全等三角形的相關(guān)模型總結(jié)概要

1、 全等的相關(guān)模型總結(jié)1、 角平分線模型應(yīng)用1. 角平分性質(zhì)模型： 輔助線：過點G作射線（1） .例題應(yīng)用：如圖1，在，那么點D到直線的距離是 .如圖2，已知，. 圖1 圖22 （提示：作交于點E），.(2) .模型鞏固：練習(xí)一：如圖3，在四邊形中，>，平分.求證： 圖3練習(xí)二：已知如圖4，四邊形中， 圖4練習(xí)三：如圖5，交于點E，交于點F.(1) 求證：.(2) 將圖5中的沿向右平移到的位置，使點落在邊上，其他條件不變，如圖6所示，是猜想：于又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論. 圖5 圖6練習(xí)四：如圖7，P是的中點，平分 求證：平分ADECBP2143 圖7練習(xí)五：如圖8，A的平分線與的垂

2、直平分線相交于D，自D作，垂足分別為E，F(xiàn)求證： 圖8練習(xí)六：如圖9所示，在中，邊的垂直平分線交的外角平分線于點D，F(xiàn)為垂足，于E，并且>。求證：。圖9練習(xí)七： 如圖10，D、E、F分別是的三邊上的點，且的面積與的面積相等，求證：平分。2.角平分線+垂線，等腰三角形比呈現(xiàn)輔助線：延長交射線于F 輔助線：過點E作射線（1） .例題應(yīng)用：如圖1所示，在中，3C，是的平分線，于F。求證：證明：延長交于點F。 已知：如圖2，在， 分析：此題很多同學(xué)可能想到延長線段，但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結(jié)論毫無關(guān)系。而此題突破口就在于，由此我們可以猜想過C點作平行線來構(gòu)造等腰三角形.證明：過點C作交的延長線于點E

3、. 例題變形:如圖，求證： (3) .模型鞏固：練習(xí)一、 如圖3，是等腰直角三角形，90°，平分交于點D，垂直于，交的延長線于點E。求證：2。 圖3練習(xí)一變形：如圖4，在中，過點E作 圖4練習(xí)二、如圖5，已知中，平分，且，180度，求證：ACDEB 圖5 練習(xí)三、如圖6，E是上一點，平分，平分，求證：點E是中點。ABCDE 圖6練習(xí)四、如圖7（a），. 圖7（a） 圖7（b） 圖7（c） 、如圖7（b），、如圖7（c），其他條件不變. 則在圖7（b）、圖6（c）兩種情況下，與還平行嗎？它與三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜測，并證明你的結(jié)論.(提示：利用三角形中位線的知識證明線平行

4、) 練習(xí)五、如圖8，在直角三角形中，的平分線交于自作交于，交于自作于，求證： 圖8練習(xí)六、如圖9所示，在中，為的中點，是的平分線，若且交的延長線于，求證 圖9 練習(xí)六變形一：如圖10所示，是中的外角平分線，于，是的中點，求證 且 圖10練習(xí)六變形二：如圖11所示，在中，平分，于，求證 圖11 練習(xí)七、如圖12，在中，的平分線交與則有那么如圖13，已知在中，求證： 圖12 圖13練習(xí)八、在中，的平分線交于，過作，為垂足，求證：練習(xí)九、是的角平分線，交的延長線于，交于 求證：3. 角分線，分兩邊，對稱全等要記全 兩個圖形的輔助線都是在射線上取點B，使，從而使.（1）.例題應(yīng)用：、在中，60

5、6;，40°，平分交于P，平分交于Q，求證：。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^O作的平行線。得。得到，只要再證出就可以了。解答過程：證明：如圖（1），過O作交于D，180°60°40°=80°，又80°，    ，    又，    ，  &#

6、160; ，    又，    ，    又，    ，又70°，    70°，    。                    

7、; 解題后的思考：（1）本題也可以在上截取，連，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過O作交于D，則從而得以解決。如圖（5），過P作交于D，則從而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。、如圖所示，在中，是的外角平分線，是上異于點的任意一點，試比較與的大小，并說明理由【解析】 ，

8、理由如下如圖所示，在的延長線上截取，連接因為是的外角平分線，故在和中，公用，因此，從而在中，而，故 變形：在中，是的平分線是上任意一點求證：【解析】 在上截取，連結(jié)，根據(jù)證得，又中，（2）、模型鞏固：練習(xí)一、.如圖，在中，于D，B的平分線交于點E，求證：點E恰好在的垂直平分線上。EADBC練習(xí)二、如圖，已知中，A100°，B的平分線交于D，ACBD求證：練習(xí)三、如圖，已知中，C90°，A的平分線交于D，ACBD求證：練習(xí)四、已知：在中，的平分線和外角的平分線相交于交于求證：練習(xí)五、在中，平分，是中點，連結(jié)，求證：變式：已知：在中，平分，求證：練習(xí)六、 已知：如圖，在四邊形中

9、，平分的延長線交于點E. 求證：（1） ； (2) .ABCDFE練習(xí)七、已知如圖，在四邊形中，的外角平分線與的外角平分線交于點P.求證：練習(xí)八、如圖，在平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形）中，E，F(xiàn)分別是，邊上的點，且、交于G點，求證：是的平分線。練習(xí)九、如圖，在中，為直角，于M，平分交于D，交于T，過D作交于E，求證：.練習(xí)十、如圖所示，已知中，平分，、分別在、上， 求證：【補充】如圖，在中，交于點，點是中點，交的延長線于點，交 于點，若，求證：為的角平分線4.中考巡禮：（1）.如圖1，是的平分線，請你利用圖形畫一對以為所在直線為對稱軸的全等三角形，請你參考這個全等三角形的方法，解答下列

10、問題。、如圖2，在中，是直角，60，、是、的角平分線， 相交于點F，請你判斷并寫出與之間的數(shù)量的關(guān)系。、如圖3，在中，不是直角，而（1）中的其他條件不變，請問，（1）中的結(jié)論是否任然成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由。ABCDEF圖2ABCDEF圖3 AOMNEF圖1（2）.如圖，在平面直角坐標系中，B（-1，0），C（1，0）D為y軸上的一點，點A為第二象限內(nèi)一動點，且2，過點D作于M，、求證：；、若點E在的延長線上，求證：平分；、當點A運動時，（）的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由。2、 等腰直角三角形模型1. 在斜邊上任取一點的旋轉(zhuǎn)全等： 操作過程： （1） .

11、將逆時針旋轉(zhuǎn)，使，從而推出為等腰直角三角 形.（但是寫輔助線時不能這樣寫） （2） .過點C作，連導(dǎo)出上述結(jié)論.2.定點是斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：連.（1）. 使（），導(dǎo)出. （2）.使，導(dǎo)出. （1）、例題應(yīng)用： . 解析：方法一：過點C作， 方法二：.證明：方法一：連接，證明.特別注意證明.方法二：過點M作交于點N，得出為直角梯形的中位線，從而導(dǎo) 出為等腰直角三角形. （2） 、練習(xí)鞏固： 已知：如圖所示， 中，O為中點，若M、N分別 在線段、上移動，且在移動中保持. 、 是判斷的形狀，并證明你的結(jié)論. 、 當M、N分別在線段、上移動時，四邊形的面積如何變化？思

12、路：兩種方法： 在正方形中，3 ，5 ，4 ，求為多少度. 提示如右圖： 3. 構(gòu)造等腰直角三角形 （1） 、利用以上的1和2都可以構(gòu)造等腰直角三角（略）；（2） 、利用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角.如下圖： 圖3-1 圖3-2操作過程：在圖3-2中，先將以所在的直線為對稱軸作對稱三角形，再將此三角形沿 水平方向向右平移一個正方形邊長的長度單位，使A與M，D與E重合.例題應(yīng)用：已知：平面直角坐標系中的三個點，求的 度數(shù).4. 將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖： 圖4-1 圖4-2例題應(yīng)用：思路：構(gòu)造正方形，可以構(gòu)造出等邊，從而造出，又根據(jù)，可得，再由于，故而得到從而得 證.例題拓

13、展：若不是等腰直角三角形，即，而是， 其他條件不變，求證：2=21.練習(xí)鞏固：在平面直角坐標系中，A（0 , 3），點B的縱坐標為2，點C的縱坐標為0，當A、B、C 三點圍成等腰直角三角形時，求點B、C的坐標.（1）、當點B為直角頂點： 圖1 圖2（2） 、當點A為直角頂點： 圖3 圖4（3） 、當點C為直角頂點： 圖5 圖63、 三垂直模型（弦圖模型） . . . 由導(dǎo)出 由導(dǎo) 由導(dǎo)出 出 1. 例題應(yīng)用：例1.已知：如圖所示，在中，D為中點，于E，交于F，連接.求證：.思路：方法一: 過點C作交的延長線于點M.先證， 再證 即可.方法二：過點A作分別交、于H、M.先證， 再證 即可.方法三

14、：過點A作分別交、于H、M.先證 ，得出 . 由M、D分別為線段、的中點，可得為的中位線 從而推出，又由于，故而，所以為 線段的中垂線. 所以1=2.再由1=2 ，則 .例1拓展（1）：已知：如圖所示，在中，于E，交于F，連接.求證：. 思路：同上題的方法一和方法二一樣.拓展（2）：其他條件不變，只是將和分別延長交于點P，求證：, .思路：同上題的方法一和方法二一樣.例2.如圖2-1，已知，和 是等腰直角三角形，2，5，求四邊形的面積. 圖2-1 解析：如圖2-2，過點E、B分別作，交延長線于點N、M. 過點F、C分別作 ，交及延長線于點 P、Q.和 是等腰直角三角形， .， ，. ，. ，.

15、， . . ， 四邊形是矩形. 2，5 5-2=3 圖2-22.練習(xí)鞏固：（1）、如圖（1）-1，直角梯形中，是的垂直平分線， 交于點M，以腰為邊做正方形，于點P. 求證：22. （1）-1 （1）-2 （2）、如圖，在直角梯形中，E是的中點， . 求證： ； 求證：是線段的垂直平分線； 是等腰三角形嗎？請說明理由.4、 手拉手模型1.和均為等邊三角形 結(jié)論：（1）. （2）.（“八字模型證明”）（3）平分 拓展： 條件：和均為等邊三角形 結(jié)論：（1）、 （2）、 （3）、為等邊三角形 （4）、 （5）、 （6）、平分 （7）、 （8）、 （7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）2.和均為等腰直角三角形 結(jié)論：（1）、 （2） 3和均為正方形結(jié)論：（1）、 （2）、變形一：和均為正方形，交于T，求證：M為的中點. 方法一： 方法二： 方法三：變形二：和均為正方形，T為的中點，求證：4當以、為邊構(gòu)造正多邊形時，總有：1=2=.5、 雙垂直+角平分線模型結(jié)論：拓展：若平分，其他條件不變，求證： 6、 半角模型條件：思路：（1）、延長其中一個補角的線段 （延長到E，使 ，連或延長到F，使 ，連 ） 結(jié)論： 、