“中點弦”問題的一種簡捷解法

1、“中點弦”問題的一種簡捷解法湖南省南縣一中 陳敬波(413200所謂“中點弦”問題是關于圓錐曲線上兩點的中點(已知或等求 一類問題的統(tǒng)稱, 在解析幾何中與“中點弦”有關的問題是一類很典型, 很重要的問題. 解決這類問題的方法比較多, 但多數(shù)方法的計算量比較大, 本人試圖通過一些實例, 介紹一種簡捷的解法, 供諸位讀者參考. x 2y 2例橢圓+=1的弦AB 被點(2,1平分，求弦AB 所在的直線方程. 164分析:本題的關鍵是求出弦AB 所在直線的斜率.解:方法. 設直線的斜率為k, (顯然k 存在且不等于0, 則直線方程與橢圓方程聯(lián)列有: y -1=k (x -22222消去變量y, 得方程

2、1+4k x +8k (1-2k x +16k (k -1=0( (x y =1+164( 中的兩根x 1, x 2分別是直線上兩點A,B 的橫坐標. 由已知條件有:x 1+x 2=-8k (1-2k 1 =22k =-1+4k 22弦AB 所在的直線方程為:x +2y -4=0.方法. 設A,B 兩點的坐標為A (x 1, y 1, B (x 2, y 2. 代入橢圓方程x 2+4y 2=4中得22x 1+4y 1=4兩式相減得(x 1-x 2(x 1+x 2+4(y 1-y 2(y 1+y 2=0 22x 2+4y 2=4x 1+x 2=2y -y 2x +x 12=-12=- 又, k

3、AB =1x 1-x 24y 1+y 22y 1+y 2=12弦AB 所在的直線方程為:x +2y -4=0.注:以上兩種解法中, 方法是解決“中點弦”問題的常規(guī)解法, 思路清晰, 但計算量大, 方法則采用“設而不求”的方法，面軍是解決“中點弦”問題的典型解法，計算量較方法要小，但筆者發(fā)現(xiàn)，有一種更簡捷的方法，介紹給大家.如右圖, 點M 是線段AB 的中點, M (x 0, y 0設A (x 0+m , y 0+n , B (x 0-m , y 0-n , 這時有兩個非常簡單有趣的結論:(1k AB題. 解題時若能充分利用這兩個結論, 則可以輕松、快捷、準確地解決“中點弦”的有關問n =; (

4、 2|AB |= m 解:方法. 設A (2+m ,1+n , B (2-m ,1-n , 代入曲線中 (2+m 2(1+n 2+=18m 4n 164, 則兩式相減+=0 22164(2-m (1-n +=1416n 1k AB =- m 2弦AB 所在的直線方程為:x +2y -4=0.下面再舉幾個例子, 以期讀者熟悉這種解法例2. 過定點A(q ,0 的動直線 交拋物線y =2px (p >0于M,N 兩點, 求弦MN 的中點P 的2軌跡方程.解:設動點P (x , y , M (x +m , y +n , N (x -m , y -n 把M,N 兩點代入拋物線y =2px (p

5、>0方程中 22y +n =2p (x +m (n p 兩式相減得4ny =4pm k = MN 2m y (y -n =2p (x -m 又k MN =k AP p y =y 2=2p (x -q . y x -q例3. 直線 與橢圓y =4x 2交于A,B 兩點, 且|AB|=2,設線段AB 的中點為M, 當 運動時, 求中點的軌跡方程.解:設點M (x , y , A (x +m , y +n , B (x -m , y -n , 把點A,B 坐標代入橢圓方程中, 得2y +n =4x +m (兩式相減得:2n +8mx =0n =-4mx 2y -n =4(x -m (1兩式相加

6、得2y =8x +8m y =4x +4m (2 2222由(1、（2）得m 2=11y -x 2, n 2=16 y -x 2x 2 44注意到|AB |=2所求的軌跡方程為y -4x =2 2(1+16x =4.x 2y 2例4. 雙曲線2-2=1的離心率為e =2,A,B 是雙曲線上關于x,y 軸均不對稱的兩點. 線段a bAB 的垂直平分線與x 軸交于點P(1,0,設AB 的中點為C (x 0, y 0. 求x 0的值. 解:由題意, 可設A (x 0+m , y 0+n , B (x 0-m , y 0-n , 把A 、B 兩點坐標代入雙曲線方程中, 得:2222b x +m -a y +n (0=a 2b 2n b 2x 0(022兩式相減得:4b x 0m =4a y 0n k AB =2, 222222m a y 0b (x 0-m -a (y 0-n =a b AB C