理論力學(xué)概念整理約束自由度與廣義坐標(biāo)ppt課件

1、 約束、自由度與廣義坐標(biāo)約束、自由度與廣義坐標(biāo)一、問題的提出一、問題的提出 物體系統(tǒng)根據(jù)其與外界環(huán)境之間的關(guān)系，可分成自由系統(tǒng)與非自由系統(tǒng)。 研究約束質(zhì)點(diǎn)系的力學(xué)問題，必須闡明約束，自由度與廣義坐標(biāo)的概念。二、約束二、約束1.約束概念約束概念約束就是限制物體任意運(yùn)動(dòng)的條件。約束就是限制物體任意運(yùn)動(dòng)的條件。剛體靜力學(xué)研究約束, 是探究約束的原因-約束力運(yùn)動(dòng)學(xué)研究約束運(yùn)動(dòng)學(xué)研究約束,是探究約束的結(jié)果是探究約束的結(jié)果-運(yùn)動(dòng)的限制運(yùn)動(dòng)的限制2.2.約束方程約束方程(1) (1) 坐標(biāo)坐標(biāo) 確定一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，確定一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，這些參數(shù)或代表長(zhǎng)度或代

2、表角度，統(tǒng)稱坐標(biāo)。這些參數(shù)或代表長(zhǎng)度或代表角度，統(tǒng)稱坐標(biāo)。(2)(2)位形位形 對(duì)于由對(duì)于由n n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的自由質(zhì)點(diǎn)系，則需要個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的自由質(zhì)點(diǎn)系，則需要3n3n個(gè)獨(dú)立個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，這坐標(biāo)，這3n3n個(gè)的坐標(biāo)集合稱為質(zhì)點(diǎn)系的位形。個(gè)的坐標(biāo)集合稱為質(zhì)點(diǎn)系的位形。(3)(3)約束方程約束方程 約束可以通過聯(lián)系坐標(biāo)、坐標(biāo)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)以及時(shí)間約束可以通過聯(lián)系坐標(biāo)、坐標(biāo)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)以及時(shí)間t t之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程組加以描述，這些數(shù)學(xué)方程組稱之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程組加以描述，這些數(shù)學(xué)方程組稱之為約束方程。之為約束方程。3. 3. 約束分類與約束方程一般形式約束分類與約束方程一般形式0);,;,(111111

3、tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnrn個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，約束方程的一般形式為：個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，約束方程的一般形式為：(r=1,s)約束方程的個(gè)數(shù)為：s約束方程中不含: 時(shí)為幾何約束(完整約束) , 反之為非完整約束。;,111nnnzyxzyx約束方程的特例約束方程的特例: :約束方程中不含: 時(shí)間顯含t時(shí)為定常約束, 反之為非定常約束。約束方程中以等號(hào)表示時(shí):為雙面固執(zhí)約束, 反之為單面非固執(zhí)約束。幾何約束幾何約束2222lzyxxylOAzxyzM曲面上的質(zhì)點(diǎn)：0),(zyxf單擺:運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束CCvxy幾何約束0 rx運(yùn)動(dòng)約束ryC純滾動(dòng)的圓輪：v20222vtlzyx定

4、常幾何約束定常幾何約束2222lzyxxylOAz單擺:非定常幾何約束非定常幾何約束單擺OA為剛性桿：2222lzyxxylOAzOA為柔繩：2222lzyx雙面約束：在約束方程中用嚴(yán)格的雙面約束：在約束方程中用嚴(yán)格的 等號(hào)表示的約束。等號(hào)表示的約束。單面約束：在約束方程含有不等號(hào)單面約束：在約束方程含有不等號(hào) 表示的約束。表示的約束。完完整整約約束束1.位移約束位移約束-全部幾何約束全部幾何約束2.運(yùn)動(dòng)約束可積分運(yùn)動(dòng)約束可積分-純滾動(dòng)的圓輪純滾動(dòng)的圓輪;非非完完整整約約束束運(yùn)動(dòng)約束不可積分運(yùn)動(dòng)約束不可積分-如碰撞系統(tǒng)如碰撞系統(tǒng), 摩擦系統(tǒng)等摩擦系統(tǒng)等.靜力學(xué)問題中的約束都是定常幾何約束。本教

5、材動(dòng)力學(xué)研究：定常、雙面、完整約束。三、廣義坐標(biāo)、自由度三、廣義坐標(biāo)、自由度自由度：唯一確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立參變量個(gè)數(shù)自由度：唯一確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立參變量個(gè)數(shù)平面質(zhì)點(diǎn)平面質(zhì)點(diǎn):, snk 2空間質(zhì)點(diǎn)空間質(zhì)點(diǎn):,3snk廣義坐標(biāo)：廣義坐標(biāo)：用以確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量 ),(21tqqqxxkii ),.,(21tqqqyykii),(21tqqqzzkii ),(21tqqqrrkii i=1,2, nkqq,q 21n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，一般地：自由度為k， 取廣義坐標(biāo)：1.1.基本概念基本概念自由度數(shù)定義為質(zhì)點(diǎn)系解除約束時(shí)的坐標(biāo)數(shù)減去約束方程數(shù)自由度數(shù)定義為質(zhì)點(diǎn)系解除約束時(shí)的坐標(biāo)數(shù)減去約束

6、方程數(shù)與自由度相對(duì)應(yīng)的獨(dú)立坐標(biāo)就是廣義坐標(biāo)與自由度相對(duì)應(yīng)的獨(dú)立坐標(biāo)就是廣義坐標(biāo)2.自由剛體的自由度自由剛體的自由度 最簡(jiǎn)單的剛體由4個(gè)質(zhì)點(diǎn)用6根剛桿組成幾何不變體(形如四面體)，則自由剛體的自由度為：66)(43（剛桿數(shù)）質(zhì)點(diǎn)數(shù)k此后每增加一個(gè)質(zhì)點(diǎn)就增加3根剛桿。36n 連接質(zhì)點(diǎn)的剛桿數(shù)為：63 ns 每一根剛桿相當(dāng)于一個(gè)約束，所以約束數(shù)為：63snk自由度數(shù)為： , n43.自由剛體的廣義坐標(biāo)自由剛體的廣義坐標(biāo) 基點(diǎn)的直角坐標(biāo)000,zyx和歐拉角,或卡爾丹角,自由剛體的廣義坐標(biāo)。組成的6個(gè)獨(dú)立參變量就是它們被用于描述剛體的位形。 4.受約束剛體的自由度受約束剛體的自由度 設(shè)剛體數(shù)為n，那么

7、 k = 6n -S 4 4、約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)、約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo) 約 束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)根據(jù)其運(yùn)動(dòng)形式不同有所減小，下表給出剛體在不同的運(yùn)動(dòng)形式時(shí)的廣義坐標(biāo)數(shù)。剛體約束情況自由度廣義坐標(biāo)剛體上一軸被約束（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）1剛體上一點(diǎn)被約束（定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)）3剛體被限制作平面平行運(yùn)動(dòng)（自由的平面運(yùn)動(dòng)自由的平面運(yùn)動(dòng)）3剛體被限制作平行移動(dòng)（平移平移）3,00yx000,zyx四四 實(shí)例實(shí)例: :機(jī)構(gòu)如圖機(jī)構(gòu)如圖, ,輪輪C C作純滾動(dòng)作純滾動(dòng)0;0;ooxy; sin2 ;CCxryH rH OA ABrcos ;sin ;AAxOAyOAcoscos ;sinsin ;BBxOAAByOAAB3.3.約束方程約束方程( (在點(diǎn)在點(diǎn)O O建立直角坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)) )1.1.剛體數(shù)目剛體數(shù)目 3; 3;2.2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體 OA ; OA ;平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體 AB AB及輪及輪C ;C ;結(jié)論結(jié)論:8個(gè)約束方程個(gè)約束方程4.廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)8;s 5.自由度計(jì)算自由度計(jì)算3*31ks廣義坐標(biāo)數(shù)為 :3n-s=1, 即:自由度約束方程數(shù)qq或剛體數(shù)n=36.選廣義坐標(biāo)為選廣義坐標(biāo)為:自由度恒等于廣義坐標(biāo)數(shù)自由度恒等于廣義坐標(biāo)數(shù) xAB0lk21;qxqcoslxxABsinlyB0Ay2k廣義坐標(biāo)自由度本例為質(zhì)點(diǎn)與剛體本例為質(zhì)