量子力學(xué)練習(xí)題答案

1、量子力學(xué)練習(xí)題參考答案一、 簡答題1. 簡述光電效應(yīng)中經(jīng)典物理學(xué)無法解釋的實驗現(xiàn)象。答:光電效應(yīng)中經(jīng)典物理學(xué)無法解釋的實驗現(xiàn)象有:(1對入射光存在截止頻率0,小于該頻率的入射光沒有光電子逸出;(2逸出的光電子的能量只與入射光的頻率有關(guān),入射光的強度無關(guān);(3截止頻率只與材料有關(guān)而與光強無關(guān);(4入射光的強度只影響逸出的光電子的數(shù)量;(5無論多弱的光,只要其頻率大于截止頻率,一照射到金屬表面,就有光電子逸出。2. 簡述Planck 的光量子假設(shè)。答:Planck 的光量子假設(shè)為,對于一定的頻率為的輻射,物體吸收或發(fā)射的能量只能以h 為單位來進(jìn)行。3. 寫出Einstein 光電方程,并闡述Ein

2、stein 對光電效應(yīng)的量子解釋。答:Einstein 光電方程為212h m W =+v 。 Einstein 對光電效應(yīng)的量子解釋為:(1存在截止頻率0,0W h =,小于該頻率的入射光無光電子逸出;(2無論多弱的光,只要0,一經(jīng)照射,馬上就有光電子逸出;(3逸出功由材料決定,即截止頻率由材料決定;(4光強代表總?cè)肷淠芰康亩嗌?并不代表單個光子的能量,光強只影響光電子的數(shù)量而不影響其能量,即光電子的能量與入射光的頻率有關(guān)與光強無關(guān)。4. 簡述Compton 散射實驗。答:如果光具有粒子性,當(dāng)高能光子與低能電子碰撞時,光子就會損失能量,波長就會增加,這個實驗就是康普頓散射實驗,它證實了光的粒

3、子性。 (01cos h m c= 5. 簡述Bohr 的量子論,并對它進(jìn)行簡單的評價。答: Bohr 的量子論是建立在以下的假設(shè)上的(1定態(tài)假設(shè):電子在原子中可以處于某種特定的狀態(tài)(定態(tài)而不輻射能量;(2量子化假設(shè) d k k k p q n h =v ;(3頻率條件 i f h E E =。Bohr 的量子論用量子化假設(shè)來論證量子化,帶有明顯的人為的性質(zhì),仍然保留經(jīng)典軌道的概念,無法處理更復(fù)雜的原子的光譜,只能處理周期運動,不能處理非束縛態(tài)問題。但在處理氫原子光譜時取得很大的成功,說明其假設(shè)有一定的合理成份。6. 寫出Sommerfeld 用正則坐標(biāo)與正則動量表示的量子化條件。 答:d (

4、1,2,3,k k k k p q n h n =v其中(,k k q p 代表一對共軛的正則坐標(biāo)和動量。7. 利用光波的雙縫干涉實驗,說明Born 的概率波解釋。答:Born 認(rèn)為,微觀粒子的運動狀態(tài)用“波函數(shù)”來描述,粒子通過雙縫時,每一個縫都有一個所謂的“波”通過,只不過與經(jīng)典波的強度對應(yīng)的,是粒子在某點附近出現(xiàn)的相對概率。對通過雙縫的粒子,其概率“分成”了兩束(波動性,但對某個具體的粒子,它只能通過其中的一個縫(粒子性。8. 闡述概率波波函數(shù)的基本特性。答:波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,必然要求波函數(shù)具有下面的性質(zhì)(1波函數(shù)必須是有界且平方可積的;(2波函數(shù)可以有一個常數(shù)因子的不確定性;(3概率密

5、度(即*必須是單值的;(4波函數(shù)必須是連續(xù)的。9. 設(shè)(ikx x e =,粒子的位置幾率的分布如何?此波函數(shù)能否歸一化? 答:粒子位置分布的概率密度為*(1ikx ikx x x e e =在整個位置空間,粒子的概率分布相同,這不是真實的物理問題,是對物理問題進(jìn)行理想化處理的結(jié)果,波函數(shù)不能歸一化。10. 設(shè)(x x =,粒子的位置幾率的分布如何?此波函數(shù)能否歸一化? 答:粒子位置分布的概率密度為2*(x x x =利用公式00(d (f x x x x f x +=,得 2d (d (0x x x += 該波函數(shù)也不能歸一化,這也不是真實的物理問題,是對物理問題進(jìn)行理想化處理的結(jié)果。11.

6、 設(shè)粒子波函數(shù)為(,x y z ,寫出在(,d x x x +范圍找到粒子的幾率。 答:在(,d x x x +范圍找到粒子的幾率為d d d *(,(,x y z x y z x y z +或者: *d d d y z x 12. N 粒子系的波函數(shù)為12(,N r r r K K K ,寫出在111(,d r r r +K K K 中找到粒子1的幾率(其它粒子的位置不限。答:在111(,d r r r +K K K 范圍找到粒子的幾率為121212d d d *(,(,N N N r r r r r r r r r +K K K K K K K K K 13. 設(shè)一維自由粒子的初態(tài)0/(,

7、0ip x x e =,寫出(,x t 。 答:對一維自由粒子,其波函數(shù)為平面波的形式為00/(/(,ip x i Et p x iEt x t e e e = 14. 寫出動量算符、動能算符以及在直角坐標(biāo)系中角動量各分量的算符的表達(dá)式。答:動量算符 lp i =K = 動能算符 l (212T i m= 角動量各分量的算符 x L i y z z y =, y L i z x x z =, z L i x y y x = 15. 寫出在球面坐標(biāo)系下角動量平方算符的表達(dá)式。答: 2222211sin sin sin L =+= 16. 簡述粒子動量與位置的不確定關(guān)系。答:若要想精確地知道粒子的

8、動量值,就無法得知粒子的具體位置;要想精確地知道粒子的位置,就無法得知粒子的具體動量值,位置分布的均方差和動量分布的均方差受到下面關(guān)系的制約2x p =17. 簡述量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。答:量子力學(xué)的態(tài)疊加原理是指如果1、2、3均是體系的可能狀態(tài),則它們的線性組合n n nC =也是體系的可能狀態(tài)。18. 描述微觀粒子的隧道效應(yīng)。答:微觀粒子入射到勢場中時,可以穿透大于粒子入射能量的勢場,這種效應(yīng)稱為隧道效應(yīng)。19. 寫出一維諧振子的Hamilton 量、定態(tài)Schrdinger 方程以及能量本征值的表達(dá)式。答:一維諧振子的 Hamilton 量為 l l 22222d 1(2d 2H T V

9、 x m x m x =+=+= 定態(tài) Schrdinger 方程為 22222d 1(2d 2m x x E x m x += 能量本征值為 10,1,2,2n E n n =+= 20. 簡述處于基態(tài)的一維諧振子的特征長度(經(jīng)典回轉(zhuǎn)點。 答:一維諧振子的基態(tài)能量為 012E = 此時對應(yīng)于經(jīng)典振子的振幅為221122m A = 于是有 0x A = 0x 稱為諧振子的特征長度(經(jīng)典回轉(zhuǎn)點,也就是經(jīng)典諧振子的振幅,經(jīng)典粒子無法逾越此禁區(qū),但是微觀粒子能夠穿越此經(jīng)典禁區(qū)。21. 簡述“箱歸一化”方法的基本思想。答:“箱歸一化”方法,其基本思想是先把波函數(shù)限制在一個正六面體的“箱”中,此時體系所

10、處的狀態(tài)是束縛態(tài),能夠把波函數(shù)歸一化。當(dāng)把波函數(shù)歸一化后,再把“箱”擴展到無窮空間,由此來確定波函數(shù)中的“歸一化常數(shù)”。22. 完整闡述不確定性原理。答:由于粒子波函數(shù)對空間、動量、動能、總能量、角動量等的概率分布的同時決定,也使得它們的分布同時制約,這種制約就是不確定性原理,它是任何兩個力學(xué)量在任何狀態(tài)下的漲落(用均方差表示必須滿足的相互制約關(guān)系,公式表示為l l 1,2A B A B 23. 如果算符A 的本征值分別為123,A A A ,在算符A 的自身表象中寫出算符A的矩陣形式。 答:算符在其自身的表象中,矩陣的表示形式為一對角矩陣123000000A A A =A 24. 什么是守恒

11、量?簡述在概率密度分布不隨時間改變的問題上,定態(tài)與守恒量的區(qū)別。答:如果力學(xué)量算符l A 滿足:(1不顯含時間;(2與體系 Hamilton 算符l H對易,則稱力學(xué)量A 為體系的一個守恒量。 在概率密度分布不隨時間改變的問題上,定態(tài)與守恒量的區(qū)別為:在定態(tài)下,所有力學(xué)量的概率分布不隨時間改變;在一切狀態(tài)下,守恒量的概率分布不隨時間改變。25. 在z S 表象下,寫出算符zS 及其本征態(tài)|和|的矩陣表達(dá)式。 答:在z S 表象下,算符zS 的矩陣表達(dá)式為 10012z =S = 其本征態(tài)|和|的矩陣表達(dá)式分別為1|0= 和 0|1=26. 設(shè)角動量1J 和2J 彼此獨立,其量子數(shù)分別為11j

12、=、212j =,在無偶合表象中寫出總角動量12J J +的所有本征態(tài)。 答:無偶合表象中總角動量12J J +的所有本征態(tài)為(根據(jù)1122|,j m j m 11|1,1,22、11|1,1,22、11|1,0,22、11|1,0,22、11|1,1,22和11|1,1,22 27. 設(shè)角動量1J 和2J 彼此獨立,其量子數(shù)分別為11j =、212j =,在偶合表象中寫出總角動量12J J +的所有本征態(tài)。 答:偶合表象中總角動量12J J +的所有本征態(tài)為(根據(jù)12|,j j j m 133|1,222、131|1,222、131|1,222、133|1,222、111|1,222和111

13、|1,22228. 對非簡并態(tài)的微擾,寫出能級與波函數(shù)的一級近似值與能級的二級近似值。答:對非簡并態(tài)的微擾,能級與波函數(shù)的一級近似值分別為(0n n n n E E H =+(0(0(0(0k n n n k k n k H E E =+ 其中 l (0(0|k n k nH H 。 能級的二級近似值為2(0(0(0|k n n nn n k n k H E E H E E =+29. 簡述變分法的基本思想。答:變分法的基本思想是,首先選取含有參數(shù)的嘗試性波函數(shù)(,用之求體系 Hamilton 量l H 的平均值(H ;然后求體系 Hamilton 量的平均值取最小值時參數(shù)的取值,由此得出體系

14、 Hamilton 量平均值的最小值min H ,這就是體系基態(tài)能量0E 的近似值。30. 設(shè)體系的微擾H 從0t =時刻開始引入,在微擾作用下,在時刻0,t 內(nèi)體系從初態(tài)k 躍遷到終態(tài)m 的概率是多少?答:在時刻0,t 內(nèi)體系從初態(tài)k 躍遷到終態(tài)m 的概率是2|(|mk m W a t = 其中01(d mk t i m mk a t e H i =,l *(d mk m k H H t =,(/mk m k E E =二、 證明題1. 證明黑體輻射的輻射本領(lǐng)(,E T 與(,E T 之間的關(guān)系。證明:黑體的輻射本領(lǐng)是指輻射體單位面積在單位時間輻射出來的、單位頻率間隔內(nèi)的能量,用(,E T

15、表示。由于/c =,所以黑體的輻射本領(lǐng)也可以表示成(,E T 。由定義得單位面積、單位時間內(nèi)輻射的能量為00(,d (,d E T E T = 利用/c =,得 2d d c=,所以有20(,d (,d c E T E T = 20(,d cE T =由此得到輻射本領(lǐng)的頻率表示與波長表示之間的關(guān)系為:2(,(,E T E T c =2. 從Schrdinger 方程出發(fā),證明量子力學(xué)中定域幾率守恒的表達(dá)式0j t+=K 式中,概率流密度(*2i j m=K =,并闡明定域幾率守恒表達(dá)式的物理意義。證明:由 Schrdinger 方程i H t=兩邊左乘*,得 *i H t= (1 上式取復(fù)共軛

16、,考慮到222H V m=+=為實算符,得 *i H t = (2 (1式與(2式相減,得(222*2i tm =(2*2m= 上式對任意閉區(qū)域積分,得(2*d *d 2i r V t m=K = 即 d (d r j V t =K K 考慮到積分區(qū)域的任意性,即有 0j t+=K 上式在量子力學(xué)中稱為概率守恒定律的微分形式,它表明:在非相對論量子力學(xué)中,粒子既不會產(chǎn)生,也不會湮滅,某個地方出現(xiàn)粒子的概率增加了,一定是有概率“流”進(jìn)去,別的地方出現(xiàn)粒子的概率必定會減少。反之,某個地方出現(xiàn)粒子的概率減少了,一定是有概率“流”出去,別的地方出現(xiàn)粒子的概率必定會增加。3. 設(shè)1(,rt K 和2(,

17、r t K 均為同一Schrdinger 方程的兩個解,證明: 312d d *(,(,0d r r t r t t=K K 證明:由題意,有11(,(,i r t H r t t =K K =(1 22(,(,i r t H r t t=K K = (2 由12*(2(1*,得12211221*i i H H t t +=上式對全空間積分,得33121221d d (*d (*d i r r H H t= 1221(,(*,*H H = (3 由于算符H為厄米算符,且為實算符,有 2121(*,*(*,*H H += 12(,*H =12(,H = 由(3式可見312d d (*0d r t

18、=4. 證明:如果(r K 是定態(tài)Schrdinger 方程的解,則其(*r K 也是定態(tài)Schrdinger 方程的解,并且與(r K 對應(yīng)同一能量本征值。證明:由定態(tài) Schrdinger 方程22(2V r r E r m +=K K K 注意到算符l 22(2H V r m=+=K 為實算符,即l l *H H =,上式取復(fù)共軛,得 22(*(*2V r r E r m +=K K K 顯然(*r K 也是Schrdinger 方程的解,且與(r K 對應(yīng)同一能量本征值。5. 證明:如果(V r K 具有空間反演不變性,即(V r V r =K K ,并且(r K 是定態(tài)Schrdin

19、ger 方程的解,則(r K 也是定態(tài)Schrdinger 方程的解,并且與(r K 對應(yīng)同一能量本征值。證明:定態(tài) Schrdinger 方程為22(2V r r E r m +=K K K 因為算符2222222x y z =+ 具有的空間反演不變性,即222222222222(x y z x y z+=+ 對定態(tài) Schrdinger 方程做變換r r K K ,得22(2V r r E r m +=K K K 再根據(jù)題設(shè), (V r V r =K K ,得22(2V r r E r m +=K K K 由此可見,(r K 也是定態(tài) Schrdinger 方程的解,且與(r K 對應(yīng)同一

20、能量本征值。6. 證明:對一維階梯形勢場12(V x a V x V x a 若12(V V 有限,則定態(tài)波函數(shù)(r K 及其導(dǎo)數(shù)(r K 一定是連續(xù)的。證明:由一維定態(tài) Schrdinger 方程222d (2d V x x E x m x += 整理,得22(m x E V x x =(1 顯然,在(V x 連續(xù)區(qū)域,(x 存在,所以,(x 和(x 一定是連續(xù)的。在x a =處,(V x x 發(fā)生躍變,但變化有限(由于21V V 有限。 (1式在區(qū)域0,0a a +積分,得0202(0(0(d 0a a m a a E V x x x += 由此可見,(x 在x a =點連續(xù),因此,在x

21、a =點,(x 也連續(xù)。7. 證明:如果1(x 和2(x 是一維定態(tài)Schrdinger 方程的對應(yīng)同一能量本征值的解,則1221C =(常數(shù) 并且對于束縛態(tài),有0C =。證明:由題意,有1122(0m x E V x x += (1 2222(0m x E V x x +=(2 12(2(1,得12210= 上式即 1221(0= 所以有1221C = (3 對于束縛態(tài),x 時,0,則(3式中0C =。所以,對同屬于能量E 的任何兩個束縛態(tài)波函數(shù)1和2,必定有1221=8. 證明:如果在規(guī)則勢場(即不存在奇點的勢場中運動的粒子處于束縛態(tài),則波函數(shù)一定是不簡并的。證明:設(shè)1和2均是定態(tài) Sch

22、rdinger 方程的對應(yīng)于同一能量本征值的解,且是束縛態(tài),于是,有1221= 上式可整理成 1212= 積分,得 12ln ln C =+ 上式可寫成12ln C =,也就是12C = 由此可見,1與2線性相關(guān),能級不簡并。9. 證明坐標(biāo)與動量算符之間的對易關(guān)系式l ,x x p i =證明:對任意波函數(shù)(,r t K ,有 l (x x p i x x= l (x p x i x i i x x x= 所以,有 l l l ,(x x x x p x p p x i =由算符相等的定義,得 l ,x x p i =10. 證明:不管體系處于什么狀態(tài),厄米算符的平均值必為實數(shù)。證明:根據(jù)厄米

23、算符的定義l l l i *A A A +=,以及轉(zhuǎn)置算符的定義l i l (,(*,*A A =有 l l l l (,(,(*,*(,*A A A A +=于是,厄米算符的平均值l l (,(,*A A A A =要使上式成立,顯然厄米算符A的平均值必須為實數(shù)。11. 證明:若線性厄米算符A和B 有不止一個共同本征函數(shù),且這些共同本征函數(shù)構(gòu)成完備系,則算符A、B 必定可以對易。 證明:設(shè)線性厄米算符A 和B 的共同的完備本征函數(shù)系為n,則對空間中任意一個波函數(shù),可按該完備函數(shù)系展開為n n nC =于是,有l(wèi) l l l l l l l (n n nAB B A C AB B A =(0n

24、 n n n n n nC A B B A =即 l l ,0A B=12. 證明:如果一個量子力學(xué)體系存在守恒量A ,則在體系的任何狀態(tài)下,守恒量A 的概率分布不隨時間改變。證明:如果A 是守恒量,則根據(jù)守恒量的定義, A 不顯含時間且l l ,0A H =。取包括力學(xué)量l H 和l A 在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的完備基n ,對于任意態(tài)矢量|,有|n n na =則守恒量A 的平均值為l ,|*|*n m n m n n n n m nnA A A a a A a a =守恒量A 的概率分布不隨時間改變,是指*n n a a 值不隨時間改變。d(*d *.|.d d n n n n n n a

25、 a a a c c c c t t t =+=+ (展開系數(shù)l |.n n Hc c i =+=(Schrdinger 方程 l 1|.n n H c c i =+=(厄米算符 |.nn n E c c i =+= (本征函數(shù)2|.n n E c c i =+=0= (2|n n E i =為純虛數(shù) 此即守恒量A 的概率分布不隨時間改變。13. 在z 表象中,利用算符的對易關(guān)系證明:x y z i =。 證明:首先證明Pauli 算符的反對易關(guān)系式 0x y y x += 利用Pauli 算符的反對易關(guān)系式2y z z y x i =,得1(2x y y x y z z y y y y z

26、z y i+=+ 221(2y z y z y y z y z y i=+ 1(02y z y z z y z y i=+= 把Pauli 算符的對易關(guān)系式 2x y y x z i = 與反對易關(guān)系式 0x y y x += 相加,得 x y z i = 兩邊右乘z ,利用21z =,即得x y z i =14. 證明:如果角動量1J 和2J 彼此獨立,則對于總角動量12J J J =+仍然有:l l l J J i J =K K K =。證明:由于1J 和2J 彼此獨立,有 l l 12,0J J =K K于是,得l l l l l l 1212,x y x x y y JJ J J J

27、J =+ l l l l 1122,x y x y JJ J J =+ l l l 12z z z i J i J i J =+= (1同理可證l l l ,y z x JJ i J = (2 l l l ,z x y JJ i J =(3上面的(1、(2、(3三式合寫起來就是l l l J J i J =K K K =15. 證明:如果角動量1J 和2J 彼此獨立,則對于總角動量12J J J =+仍然有:l l 2,0JJ =(其中1,2,3=分別表示,x y z 。 證明:由于1J 和2J 彼此獨立,有 l l 12,0J J =K K 于是,得l l l l l l l l 22212

28、1212,2,x x x J J J J J J J J =+K K l l l l l l l l 121212122,x x y y z z x x JJ J J J J J J =+ l l l l l l l l l l l l 2112111221222,y y x z z x y y x z z x JJ J J J J J J J J J J =+ l l l l l l l l 212112122(0yz z y y z z y Ji JJ i J J i J J i J =+= 同理可得 l l 2,0y JJ = l l 2,0z JJ = 三式合寫起來就是 l l 2,0

29、J J =(其中1,2,3=分別表示,x y z 。16. 根據(jù)軌道角動量升降算符的定義: ,x y x y LL iL LL iL +=+=,證明:,2z LL L += 證明:由軌道角動量升降算符的定義,有(x y x y LL L iL L iL +=+ 22(x y x y y x L L i L L L L =+ 22z z L L L=+= 同理,有22(x y x y x y x y y x L L L iL L iL L L i LL L L +=+=+22z z L L L= 于是,得,2z LL L L L L L +=17. 在Pauli 表象下,用矩陣形式證明:l l

30、|0,|2|+= 證明: Pauli 表象就是l z 表象,有算符的矩陣形式 0110x =,00y i i =,1001z = 由此,得l l l 0200x y i +=+=所以,有l(wèi) 021|0000+=l 0201|22|0010+=18. 對于一維諧振子的產(chǎn)生算符 a+和湮滅算符 a ,證明|1an n +=+ |1a n n = 證明:由對易關(guān)系l ,N a a =(即l l N a a N a =+,有l(wèi) l (1Na n a N n a n a n n a n n a n =+=+=+ 由于諧振子勢場為規(guī)則勢場,波函數(shù)不簡并, an 是算符l N 的對應(yīng)于本征值1n +的本征態(tài)

31、,所以 an 與1n +最多只差一個常數(shù),即 1a n C n =+ 由此得*d *(d n n n n n aa n aa a a = (*d (*d n n n na a a a = 1111*d *d *n n n n C C CC CC +=從另外一個角度看,有l(wèi) (1(11n aan n a a n n N n n =+=+=+比較上面兩式,為簡單起見,取C 為正實數(shù),有C = |1a n n +=+ 類似地,由對易關(guān)系l ,N a a =(即l l N a aN a =,得l l (1Na n aN n a n n a n = 由于諧振子勢場為規(guī)則勢場,波函數(shù)不簡并, an 是算符

32、l N 的對應(yīng)于本征值1n 的本征態(tài),所以 an 與1n 最多只差一個常數(shù),即 1a n C n = 由此得*d n n n a a n a a = *d (*d n n n n a a a a =1111*d *d *n n n n C C CC CC =從另外一個角度看,有l(wèi) n aa n n N n n n n n = 比較上面兩式,為簡單起見,取C為正實數(shù),有C =,于是,得 |1a n n =三、 計算題1. 質(zhì)量為m 的粒子在一維無限深方勢阱(0a 0,(00x x a V x x a= 中運動,用de Broglie 的駐波條件,求粒子能量的可能值。解:由駐波條件,勢阱寬度與半波

33、長的整數(shù)倍相等,得(1,2,3,2a n n =由 de Broglie 物質(zhì)波假設(shè),粒子動量為2hnh p a= 于是,粒子能量為 22222222(1,2,3,282p n h n E n m ma ma =2. 設(shè)質(zhì)量為m 的粒子限制在長、寬、高分別為a 、b 、c 的箱內(nèi)運動,用Sommerfeld 量子化條件求粒子能量的可能取值。解:由 Sommerfeld 量子化條件d 1,2,3,k k k k p q n h n =v在直角坐標(biāo)系中,對x 分量,有11d 1,2,3,x p x n h n =v當(dāng)粒子處于一定的能級上時,能量是固定的,如果勢能為零,此時粒子的能量就是動能,處于一

34、定能量狀態(tài)上的粒子,其動量是一個定值,可以把它移到積分號外。所以,有1d x p x n h =v在x 方向上,箱的寬度為a ,相當(dāng)于寬度為a 的無限深勢阱,有12x ap n h = 即 12x n h p a= 同樣可求 22y n h p b =,32z n h p c= 由此得粒子能量22222221232221(28x y z h n n n E p p p m m a b c =+=+ 2222123123222,1,2,3,2n n n n n n m a b c =+=3. 設(shè)質(zhì)量為m 的粒子在諧振子勢221(2V x m x =中運動,用Sommerfeld 量子化條件求粒子

35、能量E 的可能取值。 (積分公式:2arcsin 2a x x C a =+ 解:由 Sommerfeld 量子化條件d 1,2,3,kk k k p q n h n =v 取直角坐標(biāo)系,對一維情況,有 11d 1,2,3,x p x n h n =v當(dāng)粒子處于一定的能級上時,能量是固定的,但此時勢能不為零,粒子動能隨勢能的變化而變化,也就是說此時動量是位置的函數(shù),動量不能看成常數(shù)而放到積分號外。但是動量可以用動能表示,動能可以用總能量與勢能表示,總能量可以用振幅表示,如果我們能夠求出量子化的振幅,則可以求出量子化的總能量。由此思路,得d 2d 2a a a p x p x x =v 2aa

36、x = 由于總能量 221(|2x a E V x m a =d 22a a a p x x m x =v 利用積分公式 2arcsin 2a x x C a=+,得 2d 2ap x m x m a = v (1,2,3,nh n = 由此得量子化振幅 a =于是得到量子化的能量值221(1,2,3,2E m a n n =4. 一個平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為I ,用Sommerfeld 量子化條件求能量的可能取值。解:在經(jīng)典力學(xué)中,對平面轉(zhuǎn)動,一般選取極坐標(biāo)系。在此,我們選取廣義坐標(biāo),則廣義速度為= ,廣義動量為 212T T p I I =由此得粒子的動能為22211(222p E I I I

37、 I= 對微觀粒子,只要能求出量子化的廣義動量,則能求出動能。由 Sommerfeld 量子化條件得2200d d d k k p q p p =v 2p nh =2nh p = 所以 222222(1,2,3,282p n h n E n I I I=5. 設(shè)22/2(x x Ae=,為常數(shù)。求歸一化常數(shù)A 。解: 利用公式 22200d 2d(x x x e x xe x e +=22002d x e x x +=+ 312032d 22t e t t +=112122=+= 得 22222d *d *|d x x x xA Ae A xe +=22|d |x A xe += 再利用歸一化

38、條件 d *1=由此求出歸一化常數(shù) |A = 可以把它取為正實數(shù),得 A =6. 設(shè)粒子在寬度為a 的一維無限深勢阱中運動,能量本征值為22222n n E ma = ,對應(yīng)的歸一化本征函數(shù)為(n n x x a=。如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)(0x Ax a x x a =0,(00x x a V x x a=中運動,求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。解:由定態(tài)Schr dinger 方程 22(2V r r E r m +=K K K在區(qū)域0x a 內(nèi),有 2(2x E x m=令222mE k =,定態(tài)Schr dinger 方程的解為(cos sin x A kx B kx =+對無限深勢阱,在區(qū)域0x a 外,波函數(shù)為零。由連續(xù)性條件,在邊界上波函數(shù)為零,即0|0x =,|0x a =。利用邊界條件0|0x =,得 0A =利用邊界條件|0x a =,得 1,2,3,n k n a = 由此得能量本征值為 22221,2,3,2n n E n ma =對應(yīng)