333231 xyzxyzzyxyzCCCCCCt tt tt ts ss ss sg g464544434241 xyzxyzzyxzxCCCCCCt tt tt ts ss ss sg g565554535251 xyzxyzzyxxyCCCCCCt tt tt ts ss ss sg g666564636261 從而在線彈性范圍內(nèi)且小變形的條件下，應(yīng)力分量與應(yīng)變分從而在線彈性范圍內(nèi)且小變形的條件下，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系可表達(dá)為量之間的關(guān)系可表達(dá)為31 上式即是完全各向異性材料的廣義胡克定律。式中的上式即

21、是完全各向異性材料的廣義胡克定律。式中的Cij為彈性常數(shù)，其第一個(gè)下角標(biāo)為彈性常數(shù)，其第一個(gè)下角標(biāo) i（1，2， ，6）表示它對）表示它對應(yīng)于應(yīng)變分量應(yīng)于應(yīng)變分量e ex、e ey、e ez、g gyz、g gzx、g gxy中的第幾個(gè)，例如中的第幾個(gè)，例如C24表表示示e ey對應(yīng)于對應(yīng)于t tyz的彈性常數(shù)。從式中可見，完全各向異性的材的彈性常數(shù)。從式中可見，完全各向異性的材料總共有料總共有36個(gè)彈性常數(shù)。個(gè)彈性常數(shù)。 利用功的互等定理很容易證明，上列彈性常數(shù)中存在利用功的互等定理很容易證明，上列彈性常數(shù)中存在Cij=Cji這一互等關(guān)系，也就是說，在上列一組式子中有這一互等關(guān)系，也就是說，

22、在上列一組式子中有( (366) )/215對彈性常數(shù)是互等的?？梢娡耆飨虍愋缘牟膶椥猿?shù)是互等的?？梢娡耆飨虍愋缘牟牧现挥辛现挥?61521個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。32 對于完全各向異性的材料，若沿對于完全各向異性的材料，若沿x、y、z方向的正應(yīng)力為方向的正應(yīng)力為主應(yīng)力主應(yīng)力s s1、s s2、s s3，因而，因而t txy0，t tyz=0，t tzx=0，則按廣義胡克，則按廣義胡克定律有定律有343242141s ss ss sg gCCCyz 353252151s ss ss sg gCCCzx 363262161s ss ss sg gCCCxy 可見在任何兩個(gè)主應(yīng)

23、力構(gòu)成的平面內(nèi)均發(fā)生有切應(yīng)變，可見在任何兩個(gè)主應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)均發(fā)生有切應(yīng)變，所以主應(yīng)力方向并非主應(yīng)變的方向，或者說，主應(yīng)力方向所以主應(yīng)力方向并非主應(yīng)變的方向，或者說，主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向不相重合。和主應(yīng)變方向不相重合。33 工程上應(yīng)用的將單向排列碳纖維澆注于環(huán)氧樹脂中形成工程上應(yīng)用的將單向排列碳纖維澆注于環(huán)氧樹脂中形成的單向復(fù)合材料，它們具有三個(gè)彈性性能對稱面的單向復(fù)合材料，它們具有三個(gè)彈性性能對稱面( (參見下圖參見下圖) )，從而具有三個(gè)彈性性能對稱軸，這種各向異性材料稱為正交從而具有三個(gè)彈性性能對稱軸，這種各向異性材料稱為正交異性材料異性材料( (orthogonal composi

24、te material) )。34 當(dāng)正交異性材料中一點(diǎn)當(dāng)正交異性材料中一點(diǎn)處三個(gè)相互垂直面上的六個(gè)獨(dú)處三個(gè)相互垂直面上的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力立應(yīng)力分量均平行于材料的彈分量均平行于材料的彈性對稱軸時(shí)，根據(jù)對稱性原性對稱軸時(shí)，根據(jù)對稱性原則則可知，這三個(gè)面上的正應(yīng)力在可知，這三個(gè)面上的正應(yīng)力在彈性對稱軸方向只產(chǎn)生線應(yīng)變，彈性對稱軸方向只產(chǎn)生線應(yīng)變，這三個(gè)面上的這三個(gè)面上的切應(yīng)力只在它們切應(yīng)力只在它們各自的自身平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變。各自的自身平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變。35因此，當(dāng)正交異性材料一點(diǎn)處的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量平行于因此，當(dāng)正交異性材料一點(diǎn)處的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量平行于材料的彈性對稱軸材料的彈性對稱軸x，y，z時(shí)，廣

25、義胡克定律為時(shí)，廣義胡克定律為zyxxCCCs ss ss se e131211 zyxyCCCs ss ss se e232221 zyxzCCCs ss ss se e333231 yzyzCt tg g44 zxzxCt tg g55 xyyxCt tg g66 考慮到上式中：考慮到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交異性材料，正交異性材料共有共有9個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。36III. . 各向同性材料的體應(yīng)變各向同性材料的體應(yīng)變 材料受力而變形時(shí)其體積的相對變化稱為體應(yīng)變材料受力而變形時(shí)其體積的相對變化稱為體應(yīng)變q q。 32132133221111

26、1aaaaaaaaaVVV e ee ee eq q取三個(gè)邊長分別為取三個(gè)邊長分別為a1、a2、a3的單元的單元體，它在受力而變形后邊長分別為體，它在受力而變形后邊長分別為a1(1+e e1)，a2(1+e e2)，a3(1+e e3)，故體，故體應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變?yōu)?7將上式展開并略去高階微量將上式展開并略去高階微量e e1e e2，e e2e e3，e e3e e1，e e1e e2e e3，再利用，再利用各向同性材料的廣義胡克定律得各向同性材料的廣義胡克定律得 32132121s ss ss s e ee ee eq q E38 對于以最一般形式表達(dá)的空間應(yīng)對于以最一般形式表達(dá)的空間應(yīng)力狀態(tài)，由

27、于單元體每一個(gè)平面內(nèi)力狀態(tài)，由于單元體每一個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)力引起的純剪切相當(dāng)于這個(gè)的切應(yīng)力引起的純剪切相當(dāng)于這個(gè)平面內(nèi)的二向等值拉壓平面內(nèi)的二向等值拉壓(s s1t t，s s3t t，s s20），從而從上列體應(yīng)變），從而從上列體應(yīng)變公式中可見，它們引起的體應(yīng)變?yōu)楣街锌梢?，它們引起的體應(yīng)變?yōu)榱?。零?？梢?，對于各向同性材料，在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)可見，對于各向同性材料，在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變也只與三個(gè)線應(yīng)變之和有關(guān)，即變也只與三個(gè)線應(yīng)變之和有關(guān)，即 zyxzyxEs ss ss s e ee ee eq q 2139 邊長邊長a =0.1 m的銅質(zhì)立方體，置于剛性很大的鋼塊中的的銅質(zhì)

28、立方體，置于剛性很大的鋼塊中的凹坑內(nèi)凹坑內(nèi)( (圖圖a) )，鋼塊與凹坑之間無間隙。試求當(dāng)銅塊受均勻，鋼塊與凹坑之間無間隙。試求當(dāng)銅塊受均勻分布于頂面的豎向荷載分布于頂面的豎向荷載F =300 kN時(shí)，銅塊內(nèi)的主應(yīng)力，最時(shí)，銅塊內(nèi)的主應(yīng)力，最大切應(yīng)力，以及銅塊的體應(yīng)變。已知銅的彈性模量大切應(yīng)力，以及銅塊的體應(yīng)變。已知銅的彈性模量E =100 GPa，泊松比，泊松比 0.34。銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦忽略。銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦忽略不計(jì)。不計(jì)。例題例題 7-4401. 銅塊水平截面上的壓應(yīng)力為銅塊水平截面上的壓應(yīng)力為 MPa30Pa1030m1 . 0N10300623 AFys s例題例

29、題 7-4解解:41 2. 銅塊在銅塊在s sy作用下不能橫向膨作用下不能橫向膨脹，即脹，即e ex=0，e ez0，可見銅塊的，可見銅塊的x截面和截面和z截面上必有截面上必有s sx和和s sz存在存在(圖圖b) 。按照廣義胡克定律及按照廣義胡克定律及e ex0和和e ez0的條件有方程：的條件有方程： 0101 yxzzzyxxEEs ss s s se es ss s s se e例題例題 7-442 從以上二個(gè)方程可見，當(dāng)它們都得到滿足時(shí)顯然從以上二個(gè)方程可見，當(dāng)它們都得到滿足時(shí)顯然s sx=s sz。于是解得。于是解得 MPa5 .15 Pa105 .15Pa103034. 0134

30、. 0166 yzxs s s ss s 由于忽略銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩由于忽略銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦，所以擦，所以s sx，s sy，s sz都是主應(yīng)力，且都是主應(yīng)力，且MPa30MPa5 .15321 s ss ss s例題例題 7-4433. 銅塊內(nèi)的最大切應(yīng)力為銅塊內(nèi)的最大切應(yīng)力為 MPa25. 7 MPa30MPa5 .15212131max s ss st t例題例題 7-4444. 銅塊的體應(yīng)變?yōu)殂~塊的體應(yīng)變?yōu)?466693211095. 1 Pa1030Pa105 .15Pa105 .15Pa1010034. 021 21 s ss ss s q qE例題例題 7-420

31、22-2-345練習(xí)：已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了練習(xí)：已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了測定拉力測定拉力F和力矩和力矩m，可沿軸向及與軸向成，可沿軸向及與軸向成45方向測出方向測出線應(yīng)變?，F(xiàn)測得軸向應(yīng)變線應(yīng)變?，F(xiàn)測得軸向應(yīng)變 ， 45方向的應(yīng)變方向的應(yīng)變?yōu)闉?。若軸的直徑。若軸的直徑D=100mm,彈性模量彈性模量E=200Gpa,泊松比泊松比 =0.3。試求。試求F和和m的值。的值。6010500e610400ueFmmFkuu452022-2-346解：解：（1 1）K點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)分析點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)分析在在K點(diǎn)取出單元體：點(diǎn)取出單元體：xsKxtyt其橫截面上

32、的應(yīng)力分量為：其橫截面上的應(yīng)力分量為：316DmWmWMppnxt,AFAFNxs（2 2）計(jì)算外力）計(jì)算外力F.由廣義胡克定律：由廣義胡克定律：1xxyzEes ss6010500esEx2022-2-347解得：解得：AFxsAE0e626910)100(41050010200KN785（3 3）計(jì)算外力偶）計(jì)算外力偶m.已知已知zvuuEssse1610400式中式中, 0zs)45(2sin)45(2cos2200 xxxutsssxxts2)45(2sin)45(2cos2200 xxxvtsssxxts2xsKxtytuususvsvs2022-2-348由由6104001xxxx

33、Etsts解得：解得：34.6xMPat36.7916xmDKN mt 因此因此497-5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度 在第在第2章章“軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮”中已講到，中已講到，應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度是指是指物體產(chǎn)生彈性變形時(shí)單位體積內(nèi)積蓄的應(yīng)變能，并導(dǎo)出了單物體產(chǎn)生彈性變形時(shí)單位體積內(nèi)積蓄的應(yīng)變能，并導(dǎo)出了單向拉伸或壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度計(jì)算公式：向拉伸或壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度計(jì)算公式：222221e es ss se eEEv 在第三章在第三章“扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)”中講到了純剪切這種平面應(yīng)力狀態(tài)下的中講到了純剪切這種平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度：應(yīng)變能密度：222221g gt tt tg gGGv 在此基礎(chǔ)上，本章講述在此基礎(chǔ)上，本章講述空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度。50把由主應(yīng)力和主應(yīng)變表達(dá)的廣義胡克定律代入上式，經(jīng)整把由主應(yīng)力和主應(yīng)變表達(dá)的廣義胡克定律代入上式，經(jīng)整理簡化后得理簡化后得 133221232221221s ss ss ss ss ss s s ss ss s Ev各向同性材料在線彈性且小變形條件下的應(yīng)變能密度各向同性材料在線彈性且小變形條