拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法ppt課件

1、控制工程理論基礎(chǔ)第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法1；.提綱2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)2.2 拉氏變換與反拉氏變換的定義2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換2.4 拉氏變換的性質(zhì)2.5 拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法2.6 用拉氏變換解常微分方程2；.拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）變換，簡稱拉氏變換。）變換，簡稱拉氏變換。是分析研究線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的有力工具。是分析研究線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的有力工具。時(shí)域的時(shí)域的微分方程微分方程 復(fù)數(shù)域的復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程代數(shù)方程 系統(tǒng)分析大為簡化系統(tǒng)分析大為簡化直接在頻域中研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能直接在頻域中研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能拉氏變換拉氏變換3；.引言引言 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)（1）復(fù)數(shù)

2、的概念復(fù)數(shù)的概念 其中，其中， 均為實(shí)均為實(shí)數(shù)。數(shù)。 為虛單位。為虛單位。（2）復(fù)數(shù)的表示法）復(fù)數(shù)的表示法 點(diǎn)表示法點(diǎn)表示法 向量表示法向量表示法 三角函數(shù)表示法三角函數(shù)表示法 指數(shù)表示法指數(shù)表示法,js,1j,js22rsarctan)sin(cosjrsjressincosjej4；.引言引言 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)（3）復(fù)變函數(shù)的概念）復(fù)變函數(shù)的概念 為自變量。為自變量。)()()(sjvsusGs5；.js),(),(vvuujvusG)(例：js2),(1),(22vvuu2) 1(1)(222jssG6；.)()()()()(11nmpspszszsKsG 當(dāng)sz1,zm時(shí)，

3、G(s)=0，則稱z1,zm 為G(s)的零點(diǎn)；當(dāng)sp1,pm時(shí)，G(s)=，則稱p1,pm 為G(s)的極點(diǎn)。7；.2.2 拉氏變換與拉氏反變換的定義1、拉氏變換0)()()(dtetfsFtfLst有時(shí)間函數(shù)f(t)，t0，則f(t)的拉氏變換記作： Lf(t)或F(s)，并定義為：(21)f(t)的拉氏變換F(s)存在的兩個(gè)條件：（1）在任一有限區(qū)間上， f(t)分段連續(xù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；（2）當(dāng)t時(shí)， f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即滿足：atMetf)(該條件使得積分絕對值收斂。8；.2.2 拉氏變換與拉氏反變換的定義2、拉氏反變換jjstdsesFjsFLtf)(21)(

4、)(1)(1sFL已知f(t)的拉氏變換F(s)，求原函數(shù)f(t) 的過程稱作拉氏反變換，記作：定義為如下積分：其中：為大于F(s)所有奇異點(diǎn)實(shí)部的實(shí)常數(shù)。(22)9；.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換0, 10, 0)( 1ttt1 單位階躍函數(shù)定義為：單位階躍函數(shù)的拉氏變換為：ssedtettLstst10)( 1)( 1 010；.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換0, 00,)(ttt)0()()(1)(00fdttftdtt2 單位脈沖函數(shù)定義為：單位脈沖函數(shù)的重要性質(zhì)：單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為：10)()(0tedtettLstst11；.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換0,0, 0)(t

5、tttf3 單位斜坡函數(shù)定義為：單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為：22000101)(0sesdtsedtsesetdttetLststststst12；.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換atetf)(4 指數(shù)函數(shù)定義為：指數(shù)函數(shù)的拉氏變換為：asasedtedteeeLtastasstatat10)(0)(013；.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換)(21sintjtjeejt5 正弦函數(shù)用歐拉公式表示為：其拉氏變換為：220sinsinsdtettLst)(21costjtjeet6 余弦函數(shù)用歐拉公式表示為：其拉氏變換為：220coscosssdtettLst14；.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換7

6、 冪函數(shù)（作業(yè)）其拉氏變換為：10!nstnnsndtettL例：3322! 2sstL常用時(shí)間函數(shù)的拉氏變換表，可通過直接查表求時(shí)間函數(shù)的拉氏變換。15；.2.4 拉氏變換的性質(zhì)1. 線性性質(zhì)線性變換)()()()()()(221122112211sFKsFKtfLKtfLKtfKtfKL(2-3)16；.2.4 拉氏變換的性質(zhì)atatf, 0)(2. 實(shí)數(shù)域的位移定理延時(shí)定理(2-4)其中f(t-a)是函數(shù)f(t)在時(shí)間上延遲a秒的延時(shí)函數(shù)，且：)()(sFeatfLas17；.例2.3 圖210所示方波的拉氏變換。)( 11)( 11)()()(11TtTtTTtftftf)1 (111

7、)(sTsTeTseTsTstfL圖示方波函數(shù)表達(dá)為：利用單位階躍函數(shù)的拉氏變換，以及拉氏變換的線性性質(zhì)和延時(shí)定理：18；.例2.4 求圖211所示三角波的拉氏變換。)(4)2(4)2(44)()2()2()()(22221111TtTTtTTtTtTTtfTtfTtftftf)21 (44444)()(2222222222222sTTssTTsTseesTesTesTesTsTtfLsF圖示三角波函數(shù)表達(dá)為：利用單位斜坡函數(shù)的拉氏變換，以及拉氏變換的線性性質(zhì)和延時(shí)定理：19；.-01 ( )( )1TstsTL f tf t e dte2.4 拉氏變換的性質(zhì)3. 周期函數(shù)的拉氏變換設(shè)f(t)

8、是以T為周期的周期函數(shù)，即：()( )f tnTf t則f(t)的拉氏變換為：20；.( )( ),( )()26atf tF saL ef tF sa若的拉氏變換為則 對任一常數(shù)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），都有 （ ）2.4 拉氏變換的性質(zhì)4. 復(fù)數(shù)域位移定理(也稱衰減定理)22221sincos()()!()atatat nnsaL etL etsasanL etsa復(fù)數(shù)域位移定理的應(yīng)用：21；.,1 ()( )(2-7)asL f atFaa對于任意常數(shù) 有 2.4 拉氏變換的性質(zhì)5. 相似定理（也稱尺度定理）22；.( )( )( )( )( )(0 )2 8(0 )( )f tF sftL fts

9、F sfff t若時(shí)間函數(shù)的拉氏變換為，且其一階導(dǎo)數(shù)存在，那么 （ ）其中是時(shí)間正向趨近于零時(shí)的值。2.4 拉氏變換的性質(zhì)6. 微分定理0( )( )( )( )tf tF sF sLf t dts假設(shè)的拉氏變換，則 7. 積分定理23；.Back8 終值定理終值定理原函數(shù)原函數(shù)f(t)f(t)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì) sF(s)sF(s)在在s=0s=0鄰域內(nèi)的性質(zhì)鄰域內(nèi)的性質(zhì)24；.Back9 初值定理初值定理25；. ( )( ),( ) ( )( )(2-17)L f tF stf tdL tf tF sds 若則函數(shù)的拉氏變換為 2.4 拉氏變換的性質(zhì)10. tf(t)的拉氏變換 ( )

10、( ),( )/( )( )(2-18)sL f tF sf ttf tLF s dst若則函數(shù)的拉氏變換為 11. f(t)/t的拉氏變換26；.0() ( )( ) ( )tLf tgdF s G s 2.4 拉氏變換的性質(zhì)12. 卷積定理0() ( )( )( )tf tgdf tg t函數(shù)f(t)和g(t)的卷積定義為：拉氏變換的卷積定理：若 函數(shù)f(t)和g(t)滿足拉氏變換存在的條件，則f(t)和g(t)的卷積的拉氏變換一定存在，且：其中，函數(shù)f(t)和g(t)滿足：當(dāng)t0時(shí)， f(t)=g(t)=027；.1. 1. 定義：從象函數(shù)定義：從象函數(shù)F(s)F(s)求原函數(shù)求原函數(shù)f

11、(t)f(t)的運(yùn)算稱的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為為拉氏反變換。記為 。 由由F(s)F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C C是實(shí)常數(shù)，而且大于是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)所有極點(diǎn)的實(shí)部。部。 直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)F(s)必須必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。 )(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst2.5 拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法28；.2.5 拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法

12、有：(1) 查表法簡單象函數(shù)；(2) 有理函數(shù)法需要復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理；(3) 部分分式法復(fù)雜的象函數(shù)簡化為幾個(gè)簡單的部分分式之和，分別求各分式的原函數(shù)，即可得總的原函數(shù)；(4) 利用MATLAB求解。29；. 若若F(s)F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將要將F(s)F(s)展開成若干部分分式之和，而這展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例例1 1：例例2 2：求：求 的逆變換。的逆變換。解：解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(1)(則tetsFLtfsssss

13、sF1)()(1111) 1(1)(122) 1(1)(2sssF30；.1.部分分式法求原函數(shù)12121212,:( -)( -).( -)( )(2-22)( -)( -).( -)/;,.,.,( )mnmmnmnmK s zs zs zF ss ps ps pKbap ppz zzF s如果則 式中：和分別式的極點(diǎn)和零點(diǎn)，均為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。110110.( )( )(2-21)( ).:(1,2,., ),(1,2,.,)mmmmnnnnijb sbsbB sF sA sa sasaa in bjmnm 其中為實(shí)數(shù)，且。31；.12121,( -)( -).( -)( )( -)(

14、-).( -)1( )2( )mnnmK s zs zs zF ss ps ps pF sF srp本節(jié)學(xué)習(xí)即表達(dá)成如下形式的象函數(shù)的拉氏反變換方法： 根據(jù)象函數(shù)的極點(diǎn)形式，分兩種情況進(jìn)行討論：、無重極點(diǎn)的情況；、有 個(gè)重極點(diǎn) ，其余極點(diǎn)各不相同的情況；32；.121212()( )( -)( )( )( ).(2-24)( )-,.,(1,2,., )(2-25)(1)()( )0)()(iiiispiinnnis KKKB sF s A ss ps ps pK KKindA spA sF sB pB sKs pA sA pdA ps 無重極點(diǎn)的情況下，F(xiàn)(s)必定可展開成部分分式之和，即：

15、 其中，為待定系數(shù)。 式中， 為的無重極點(diǎn)根，ip。-11()( ) ( )(2-27)()inp tiiiB pf tL F seA p 33；.23212321232121455512-6( )21222121( )0,-1-2-32 ( )()( )( )62422()4()2()43 ()( )145551()10()-3(iissF ssssA spppA sA pdA sA sssA pA pA pdsB pB sssB pB pB 例 求的拉氏反變換。 令求解極點(diǎn)： ，；求，計(jì)算：，計(jì)算；，3123-1-1-1-1-3)12()4 ()2.51.5352.51.53( ) ( )

16、2.51.53123iiitttpB pKA pKKKf tL F sLLLeeesss計(jì)算各分式待定系數(shù)：； 拉氏反變換： ()()iiiB pKA p 34；.31241121( )20(1)(3)27( ).( )(1)(1- )(2)(4)( ),11-24( )20()(2)(1)43( )( 2 )(1)(3)( )20( )(2)(1- )( )(2 )sjsjB sssF sA ssj sj ssKKKKF ssjsjssB sjjKsjjA sjjjB sjjKsjA sj 例 求拉氏反變換 解： 則 32441-(1)(-143(1)(3)( )20 ( 1) 1(2)5(

17、 )( 1)( 1)2( )20( 3)( 1)(1)3( )( 3)( 3) ( 2)434-3-5-3( )11-24( ) ( )(43 )(4-3 )ssj tjjjB sKsA sjjB sKsjA sjjjjF ssjsjssf tLF sj ej e 因此，)24-()24-24534()3 ()53(8cos6sin )53j ttttjtjtjtjtttttteeeeej eeeeettee ( )( -)( )iiispB sKs pA s35；.1111121121112111( )( )( )( )( )() ().()( )( ).()()1)()(2(1irnrnn

18、rrrrrrrnrF srpB sB sF sA saspspspF sKKKKKKF sspspspspspspKrF s 假如有 個(gè)重極點(diǎn) ，其余極點(diǎn)均不相同，即：那么可展開成如下部分分式之和：其中： 有重極點(diǎn)的情況1111 ( )() (2-29)!() ( )()(1,2,., )(2-30)()jrrsprjjjspjdF s spdsB pKF s spjrrnA p 1121-1-21112112( ) ( ).(1)!(2)!.nrrp trrrp tptptrrnKKf tLF sttKerrKeKeK e 36；.313511124332311223122222231321

19、2.8( )(2) (3)1( )(2)3(2) (0)(3)(2)(2)11( )(2)(3)2-(23)1 ( )(2) 4(3)1 ( )(2) 2!sssssF ss ssKKKKKF sssssssssKF s ss sdsKF s sdsssdKF s sds例： 求拉氏反變換。解：2222400353331132!(3)811( )24(2) (3)11( ) (3)3(2)sssssds sdsKF ssssKF sss s37；.32122223223-11311( )8(2)243(3)2(2)4(2)( ) ( )11311-1311()42 2482423324tttt

20、ttF ssssssf tLF sttteeeteee 所以， 38；.2.使用MATLAB函數(shù)求解原函數(shù) 利用MATLAB中的函數(shù)residue將原函數(shù)展開成部分分式，然后查拉氏變換的表格得到原函數(shù)。函數(shù)格式：r,p,k=residue(b,a);%返回多項(xiàng)式b/a之比的部分分式展開項(xiàng)中的殘差、極點(diǎn)和直接項(xiàng)。b,a=residue(r,p,k)；%將部分分式展開項(xiàng)還原成多項(xiàng)式39；.For example: Num=10*1 2;%定義分子多項(xiàng)式 Den=poly(-1;-3;-4)；%定義分母多項(xiàng)式 res,poles,k=residue(num,den)；展開num/den 殘差、極點(diǎn)和

21、直接項(xiàng)分別為： Res=-6.6667;5.0000;1.6667 Poles=-4;-3;-1 K=; Note:(x+1)(x+3)(x+4)=x3+8x2+19x+1240；.2292.9( )1MATLAB:44( )111( )( )44ttsF ssF sSSf ttee 例求函數(shù)的原函數(shù)解：根據(jù)計(jì)算得到所以，43243222223212.10( )4762MATLAB- 0.50.521121( )111-111(1)(1)1(1)( )( )sin2tttssssF sssssjjF ssjsjsssssf ttetete 例求原函數(shù)，解：根據(jù)運(yùn)行結(jié)果:41；.2.6 用拉氏變

22、換解常微分方程1) 利用拉氏變換將常微分方程轉(zhuǎn)化代數(shù)方程；2) 得到代數(shù)方程的解，即解的象函數(shù)；3) 拉氏反變換求得常微分方程的解。42；.11-10-1011( )( )0000(2-33)(0 )(0 )1( ) ( )( )( )( )( )2( )( )( )( )( )( )nnmmnnmmnnmmiind ydyd xdxaaa ybbb xdtdtdtdtxyA s Y sA sB s X sB sA sB sB sY sXA sA s對于一般的 階線性常系數(shù)非齊次微分方程， 考慮其初始條件和 根據(jù)微分定理進(jìn)行拉氏變換，得： 解出象函數(shù)：-1-1-100( )3( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )cisA sBsB sy tL Y s