作業(yè)題解答詳解

1、曲線積分與曲面積分習(xí)題詳解 習(xí)題9-11 計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：（5），其中為折線段，這里,的坐標(biāo)依次為,；解 如圖所示， 線段的參數(shù)方程為 ，則，故 線段的參數(shù)方程為，則 故 ，線段的參數(shù)方程為，則，故所以 2 設(shè)一段曲線上任一點(diǎn)處的線密度的大小等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，求其質(zhì)量解 依題意曲線的線密度為，故所求質(zhì)量為，其中則的參數(shù)方程為 ，故 ， 所以習(xí)題9-22 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分： （4）是從點(diǎn)沿上半圓周到點(diǎn)的一段?。唤?利用曲線的參數(shù)方程計(jì)算的參數(shù)方程為:，在起點(diǎn)處參數(shù)值取，在終點(diǎn)處參數(shù)值相應(yīng)取0，故從到0則 =（6），其中是螺旋線：,從到上的一段；解 習(xí)題9-51. 利用曲線積

2、分求下列平面曲線所圍成圖形的面積: (1) 星形線 ()；）解 。(2) 圓，（）； 解 設(shè)圓的參數(shù)方程為,從變到.那么 。2 利用格林公式計(jì)算下列曲線積分:(1) ,其中是圓,方向是順時(shí)針?lè)较?；?由格林公式，于是其中是圓域。設(shè)，則。(2) ，其中是圓，方向是逆時(shí)針?lè)较颍?解 設(shè)閉曲線所圍成閉區(qū)域?yàn)?，這里，由格林公式，得 。(3) ，其中是依次連接三點(diǎn)的折線段，方向是順時(shí)針?lè)较?。?令，則，且線段，由1變化到-1，故有 其中為所圍成的閉區(qū)域(4) ，其中為常數(shù)，為圓上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段有向弧；解 如右圖所示，設(shè)從點(diǎn)到點(diǎn)的有向直線段的方程為 ，從變到。則與曲線構(gòu)成一閉曲線，設(shè)它所圍成閉區(qū)域?yàn)?，令?/p>

3、由格林公式，得 。而 ，故 。(5) ，其中，為圓周取逆時(shí)針?lè)较?，是沿的外法線方向?qū)?shù)。解 由于，其中是在曲線上點(diǎn)處的切線的方向角，故根據(jù)兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系及格林公式，有 因?yàn)闉閳A周，所以所圍成的圓的面積，因此 。3. 計(jì)算曲線積分,其中為(1) 橢圓,取逆時(shí)針?lè)较颍?(2) 平面內(nèi)任一光滑的不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單正向閉曲線. 解 (1)令，則當(dāng)時(shí)，但積分曲線所圍區(qū)域包含點(diǎn)，在該點(diǎn)不具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，因此不能直接應(yīng)用格林公式計(jì)算，需要將奇點(diǎn)去掉，為此作半徑足夠小的圓:，使位于的內(nèi)部，如圖右所示的參數(shù)方程為，取逆時(shí)針?lè)较蛴谑?， 其中表示的負(fù)方向由格林公式則有 ，其中為與所圍成的閉區(qū)域故 (2

4、) 分兩種情況計(jì)算。 閉曲線內(nèi)部不包含坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)它所圍成的閉區(qū)域?yàn)椋敲从筛窳止降茫?閉曲線內(nèi)部包含坐標(biāo)原點(diǎn)，仿（1）可得 .習(xí)題9-61求曲線積分，其中是圓的上半圓周，取順時(shí)針?lè)较? 解 令，則在整個(gè)面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路線無(wú)關(guān)。故可取沿軸上的線段（如右圖所示）積分，即，于是，有 .3 驗(yàn)證下列在整個(gè)面內(nèi)為某一函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個(gè)：（3）。解 令，則在全平面上有，滿(mǎn)足全微分存在定理的條件，故在全平面上，是全微分 下面用2種方法來(lái)求原函數(shù)：解法1 運(yùn)用曲線積分公式，為了計(jì)算簡(jiǎn)單，如圖910所示，可取定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與，于是原函數(shù)為取路徑: ，得 解法2 從定義出發(fā)，設(shè)

5、原函數(shù)為，則有，兩邊對(duì)積分（此時(shí)看作參數(shù)），得 （*）待定函數(shù)作為對(duì)積分時(shí)的任意常數(shù)，上式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，又，于是，即 ，從而 （為任意常數(shù)），代入（*）式，得原函數(shù)總習(xí)題A一、 填空題1設(shè)為柱面與平面的交線，從軸負(fù)向看去為逆時(shí)針?lè)较?，則曲線積分. (2011 考研 數(shù)學(xué)一) 2設(shè)曲線為圓周,則3設(shè)為任意一條分段光滑的閉曲線，則曲線積分 4設(shè)是以原點(diǎn)為球心,為半徑的球面,則5設(shè)為球面的下半部分的下側(cè),則曲面積分 6向量場(chǎng)的旋度二、 選擇題1設(shè)是從原點(diǎn)沿折線至點(diǎn)的折線段,則曲線積分等于（ C ） A B C D 2若微分為全微分，則等于（ B ） A B C D 3空間曲線的弧長(zhǎng)等于（ D ） A

6、 B C D 4設(shè)為上半球面，為在第一卦限的部分，則下列等式正確的是（ D ） A B C D 5設(shè)為球面的外側(cè)，則積分等于（ A ） A B C D三、計(jì)算題 1計(jì)算其中為拋物線和直線所圍成的閉曲線；解設(shè)，其中，于是。2計(jì)算,其中為右半圓以點(diǎn)為起點(diǎn),點(diǎn)為終點(diǎn)的一段有向??；解法 設(shè)曲線的參數(shù)方程為，其中從變到，故。解法2 作有向線段，其方程為，其中從變到，則有向曲線與有向線段構(gòu)成一條分段光滑的有向閉曲線，設(shè)它所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，由格林公式，有，即，而，故?計(jì)算,其中為平面在第一卦限中的部分；解 將曲面投影到面上，得投影區(qū)域?yàn)?，此時(shí)曲面方程可表示為，于是，。4. 計(jì)算,其中是球面的上半部分并取外

7、側(cè)；解 作有向曲面，并取下側(cè)，設(shè)兩曲面和所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，由高斯公式，得?驗(yàn)證：在整個(gè)面內(nèi), 是某一函數(shù)的全微分,并求出一個(gè)這樣的函數(shù).。解 因?yàn)?所以在整個(gè)面內(nèi)恒成立,因此,在整個(gè)面內(nèi), 是某一函數(shù)的全微分,即有.于是就有 （1） （2）由（1）式得 （3）其中是以為自變量的一元函數(shù)，將（3）式代入（2）式,得 （4）比較（4）式兩邊,得 于是 （其中是任意常數(shù)）,代入（3）式便得所求的函數(shù)為.四、計(jì)算曲線積分,其中為閉曲線，若從軸正向看去,取逆時(shí)針?lè)较?解 曲線的參數(shù)方程為 從變到，于是 。五、計(jì)算曲面積分,其中是線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面 解 的方程為，在面上的投影區(qū)域?yàn)椋?，。?/p>

8、、計(jì)算曲面積分,其中為上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面介于和之間的部分的下側(cè)解 的方程為，取下側(cè)。作有向曲面，并取上側(cè)，設(shè)兩曲面和所圍成的閉區(qū)域?yàn)椋筛咚构?，得，這里。七、設(shè)一段錐面螺線上任一點(diǎn)處的線密度函數(shù)為,求它的質(zhì)量解 依題意，錐面螺線在點(diǎn)處的線密度函數(shù)為，故錐面螺線的質(zhì)量為 。八、設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),積分在右半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),試求滿(mǎn)足條件的函數(shù)解 令，依題意，有，即，故，其中是任意常數(shù)。再由條件可得，故為所求的函數(shù)。九、設(shè)空間區(qū)閉域由曲面與平面圍成,其中為正常數(shù),記表面的外側(cè)為,的體積為,證明： 證明 這里，由高斯公式得 。另一方面，（或）在面上的投影區(qū)域?yàn)?，故，所以。十、已?/p>

9、曲線的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分. (2010 考研 數(shù)學(xué)一)解 設(shè)曲線，則。于是 總習(xí)題B一、填空題1設(shè)是的方程的上側(cè),則 (2008 考研 數(shù)學(xué)一) 2設(shè)的方程,則3設(shè)為正向圓周，則曲線積分的值為4設(shè)是曲面介于和之間的部分,則曲面積分的值為5設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間閉區(qū)域,是的整個(gè)邊界的外側(cè),則6設(shè), 則矢量場(chǎng)通過(guò)曲面上半部分的流量二、計(jì)算題1設(shè)空間曲線為曲面與的交線，（1）若曲線的線密度為，試計(jì)算曲線的質(zhì)量; 解: 顯然，曲線是空間圓，由曲線的方程消去，得到曲線在面上的捕風(fēng)投影是橢圓，其參數(shù)方程為 其中。故 (2) 計(jì)算解: 同理可算得， ，故 。2計(jì)算, 其中為橢圓,其周

10、長(zhǎng)為 解: 。3計(jì)算,其中為正的常數(shù),為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧解 .4計(jì)算曲面積分,其中是圓柱面介于平面 與之間的部分.解：將分成兩部分，即 ，則, 且和在面上的投影區(qū)域都為，于是.5計(jì)算曲面積分,其中是球面的外側(cè)解：，再利用高斯公式可求得.三確定常數(shù),使在右半平面上的向量 為某二元函數(shù)的梯度,并求解: 依題意，有由，得。故 ，由此可得.四、計(jì)算,其中為曲面的上側(cè)解: 令則，于是，。為了應(yīng)用高斯公式，補(bǔ)充兩個(gè)曲面 以原點(diǎn)為球心，1為半徑的上半球面的下側(cè)，介于圓和橢圓之間，取下側(cè)，在所圍成的空間閉區(qū)域上應(yīng)用高斯公式，得 ，而，對(duì)積分，再補(bǔ)充一個(gè)曲面，這里，取上側(cè)，則圍成一個(gè)空間閉區(qū)域，設(shè)其為，在上應(yīng)用高斯公式，得 ，故 。五、設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),是閉曲面的外法線向量, 所圍成的閉區(qū)域?yàn)?試證明證明：令，則方向?qū)?shù) ，而 ，于是由高斯公式，得 。六、設(shè)曲面為球面,試證明.證明：顯然有，球面與平面相切于點(diǎn)并且球面在該平面的上方，即球面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足，故根據(jù)第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算方法有。七、設(shè)為橢球面上一動(dòng)點(diǎn)