仿射變換在簡單圖形中的應(yīng)用

1、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）冊 仿射變換在簡單圖形中的應(yīng)用學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級：2012級B班學(xué)生：孫翔然指導(dǎo)教師：馬凱二一六年五月十日河北師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書論文（設(shè)計）題目： 仿射變換在簡單圖形中的應(yīng)用 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級： 2012級 B班 學(xué)生姓名： 孫翔然 學(xué)號： 2012012766 指導(dǎo)教師： 馬凱 職稱： 副教授 1、論文（設(shè)計）研究目標(biāo)及主要任務(wù)研究目標(biāo)：仿射變換主要任務(wù)：探討仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用，提出了利用仿射變換解決初等幾何問題的基本思路.應(yīng)用仿射不變性和不變量解決一般梯形、平行四邊形、橢圓

2、的有關(guān)仿射命題是仿射幾何思想方法和知識體現(xiàn)于解決初等幾何中.2、論文（設(shè)計）的主要內(nèi)容探討仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用，提出了利用仿射變換解決初等幾何問題的基本思路.應(yīng)用仿射不變性和不變量解決一般梯形、平行四邊形、橢圓的有關(guān)仿射命題是仿射幾何思想方法和知識體現(xiàn)于解決初等幾何中.3、論文（設(shè)計）的基礎(chǔ)條件及研究路線基礎(chǔ)條件：初中幾何圖形的性質(zhì)，高中接觸的建立直角坐標(biāo)系、解決幾何問題問題，大學(xué)中學(xué)習(xí)的高等幾何，數(shù)學(xué)分析.研究路線：閱讀高等幾何，數(shù)學(xué)分析等相關(guān)書籍深入學(xué)習(xí)研究總結(jié)全文.4、主要參考文獻1 李修昌、宋建華、崔仁浩，高等幾何 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008.6.2朱得祥、朱維宗，高

3、等幾何（第2版）.北京：高等教育出版社，2007.7.3蘇·雅格洛姆著，詹漢生譯，幾何變換.2/哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社2015.6.4周興和、楊明升著，高等幾何第三版 北京：科學(xué)出版社，2015.1.5、計劃進度階段起止日期1完成選題、確定論文題目2提交任務(wù)書、制定進度計劃，對論文文獻、資料進行準(zhǔn)備3繼續(xù)收集資料，完成開題報告4完成論文初稿，畢業(yè)論文中期檢查，完成論文二稿，英文文獻翻譯5修改論文，完成論文定稿，打印，準(zhǔn)備答辯指 導(dǎo) 教師: 年 月 日教研室主任: 年 月 日河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書 數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 2016 屆學(xué)生

4、姓名孫翔然論文（設(shè)計）題目仿射變換在簡單圖形中的應(yīng)用指導(dǎo)教師馬凱專業(yè)職稱數(shù)學(xué)所屬教研室?guī)缀窝芯糠较蛲負(fù)鋵W(xué)課題論證：見附頁方案設(shè)計：復(fù)習(xí)仿射不變性的基本知識及其運用；通過各種渠道查找收集仿射不變性的基本知識及其應(yīng)用的相關(guān)資料，并認(rèn)真研讀有關(guān)資料；總結(jié)仿射不變性性質(zhì)及其仿射不變量求解的應(yīng)用；努力發(fā)現(xiàn)一些問題和亮點，并進行研究；完成論文的撰寫，并做好查漏補缺工作.進度計劃：2016.01.01-2016.01.15： 完成選題、確定論文題目2016.01.16-2016.02.16：提交任務(wù)書、制定計劃進度，對論文文獻、資料進行準(zhǔn)備2016.02.17-2016.03.17：繼續(xù)收集資料，完成開題報

5、告2016.03.18-2016.04.16：完成論文初稿，畢業(yè)論文中期檢查，完成論文二稿，英文文獻翻譯2016.04.16-2016.05.10：修改論文，完成論文定稿，打印，準(zhǔn)備答辯指導(dǎo)教師意見：指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日教研室意見： 教研室主任簽名： 年 月 日河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文附頁課題論證： 課題的背景：射影幾何學(xué)的創(chuàng)設(shè)人笛沙格（Girard Desargues，1591-1661法國數(shù)學(xué)家、建筑師）由中心射影理論推出兩條平行直線應(yīng)該在無窮遠(yuǎn)處相交并將交點成為理想點，將添加進了理想點的歐式空間叫做射影空間.1639年，笛沙格在試論錐面截一平面所得的結(jié)果的初稿一書中集中展現(xiàn)射影幾

6、何學(xué)的新思想和新方法，該書的創(chuàng)造性見解在射影幾何的發(fā)展過程中具有決定性的意義.在射影幾何學(xué)的早期發(fā)展中還有一個人不能不提，他就是布萊士·帕斯卡（Blaise Pascal ,16231662），是法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家）.盡管年少時體弱多病，但他卻在很早的時候就展現(xiàn)令人非凡的數(shù)學(xué)才能.從14歲起，帕斯卡的父親經(jīng)常帶他在巴黎參加每周一次的數(shù)學(xué)家們的聚會.在數(shù)學(xué)的氛圍中接受了良好的熏陶，帕斯卡在科學(xué)之路上迅速成長了起來.1641年，他發(fā)現(xiàn)了射影幾何學(xué)中一條重要的定理：“內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點共線.”這條定理后來被命名為帕斯卡六邊形定理.1658年，他寫了圓錐曲線論，這

7、本書中的諸多都是射影幾何方面的內(nèi)容.因解析幾何和微積分兩大數(shù)學(xué)分支的影響，笛沙格和帕斯卡創(chuàng)建定理時使用的綜合法逐漸被解析法所取代，射影幾何的發(fā)展也自此而沒落了200余年.1822年射影幾何主要的奠基人彭賽列（Jean-VictorPoncelet，17881867，法國數(shù)學(xué)家）發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作.并開始采用建立坐標(biāo)系的方法來解決幾何問題，盡管建立的坐標(biāo)系仍不完善，但邁出了至關(guān)重要的一步.此外，數(shù)學(xué)家們也開始運用解析法來研究射影幾何.在以彭賽列為首的一批幾何學(xué)家的努力鉆研下，19世紀(jì)的射影幾何迎來了蓬勃的發(fā)展.課題的意義：仿射變換，即平行投影變換，是幾何學(xué)中的一個重要變換，是從運動變

8、換過渡到射影變換的橋梁.在初等幾何中，仿射圖形經(jīng)過平面仿射變換，可以由對特殊幾何圖形的證明，得出對一般幾何圖形的證明.而且，根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，可以把特殊圖形的命題推廣到一般圖形，可以達(dá)到事半功倍的效果，至關(guān)重要.課題的研究內(nèi)容：本文主要探討了仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用，以具體實例為依據(jù)，應(yīng)用仿射變換解決一些簡單幾何圖形的基本問題如一般梯形、一般平行四邊形、一般橢圓形等基本圖形問題，將特殊幾何圖形的證明轉(zhuǎn)換為一般圖形的證明，以達(dá)到事半功倍的效果.此外，理論用于實踐，通過仿射變換將一般的圖形和特殊的圖形聯(lián)系起來，并針對不同圖形列出了典型例題，使問題更加清晰可見.課題的研究方法及路線：本論文主要以

9、查找資料，以現(xiàn)有的知識水平，在前人的研究論述基礎(chǔ)上，應(yīng)用仿射變性的相關(guān)理論，采取了從大量閱讀已有的數(shù)據(jù)資料-對資料進行研究總結(jié)-運用相關(guān)知識通過仿射變換性質(zhì)及其應(yīng)用來尋求解題的思路和相關(guān)問題的求解.課題預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)：通過這次論文的撰寫，能更深地理解高等幾何等相關(guān)課程的知識，通過對仿射變換性質(zhì)及應(yīng)用的研究使我重新審視了仿射變換的定義，對仿射變換的相關(guān)知識有了更深地理解，對計仿射變換的基本定義和應(yīng)用技巧有較好的理解掌握.同時在本文的撰寫過程中掌握參考文獻資料的查找方法和論文寫作的基本要求和方法，培養(yǎng)自己利用所學(xué)知識分析和解決問題的能力，學(xué)會從不同的角度看待問題，從而達(dá)到對所學(xué)知識融會貫通.河北師

10、范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）文獻綜述仿射變換是高等幾何中常見的一類基本變換.在高等幾何中，把平行光線照射到物體上，得到的影子叫做平行投影.平行投影是仿射變換中最基本、最簡單的一類.幾何圖形經(jīng)過平行投影保留不變的性質(zhì)成為圖形的仿射性質(zhì).圖形仿射性質(zhì)有：平行投影點變成點；直線變成直線；平行投影保持直線的關(guān)系等.仿射幾何是高等幾何的重要組成部分，是聯(lián)結(jié)射影幾何與歐式幾何的紐帶，是應(yīng)用高等幾何只是解決初等幾何問題的一條重要紐帶.朱根順、呂慶安在發(fā)表的仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用指出：在初等幾何里，有大量的命題是研究圖形仿射性質(zhì)的，即并不涉及距離，角度，面積的具體度量，反而涉及點線結(jié)合關(guān)系，直線的平行性，

11、共線與平行線段之比，封閉圖形面積之比以及線段中點的概念.對于這類命題，我們可以充分的利用仿射幾何的有關(guān)理論.由特殊到一般，化繁為簡的加以解決，從而達(dá)到事半功倍的效果，這方面問題的解決，常?？梢越柚诜律渥儞Q與仿射坐標(biāo)系來實現(xiàn).徐天長在發(fā)表的論文仿射變換在初等幾何中應(yīng)用指出：仿射變換在初等幾何的應(yīng)用多樣化的，只要是善于聯(lián)系，善于分析，善于應(yīng)用，許多復(fù)雜的問題都可以簡化.從所舉的例子可以看出，仿射變換的應(yīng)用是靈活而有規(guī)律的，其方法是從特殊到一般的方法.正三角形是特殊的三角形，正方形是特殊的平行四邊形，而圓由是特殊的橢圓.因此，利用平行投影把這種特殊和一般巧妙的聯(lián)系起來，把一般的問題轉(zhuǎn)化為特殊的問題

12、，從而輕而易舉地得到解決.從例題可以總結(jié)得出：應(yīng)用仿射變換中的仿射不變性質(zhì)與仿射不變量解體的步驟可以概括如下：判斷求解的問題是否能利用仿射不變性質(zhì)、仿射不變量求解，一般涉及到點共直線，直線共點，線段比，面積比等一類問題皆可應(yīng)用仿射變換解題.選擇合適的仿射變換，找出所給圖形的合適的仿射圖形.在仿射圖形中求證，寫出具體的仿射變換及解題過程.但值得我們注意的是，所考慮的問題都必須是仿射性質(zhì)的問題，否則這種方法就不適用了.參考文獻：1 聞仲良等，高等幾何【M】.四川大學(xué)出版社，2006，6-152宋衛(wèi)東等，解析幾何【M】.高等教育出版社，2003，237-2453 羅崇善等，高等幾何講義【M】.四川科

13、技技術(shù)出版社，1987，,15-274王中懷，化二次射影幾何問題為初等幾何問題數(shù)學(xué)通報，1993（4）41-435吳子匯等，高等幾何簡明教程【M】.中國礦業(yè)大學(xué)出版社，19996劉增賢等，高等幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)書【M】.高等教育出版社，19897張世容，射影幾何學(xué)研究【J】.教學(xué)與研究，1988（5）.8王敬庚，試論射影幾何對中學(xué)幾何教學(xué)的指導(dǎo)意義J,19869朱根順，仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用【J】，1992（4）10徐天長，仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用【J】.2003（9）11俞冬梅，論高等幾何在平面幾何中的應(yīng)用J.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2009，（13）：192-193.12療效用.高等幾何在初等幾何中

14、的一些應(yīng)用J.黔南民族師范學(xué)院學(xué)報，2006，（6）：12-26.13 李修昌、宋建華、崔仁浩，高等幾何 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008.6.14朱得祥、朱維宗，高等幾何（第2版）.北京：高等教育出版社，2007.7.15蘇·雅格洛姆著，詹漢生譯，幾何變換.2/哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社2015.6.16周興和、楊明升著，高等幾何第三版 北京：科學(xué)出版社，2015.1. 19胡旭光， 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）翻譯文章文化發(fā)源地中國、印度、巴比倫、埃及都是大河流貫，土地肥沃，適合農(nóng)牧的好地方，造成古代農(nóng)牧民族定居生存的優(yōu)良條件.為了馴服和利用湍急的河流為農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)服

15、務(wù)，滿足生產(chǎn)和生活的實際需要，產(chǎn)生和發(fā)展了技術(shù)和數(shù)學(xué)（特別是幾何學(xué)）.測量土地，窺測天象、制定歷法以利農(nóng)牧，這是歷代的大事.我國計算圓周率常常與修訂立法聯(lián)系在一起.公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖沖之計算精確到小數(shù)六位，比歐洲人早一千一百多年，就跟他制定大明歷有關(guān).我國古代搞土木建筑，計算面積、體積和谷倉的容積，積累了許多實踐經(jīng)驗，留下許多公式.祖沖之的兒子祖暅計算球的面積，用奇妙的算法得到完全正確的公式.我國最早的數(shù)學(xué)書周髀算經(jīng)和九章算術(shù)里有許多幾何問題.由這兩本書可看出，圓周率和勾股定理我國早就知道了，這兩書的作者及著作年代尚無定論，但所記載的問題源流極古，有的上溯到周秦以前，也有兩漢時代的算法.

16、再推前一些，無論石器時代的陶器上，或殷商的鐘鼎上，都已有了精美的幾何圖案，說明我國幾何學(xué)的歷史是悠久的.戰(zhàn)國時的墨翟所著墨經(jīng)十五卷，比歐幾里得幾何原本早一個多世紀(jì)，其中談到圓是“一中同長”的圖形（有一個中心，圓上各點到中心有相同長度）.這表明幾何學(xué)在中國古代已有了較高的水平.從國外來說，幾何學(xué)的發(fā)展可以因其質(zhì)變分為四個時期.第一個時期是幾何作為數(shù)學(xué)的萌芽時期，從人類積累到生產(chǎn)、生活經(jīng)驗到大約公元前5世紀(jì)止.古代埃及積累了不少幾何知識，特別是從尼羅河泛濫之后土地的重新測量，建筑許多金字塔.古埃及有了相似性的概念，掌握了四棱臺求體積的公式.后來希臘人和埃及人通商，去埃及留學(xué).根據(jù)希臘史家的記載，幾

17、何學(xué)于公元前7世紀(jì)傳入巴比倫河希臘.埃及不成系統(tǒng)的幾何知識跟希臘的邏輯相結(jié)合，幾何有了質(zhì)變.第二時期，幾何稱為數(shù)學(xué)的獨立學(xué)科，希臘的幾何傳遍世界各地.在希臘，從公元前7世紀(jì)到2世紀(jì)，幾何學(xué)在泰勒斯、畢達(dá)哥斯拉、迪莫克里特、柏拉圖、歐多克索斯等哲學(xué)學(xué)派手中發(fā)展起來，以抽象化、邏輯化為特點，這是埃及幾何知識和希臘邏輯方法相結(jié)、合的產(chǎn)物.歐幾里得在前人的基礎(chǔ)上寫了幾何原本，可以說是集埃及、希臘幾何之大成.歐式原本跟阿波羅尼奧斯關(guān)于圓錐曲線的著作是幾何上十分成熟流傳到現(xiàn)在的著作.7世紀(jì)阿拉伯人的勢力到達(dá)希臘，文化中心東移到地中海東岸敘利亞一帶.8世紀(jì)末9世紀(jì)初幾何原本譯成阿拉伯文，擴大了影響.8世紀(jì)初

18、阿拉伯人的勢力到達(dá)西班牙，幾何原本跟著到了歐洲.1120年被英國傳道士阿德哈譯成拉丁文，從此幾何原本早歐洲漸有地位，尤其在的德國與意大利.但在中學(xué)學(xué)習(xí)，則是在印刷術(shù)發(fā)明以后的事，或者說中國在其發(fā)明的印刷術(shù)傳到歐洲，對歐洲科學(xué)文化的傳播發(fā)揮了積極作用.1482年有拉丁文的幾何原本印行于威尼斯，此后以各國文字印行的歐式原本不下500版.作為世界科學(xué)著作，其流傳時間之長、范圍之廣、影響之深遠(yuǎn)，古今中外無出其右.1570年始譯為英文.明萬歷卅五年（1607）徐光啟和利瑪竇合譯原本前六卷于北京，清咸豐五年（1855）李善蘭和偉烈亞歷山大續(xù)譯后九卷.1739年原文譯為俄文、兩千余年間，歐式原本是所有數(shù)學(xué)家

19、應(yīng)讀的課本，它是僅存的古代數(shù)學(xué)名著之一，這是歷史對它作出的最好的評價.很早在希臘就給幾何添加了新的內(nèi)容，除上述阿波羅尼奧斯的圓錐曲線外，還有阿基米德確定面積、體積的新方法，西巴爾卡的三角法初步與梅乃勞的球面幾何.第三個時期是因資本主義的萌芽促進歐洲文藝復(fù)興而引起的幾何學(xué)的重新繁榮.關(guān)鍵的一步是17世紀(jì)前半葉，由笛卡爾和費馬引進坐標(biāo)法解決幾何問題.這是劃時代的革新，幾何方法的革新跟當(dāng)時正在發(fā)展的幾何學(xué)和萌芽時期的解析學(xué)發(fā)生聯(lián)系，相互促進，產(chǎn)生了解析幾何以及后來的微分幾何.此后百余年內(nèi)，代數(shù)的和解析的方法統(tǒng)治了幾何學(xué)，幾乎排斥了綜合法（純幾何法）.但還有寫學(xué)者要將微積分奠基于幾何，也得到了新結(jié)果.

20、優(yōu)美而直觀明晰的幾何方法總吸引著人.因此在17-18世紀(jì)，純幾何雖不處于生機勃勃的發(fā)展中心，也還維持著其驚人的活力.19世紀(jì)初，一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為過去的綜合幾何被不公平、不明智的忽視了因而積極努力來復(fù)興并擴展它.第四個時期是從羅巴切夫斯基建立了第一種非歐幾何開始的.他的論文1862年宣讀，1829年以發(fā)展完備的形式印出.幾千年來人們認(rèn)為客觀空間由歐式幾何唯一的描述：通過直線以外一點在和決定的平面上有且僅有一條直線跟不相交，三角形的內(nèi)角和等于兩直角.現(xiàn)在羅氏建立了與此完全不同的幾何學(xué)，通過在所說的平面上有無數(shù)條直線跟不相交，三角形的內(nèi)角和小于兩直角.難怪俄國當(dāng)時最大的兩位數(shù)學(xué)家把這說成是荒唐.這種幾

21、何德國的高斯和匈牙利的波爾納也獨立建立了起來，發(fā)展的最完善的是羅巴切夫斯基.當(dāng)人們公認(rèn)這種幾何學(xué)的時候，這三個人都已進入墳?zāi)沽耍硪环N非歐幾何后來由德國黎曼建立，經(jīng)過點在所說的平面上沒有任何直線跟不相交，三角形內(nèi)角和大于兩直角.羅巴切夫斯基的發(fā)現(xiàn)等于發(fā)現(xiàn)了新大陸，人們稱它為“幾何學(xué)中的哥白尼”.這是一次數(shù)學(xué)思想上的巨大進展，擴大了對空間的認(rèn)識.幾何學(xué)變成了研究各種不同空間（歐式空間、羅氏空間、黎氏空間、放射空間、射影空間等）以及這些個別空間圖形的數(shù)學(xué)理論的總體.China, India, Babylon, Egypt, the cradle of culture, is a river flo

22、wing through, In order to tame and use rivers for agriculture and animal husbandry production services to meet the actual needs of production and life, production and development of technology and Mathematics (especially geometry).  The measurement of land into sky, making the calendar to agric

23、ultural animal husbandry, this is the event.  Our calculated pi and often revised legislation together. In the 5th century ad Zu Chongzhi, a mathematician in China, calculates the exact to decimal six,  more than one thousand years earlier than the Europeans, he developed th

24、e Daming calendar related.  China's ancient civil construction, calculation area, volume and the volume of the barn, Accumulated a lot of practical experience, leaving many formulas. Zu xuan is Zu Chongzhis son,he calculate the area of the ball, with the wonderful algorithm to get the corre

25、ct formula.  There are many geometric problems in China's earliest math book Zhou Jing and the nine chapter arithmetic.  From these two books can be seen, PI and Pythagorean theorem in the early to know.  The author of the two books and the book's time is not yet conclusive, b

26、ut the record of the source of the problem is very ancient.Some back to Zhou Qin before the Han Dynasty also has the algorithm. Forward, regardless of the stone age pottery, or the tripods, has fine geometric patterns, The history of our country's geometry is long.  The Warring States

27、period when those with Mojing volume fifteen, Fabio Eulid & lt; & gt; geometry; early more than a century. Among them, it comes to the circle is "a medium with long & quot; the graph (there is a center, the circle on each point to the center of the same length).  This shows tha

28、t the geometry in ancient China has a higher level.From abroad, the development of geometry can change because it is divided into four periods.The first period was geometry as the budding period of mathematics, from the accumulation of human beings to the production and the life experience until abo

29、ut fifth Century B. c. Ancient Egypt accumulated a lot of knowledge, especially from the river after the flood of land re measurement, building a lot of Pyramid. Ancient Egypt had similar concepts, mastering four prism volume formula: . Then the Greeks and Egyptians go to Egypt to study trade. Accor

30、ding to the Greek historian records geometry in seventh Century BC was introduced into Babylon River in greece. Egypt not geometric knowledge system with Greek logic combination geometry has been a qualitative change.In the second period, geometry is called the independent subject of mathematics, an

31、d the geometry of Greece is spread throughout the world. In Greece, from the 7th century BC to the 2nd century, geometry in Thales, Pythagoras of Godzilla, Dimmock Ritter, Plato, endoxus etc. School of Philosophy in the hands of developed, to abstract, logical features. This is Egypt geometry and Gr

32、eek logic method of the combination of the product. Euclid wrote "geometry", on the basis of predecessors, can be said to be in Egypt, the great Greek geometry. European original and Apollonius on the conic curve of the work is very mature in geometry and spread to the present work. The se

33、venth Century Arab forces arrived in Greece, the cultural center moved to the east coast of the Mediterranean area of Syria. At the end of eighth Century and early ninth Century the "geometry", translated into Arabic, expand the influence. Arabs arrived in Spain in early eighth Century, &q

34、uot;the geometry of the original" followed to europe. 1120 years by the British transfer Taoist Adeha translated into Latin, from "geometry originally" Early Europe gradually status, especially in Germany and Italy. But in the middle school, it was in the printing of the invention of

35、the future, or that China in its invention of the printing spread to Europe, the spread of European science and culture has played a positive role. 1482 is the Latin "geometry", published in Venice, then to the countries of European languages was not under version 500. As the world's s

36、cientific works, its spread time long, wide and profound influence at all times and in all countries, second to none. 1570 is translated into English. Ming Wanli 35 years (1607) Xu and Ricci translated originally the first six volumes in Beijing, Qing Xianfeng five years (1855) Li Shanlan and Wei st

37、rong Alexander continued translation after nine volumes. In 1739 translation of the original Russian, more than2000 years, European originally all mathematicians should read the textbook, it is only one of the ancient classics of mathematics. This is history for it to make the best evaluation.Early

38、in Greece to geometric added new content, in addition to the Apollo mourinho, conic, determine a new method of area, volume and Archimedes, preliminary and west barr card trigonometry MeiNaiLao spherical geometry.The third period because the bud of capitalism to promote European Renaissance caused b

39、y geometry of prosperity. The key step is to first half of the 17th century, by Descartes and fermat introduction coordinates method to solve geometric problems. This is epoch-making innovations, the geometric method of innovation with was the development of analytic geometry and budding period stud

40、y, promote each other, the analytic geometry and differential geometry. After hundreds of years, algebra and analytic method to rule the geometry, almost exclusive synthesis (pure geometric method). But will write scholars based on geometry, calculus and new results are obtained. Elegant and intuiti

41、ve clear geometric method always attract people. So in 17 to 18 century, pure geometry, though not in a vibrant development center, also maintained its surprising vitality. In the early 19th century, some mathematicians think the past comprehensive geometric are unfair, unwise to neglect and positiv

42、e efforts to revive and extend it.The fourth stage is from LObachevsky established the first start of the non Euclidean geometry. 1862 1829 to read his paper, developing the complete printed form. For thousands of years, people think that the objective space by Euclidean geometry only describe: othe

43、r than through the linear plane in and decided to have and only a straight line with disjoint, the sum of the interior angles of a triangle and equal to two right angle. Now Roche establish the geometry and this is entirely different, through in the plane have innumerable lines with disjoint, the su

44、m of the interior angles of a triangle and less than two right angles. It is no wonder that Russia was the largest of two mathematicians say it is absurd. This geometry of Germany's Gauss and Hungary's Porner has also been established independently, the development of the most perfect is LOb

45、achevsky. When it is recognized that this geometry, the three men have entered the tomb, another non Euclidean geometry later by German Riemannian establishment, after point in the plane no any line with disjoint, the angles of a triangle and greater than two right angle.The found of cutting, equal

46、to found the new world, people call it "Copernicus" in the geometry. This is a huge progress on mathematical thinking, expand the knowledge of space. Geometry into the various space (European space, roche space, Li Shi space, space radiation, projective space, etc.) as well as the individu

47、al space overall graphics mathematical theory.本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）冊 仿射變換在簡單圖形中的應(yīng)用學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級：2012級B班學(xué)生：孫翔然指導(dǎo)教師：馬凱二一六年五月十日目錄中文摘要、關(guān)鍵詞11背景知識11.1射影幾何學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展11.2仿射幾何與射影幾何和歐式幾何12 仿射變換的基本概念22.1平行射影與透視仿射22.2透視仿射對應(yīng)的基本性質(zhì)22.3仿射變換32.3.1定義32.3.2單比32.3.3仿射不變性和仿射不變量32.3.4仿射變換的代數(shù)表示43 仿射變換在解題中的應(yīng)用5 3.1梯形5 3.2平行四邊

48、形6 3.3五邊形6 3.4橢圓8 3.4.1面積問題8 3.4.2角度問題114運用仿射坐標(biāo)解題13 4.1三角形中心相等13 4.2證明線段相等144.3證明點共線問題15仿射變換在簡單圖形中的應(yīng)用數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師 馬凱 作 者 孫翔然中文摘要：本文主要探討了仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用，以具體實例為依據(jù)，應(yīng)用仿射變換解決一些簡單幾何圖形的基本問題如一般梯形、一般平行四邊形、一般橢圓形等基本圖形問題，將特殊幾何圖形的證明轉(zhuǎn)換為一般圖形的證明，以達(dá)到事半功倍的效果.本論文主要以查找資料，以現(xiàn)有的知識水平，在前人的研究論述基礎(chǔ)上，應(yīng)用仿射變性的相關(guān)理論，采取了從大量

49、閱讀已有的數(shù)據(jù)資料-對資料進行研究總結(jié)-運用相關(guān)知識通過仿射變換性質(zhì)及其應(yīng)用來尋求解題的思路和相關(guān)問題的求解. 通過這次論文的撰寫，能更深地理解高等幾何等相關(guān)課程的知識，通過對仿射變換性質(zhì)及應(yīng)用的研究使我重新審視了仿射變換的定義，對仿射變換的相關(guān)知識有了更深地理解，對計仿射變換的基本定義和應(yīng)用技巧有較好的理解掌握.同時在本文的撰寫過程中掌握參考文獻資料的查找方法和論文寫作的基本要求和方法，培養(yǎng)自己利用所學(xué)知識分析和解決問題的能力，學(xué)會從不同的角度看待問題，從而達(dá)到對所學(xué)知識融會貫通.關(guān)鍵詞：仿射變換 仿射坐標(biāo)系 簡單圖1.背景知識11射影幾何學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展研究圖形在射影變換下不變的性質(zhì)的幾何學(xué)

50、叫做射影幾何學(xué)，它所處理的是構(gòu)成幾何圖形的最根本的定性方面和描述方面的性質(zhì)，而且不用線段和角的度量.眾所周知，早在遠(yuǎn)古時代，人類就會用繪畫來記錄日常生活，用繪畫來記錄要早于人類用文字來進行記錄.人類這種智慧的生物在描繪的過程中促成了透視學(xué)的發(fā)展.在人類房屋等建筑物的建造工程中，我們將設(shè)計的房屋模型繪制到圖紙上，實際上繪制的就是建筑物的平面投影.在繪畫、建筑中漸漸產(chǎn)生了射影幾何學(xué).射影幾何學(xué)的創(chuàng)設(shè)人笛沙格（Girard Desargues，1591-1661法國數(shù)學(xué)家、建筑師）由中心射影理論推出兩條平行直線應(yīng)該在無窮遠(yuǎn)處相交并將交點成為理想點，將添加進了理想點的歐式空間叫做射影空間.1639年，

51、笛沙格在試論錐面截一平面所得的結(jié)果的初稿一書中集中展現(xiàn)射影幾何學(xué)的新思想和新方法，該書的創(chuàng)造性見解在射影幾何的發(fā)展過程中具有決定性的意義.笛沙格的好朋友費爾馬在看過他的著作后甚至認(rèn)為他是圓錐曲線理論的真正奠基人.在射影幾何學(xué)的早期發(fā)展中還有一個人不能不提，他就是布萊士·帕斯卡（Blaise Pascal ,16231662），是法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家）.盡管年少時體弱多病，但他卻在很早的時候就展現(xiàn)令人非凡的數(shù)學(xué)才能.從14歲起，帕斯卡的父親經(jīng)常帶他在巴黎參加每周一次的數(shù)學(xué)家們的聚會.在數(shù)學(xué)的氛圍中接受了良好的熏陶，帕斯卡在科學(xué)之路上迅速成長了起來.1641年，他發(fā)現(xiàn)了射影幾何學(xué)中

52、一條重要的定理：“內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點共線.”這條定理后來被命名為帕斯卡六邊形定理.1658年，他寫了圓錐曲線論，這本書中的諸多都是射影幾何方面的內(nèi)容. 因解析幾何和微積分兩大數(shù)學(xué)分支的影響，笛沙格和帕斯卡創(chuàng)建定理時使用的綜合法逐漸被解析法所取代，射影幾何的發(fā)展也自此而沒落了200余年.1822年射影幾何主要的奠基人彭賽列（Jean-VictorPoncelet，17881867，法國數(shù)學(xué)家）發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作.并開始采用建立坐標(biāo)系的方法來解決幾何問題，盡管建立的坐標(biāo)系仍不完善，但邁出了至關(guān)重要的一步.此外，數(shù)學(xué)家們也開始運用解析法來研究射影幾何.在以彭賽列為首的

53、一批幾何學(xué)家的努力鉆研下，19世紀(jì)的射影幾何迎來了蓬勃的發(fā)展.1.2仿射幾何與射影幾何和歐式幾何仿射幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個分支.平面仿射幾何主要研究平面圖形在仿射變換下不改變的性質(zhì).平面上的仿射變換可以看成是連續(xù)施行有限回兩個平面之間的平行投影所得到的平面上點之間的一一對應(yīng)，也可以說仿射變換是一個平行投影“鏈”. 經(jīng)常說，仿射幾何是空間的點的幾何，射影幾何是給每一個直線添加無窮遠(yuǎn)點使得任何兩條在同一平面上的直線都相交.仿射幾何似乎比較直觀，射影幾何不太直觀.很可惜，現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想離不開射影幾何的思想，不理解射影幾何就不能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的精神. 仿射幾何中的好幾個定理在射影幾何中特別容易證明.仿射幾何

54、學(xué)是幾何學(xué)的一個分支.平面仿射幾何主要研究平面圖形在仿射變換下不改變的性質(zhì).平面上的仿射變換可以看成是連續(xù)施行有限回兩平面之間的平行投影所得平面內(nèi)的一一對應(yīng)，我們同時也可以把仿射變換理解為一個平行投影“鏈”.因此仿射幾何加上無窮遠(yuǎn)點集合就是一個射影集合，前者的仿射維數(shù)等于后者的射影維數(shù)，因此在一個抽象空間里既配備了仿射結(jié)構(gòu)又配備了射影結(jié)構(gòu).這個事實，同時解釋了射影幾何定義的等價性. 在這個事實上，射影幾何比仿射幾何只多一點點，但卻使得仿射定理在射影幾何中變得簡單了.這是因為僅僅考慮通過原點的子空間要比考慮可能甚至互不相交的陪集便利得多. 關(guān)于與的差有一個“自然”的仿射結(jié)構(gòu)，如果你能在三維空間情形建立這個現(xiàn)象，那么你就算是理解了仿射幾何與射影幾何. 最后，這個對應(yīng)，作為透視法的抽象，不僅僅是幾何間的對應(yīng)，也可以建立起線性映射間的對應(yīng)，因此，這個對應(yīng)是一個函子，是仿射幾何范疇到射影幾何范疇間的態(tài)射，你在仿射幾何里考慮的事，可以對應(yīng)到射影幾何的情形；在射影幾何里考慮的事，也可以對應(yīng)到仿射幾何的情形.這就是透視法的威力所在. 把射影幾何換成仿射幾何，就可以發(fā)現(xiàn)任意一個仿射幾何，都能作為不通過原點的超平面嵌入到一個所謂的泛空間：嵌入到.這個嵌入，也可以建立起線性映射間的對應(yīng)，于是也是一個函子，是仿射幾何范疇到自身的態(tài)射.這個函子，就是射影幾何觀念建立前，透視法的抽象表示.