全等三角形常見的輔助線作法例題精講

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗。 三角形中兩中點，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線?！境Ｒ娸o助線的作法有以下幾種】1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點

2、向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。4、過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。一、倍長中線（線段）造全等（一）例題講解例1、（“希望杯”試題）已知，如圖中，求

3、中線AD的取值范圍。分析：本題的關(guān)鍵是如何把AB，AC，AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一個三角形當中。ECABD解:延長AD到E，使，連接BE又， (三角形三邊關(guān)系定理)即經(jīng)驗總結(jié)：見中線，延長加倍。例2、如圖，中，E、F分別在AB、AC上，D是中點，試比較與EF的大小。證明：延長FD到點G，使，連接BG、EGGFECABD，在中，例3、如圖，中，E是DC的中點，求證：AD平分.證明方法一：利用相似論證。證明：ECABDE是DC中點，即AD平分證明方法二：利用全等論證。證明：延長AE到M，使，連結(jié)DM易證MECABD，又，又，即AD平分（二）實際應用：1、（2009崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向

4、外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點。探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系。（1）如圖1 當為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖1中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)（）后，如圖2所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由。圖 1MNCABDNECABDM圖 2解：（1），；證明：延長AM到G，使，連BG，則ABGC是平行四邊形GCHABDMNE，又再證：，延長MN交DE于H（2）結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長CA至F，使，F(xiàn)A交DE于點P，并連接BF，F(xiàn)CPABDMNE在和中（SAS），又，且，二、截長補短（一）

5、例題講解例1、如圖，中，AD平分，且，求證：證明：過D作，垂足為MMCABD又，AD平分在和中，即: 例2、如圖，EA，EB分別平分，CD過點E，求證：證明：在AB上截取，連接EF在和中FEDABC即在和中（ASA）例3、如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：證明：延長AB到D，使，連接PD則AP，BQ分別是，的角平分線，45232DQPCAB1又在與中，（AAS）即 例4、如圖，在四邊形ABCD中，BD平分.求證： 解：過點D作于E，過點D作交BA的延長線于FBD平分EFDCAB，在和中（HL）例5、如圖，在中，P為AD上任意一點。求證：EDAPC

6、B證明：如圖，在AB上截取AE，使，連接PE在和中（SAS）在中，即（二）實際應用如圖，在四邊形ABCD中，點E是AB上一個動點，若，且，判斷與的關(guān)系并證明你的結(jié)論。分析：此題連接AC，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們的問題。解：有連接AC，過E作并AC于F點則可證為等邊三角形即，DEACBF又，DEACB又在與中，點評：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。三、平移變換（一）例題講解FNMDEACB例1、AD為的角平分線，直線于A.E為MN上一點，周長記為，周長記為.求證：.證明：

7、延長BA到F，使,連接EFAD為的角平分線，BC+BE+CE>AB+AC+BC的周長小于的周長，即例2、如圖，在的邊上取兩點D、E，且，求證：.解析：先連接AF并延長至G，使，其中F是BC的中點，連接GB，GC，GD，GE可知四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形，延長AD至H，交BG于H運用三角形的三邊關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊”即可進行證明。證明：連接AF并延長至G，使，其中F是BC的中點，連接GB，GC，GD，GEGFHDEACB四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形，延長AD至H，交BG于H，即點評：本題考查了三角形三邊關(guān)系，將證明邊的大小關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系問

8、題是解題的關(guān)鍵本題借助輔助線DH起樞紐作用。方法2：取BC中點M，連AM并延長至N，使，連BN，DNNMDEACB（SAS）同理延長ND交AB于P，則，相加得：各減去DP，得：四、借助角平分線造全等（一）例題講解例1、如圖，已知在中，的角平分線AD，CE相交于點O.求證：FODEACB證明：在AC上取點F，使，連接OFAD是的平分線 ，CE是的平分線 ，即：例2、如圖，中，AD平分，且平分BC，于E，于F. （1）說明的理由；（2）如果，求AE、BE的長。（1）證明:連接DB，DCGFDEACB且平分BC，AD平分（2）解: ，即，（二）實際應用1、如圖，OP是的平分線，請你利用該圖形畫一對以

9、OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在中，是直角，AD、CE分別是、的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為（2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。證法一：如圖1，在AC上截取，連結(jié)FG ，AF為公共邊， FBEACD圖 12143G，AD、CE分別是、的平分線及FC為公共邊證法二：如圖2，過點F分別作于點

10、G，于點H FBEACD圖 22143HG，AD、CE分別是、的平分線可得，F(xiàn)是的內(nèi)心，又 可證 五、旋轉(zhuǎn)（一）例題講解例1、正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，求的度數(shù)。GFDEACB解：將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，至又，又例2、D為等腰斜邊AB的中點，DM，DN分別交BC，CA于點E，F(xiàn)。（1）當繞點D轉(zhuǎn)動時，求證：；（2）若，求四邊形DECF的面積。分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分，則，由得，根據(jù)等角的余角相等得到，根據(jù)全等三角形的判定易得，即可得到結(jié)論；（2）由，則，于是四邊形DECF的面積，由而可得，根據(jù)三角形的面積公式易求得，從而得到四邊形DECF

11、的面積。解：（1）連CD，如圖，D為等腰斜邊AB的中點CD平分，NMFDEACB在和中（2）四邊形DECF的面積而四邊形DECF的面積點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)。例3、 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，求的周長。解：是等腰三角形，且MANMDCB是邊長為3的等邊三角形順時針旋轉(zhuǎn)使DB與DC重合在和中 的周長為6（二）實際應用1、已知四邊形ABCD中，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩

12、邊分別交AD、DC（或它們的延長線）于E、F（1）當繞B點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證圖 1ABCDEFMNABCDEFMN圖 2FEANMDCB圖 3（2）當繞B點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明。解：（1），（SAS）；，為等邊三角形，（2）圖2成立，圖3不成立。證明圖2，延長DC至點K，使，連接BKKABCDEFMN圖 2則，即圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是2、（西城09年一模）已知: ，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè)。（1）如圖，當時，求A

13、B及PD的長；（2）當變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應的大小。分析：（1）作輔助線，過點A作于點E，在中，已知，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，求PD長即為求的長，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長，進而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；（2）將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，PD的最大值即為的最大值，故當、P、

14、B三點共線時，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此時EPADCB解：（1）如圖，作于點E中，在中，PPACBDE解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，；解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設DA的延長線交PB于GGFPACBDE在中，可得，在中，可得，在中，可得（2）如圖所示，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn),得到，PD的最大值，即為的最大值中，且P、D兩點落在直線AB的兩側(cè)當、P、B三點共線時，取得最大值（如圖）PPACBDPPACBD此時，即的最大值為6此時3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且，. 探究：當M、N分別

15、在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系。圖 1NMADCB圖 2NMADCB圖 3NMADCB（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時； （2）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若，則（用、L表示）分析：（1）如果，因為，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因為，根據(jù)HL定理，兩三角形全等。那么，三角形NCD中，在三角形DNM中，因此三角形DMN是個等邊三角形，因此，三角形AM

16、N的周長，三角形ABC的周長，因此（2）如果，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長AC至E，使，連接DE（1）中我們已經(jīng)得出，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，因此兩三角形全等，那么，三角形MDN和EDN中，有，有一條公共邊，因此兩三角形全等，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為，因此Q與L的關(guān)系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的。（3）我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的，我們做的角，因此兩三角形全等（ASA）那么，三角形MDN和NDH中，已知的條件有，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道，因為，因此，因為，那么，因此，這樣就構(gòu)成了兩三角形全等的條件三角形MDN和DNH就全等了那么，三角形AMN的周長因為，因此三角形AM