理論力學(xué)概念整理約束自由度與廣義坐標ppt課件

1、 約束、自由度與廣義坐標約束、自由度與廣義坐標一、問題的提出一、問題的提出 物體系統(tǒng)根據(jù)其與外界環(huán)境之間的關(guān)系，可分成自由系統(tǒng)與非自由系統(tǒng)。 研究約束質(zhì)點系的力學(xué)問題，必須闡明約束，自由度與廣義坐標的概念。二、約束二、約束1.約束概念約束概念約束就是限制物體任意運動的條件。約束就是限制物體任意運動的條件。剛體靜力學(xué)研究約束, 是探究約束的原因-約束力運動學(xué)研究約束運動學(xué)研究約束,是探究約束的結(jié)果是探究約束的結(jié)果-運動的限制運動的限制2.2.約束方程約束方程(1) (1) 坐標坐標 確定一個自由質(zhì)點在空間的位置需要三個獨立參數(shù)，確定一個自由質(zhì)點在空間的位置需要三個獨立參數(shù)，這些參數(shù)或代表長度或代

2、表角度，統(tǒng)稱坐標。這些參數(shù)或代表長度或代表角度，統(tǒng)稱坐標。(2)(2)位形位形 對于由對于由n n個質(zhì)點組成的自由質(zhì)點系，則需要個質(zhì)點組成的自由質(zhì)點系，則需要3n3n個獨立個獨立坐標，這坐標，這3n3n個的坐標集合稱為質(zhì)點系的位形。個的坐標集合稱為質(zhì)點系的位形。(3)(3)約束方程約束方程 約束可以通過聯(lián)系坐標、坐標的時間導(dǎo)數(shù)以及時間約束可以通過聯(lián)系坐標、坐標的時間導(dǎo)數(shù)以及時間t t之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程組加以描述，這些數(shù)學(xué)方程組稱之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程組加以描述，這些數(shù)學(xué)方程組稱之為約束方程。之為約束方程。3. 3. 約束分類與約束方程一般形式約束分類與約束方程一般形式0);,;,(111111

3、tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnrn個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，約束方程的一般形式為：個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，約束方程的一般形式為：(r=1,s)約束方程的個數(shù)為：s約束方程中不含: 時為幾何約束(完整約束) , 反之為非完整約束。;,111nnnzyxzyx約束方程的特例約束方程的特例: :約束方程中不含: 時間顯含t時為定常約束, 反之為非定常約束。約束方程中以等號表示時:為雙面固執(zhí)約束, 反之為單面非固執(zhí)約束。幾何約束幾何約束2222lzyxxylOAzxyzM曲面上的質(zhì)點：0),(zyxf單擺:運動約束運動約束CCvxy幾何約束0 rx運動約束ryC純滾動的圓輪：v20222vtlzyx定

4、常幾何約束定常幾何約束2222lzyxxylOAz單擺:非定常幾何約束非定常幾何約束單擺OA為剛性桿：2222lzyxxylOAzOA為柔繩：2222lzyx雙面約束：在約束方程中用嚴格的雙面約束：在約束方程中用嚴格的 等號表示的約束。等號表示的約束。單面約束：在約束方程含有不等號單面約束：在約束方程含有不等號 表示的約束。表示的約束。完完整整約約束束1.位移約束位移約束-全部幾何約束全部幾何約束2.運動約束可積分運動約束可積分-純滾動的圓輪純滾動的圓輪;非非完完整整約約束束運動約束不可積分運動約束不可積分-如碰撞系統(tǒng)如碰撞系統(tǒng), 摩擦系統(tǒng)等摩擦系統(tǒng)等.靜力學(xué)問題中的約束都是定常幾何約束。本教

5、材動力學(xué)研究：定常、雙面、完整約束。三、廣義坐標、自由度三、廣義坐標、自由度自由度：唯一確定質(zhì)點系空間位置的獨立參變量個數(shù)自由度：唯一確定質(zhì)點系空間位置的獨立參變量個數(shù)平面質(zhì)點平面質(zhì)點:, snk 2空間質(zhì)點空間質(zhì)點:,3snk廣義坐標：廣義坐標：用以確定質(zhì)點系位置的獨立參變量 ),(21tqqqxxkii ),.,(21tqqqyykii),(21tqqqzzkii ),(21tqqqrrkii i=1,2, nkqq,q 21n個質(zhì)點，一般地：自由度為k， 取廣義坐標：1.1.基本概念基本概念自由度數(shù)定義為質(zhì)點系解除約束時的坐標數(shù)減去約束方程數(shù)自由度數(shù)定義為質(zhì)點系解除約束時的坐標數(shù)減去約束

6、方程數(shù)與自由度相對應(yīng)的獨立坐標就是廣義坐標與自由度相對應(yīng)的獨立坐標就是廣義坐標2.自由剛體的自由度自由剛體的自由度 最簡單的剛體由4個質(zhì)點用6根剛桿組成幾何不變體(形如四面體)，則自由剛體的自由度為：66)(43（剛桿數(shù)）質(zhì)點數(shù)k此后每增加一個質(zhì)點就增加3根剛桿。36n 連接質(zhì)點的剛桿數(shù)為：63 ns 每一根剛桿相當(dāng)于一個約束，所以約束數(shù)為：63snk自由度數(shù)為： , n43.自由剛體的廣義坐標自由剛體的廣義坐標 基點的直角坐標000,zyx和歐拉角,或卡爾丹角,自由剛體的廣義坐標。組成的6個獨立參變量就是它們被用于描述剛體的位形。 4.受約束剛體的自由度受約束剛體的自由度 設(shè)剛體數(shù)為n，那么

7、 k = 6n -S 4 4、約束剛體的自由度與廣義坐標、約束剛體的自由度與廣義坐標 約 束剛體的自由度與廣義坐標根據(jù)其運動形式不同有所減小，下表給出剛體在不同的運動形式時的廣義坐標數(shù)。剛體約束情況自由度廣義坐標剛體上一軸被約束（定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動）1剛體上一點被約束（定點運動定點運動）3剛體被限制作平面平行運動（自由的平面運動自由的平面運動）3剛體被限制作平行移動（平移平移）3,00yx000,zyx四四 實例實例: :機構(gòu)如圖機構(gòu)如圖, ,輪輪C C作純滾動作純滾動0;0;ooxy; sin2 ;CCxryH rH OA ABrcos ;sin ;AAxOAyOAcoscos ;sinsin ;BBxOAAByOAAB3.3.約束方程約束方程( (在點在點O O建立直角坐標建立直角坐標) )1.1.剛體數(shù)目剛體數(shù)目 3; 3;2.2.定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體 OA ; OA ;平面運動剛體平面運動剛體 AB AB及輪及輪C ;C ;結(jié)論結(jié)論:8個約束方程個約束方程4.廣義坐標廣義坐標8;s 5.自由度計算自由度計算3*31ks廣義坐標數(shù)為 :3n-s=1, 即:自由度約束方程數(shù)qq或剛體數(shù)n=36.選廣義坐標為選廣義坐標為:自由度恒等于廣義坐標數(shù)自由度恒等于廣義坐標數(shù) xAB0lk21;qxqcoslxxABsinlyB0Ay2k廣義坐標自由度本例為質(zhì)點與剛體本例為質(zhì)