§1.5 事件的獨立性

1、1.5 1.5 事件的獨立性事件的獨立性1.5.1 獨立性獨立性 在一般情況下在一般情況下,有有 ,但有時事但有時事件件B發(fā)生與否與發(fā)生與否與A無關(guān)無關(guān),這時就有這時就有 由此引出事件獨立性的概念由此引出事件獨立性的概念.)()|(APBAP )()|(APBAP 例例1.5.1 10件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中4件正品件正品,連續(xù)取兩次連續(xù)取兩次,每次取一件每次取一件,作作有放回抽樣有放回抽樣.設(shè)設(shè)B,A分別表示第分別表示第一一,第二次取得正品第二次取得正品,則則故故 當(dāng)事件當(dāng)事件B對事件對事件A沒有任何影響時沒有任何影響時,事件事件A與事件與事件A|B是等價的是等價的.當(dāng)當(dāng), 4 . 0)( AP.

2、4 . 0)|( BAP).()|(APBAP 且且0)( BP,)()()|()( BPABPBAPAP 有有時,時,)()|(APBAP 定義定義1.5.1 設(shè)設(shè)A,B為同一樣本空間中的兩為同一樣本空間中的兩事件事件,若若則稱則稱A與與B相互獨立相互獨立. ).()()(BPAPABP ).()()(BPAPABP 即即 定理定理1.5.1 設(shè)設(shè)A，B互相獨立，則互相獨立，則各對事件也分別互相獨立各對事件也分別互相獨立.BABABA與與，與與，與與 證明：證明：).()()(1)()()()()()()()(BPAPBPAPBPAPAPABPAPBAPBAP 定義定義1.5.2 設(shè)設(shè) 個事

3、件個事件,若若 是任意兩個事件是任意兩個事件,有有則稱這則稱這n個事件個事件兩兩獨立兩兩獨立.nnAAAn是是)2(,21 )(,jiAAji ),()()(jijiAPAPAAP 定義定義1.5.3 設(shè)設(shè) 個事件個事件,若對其中任意若對其中任意 則稱這則稱這n個事件個事件互相獨立互相獨立.nnAAAn是是)2(,21 有有個事件個事件kiiiAAAnkk,)2(21 )18. 1( ),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 例例1.5.2 把一個均勻的正四面體每個面分把一個均勻的正四面體每個面分別標(biāo)上別標(biāo)上1,2,3,4,再拋擲兩次再拋擲兩次.設(shè)設(shè)A表示表示“第一次第一

4、次出現(xiàn)偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)”,B表示表示“第二次出現(xiàn)奇數(shù)第二次出現(xiàn)奇數(shù)”,C表表示示“兩次同奇或同偶兩次同奇或同偶”,則樣本空間則樣本空間共共16個樣本點個樣本點.于是于是),4 , 4( ,),2 , 1(),1 , 1( . 2/116/8)()()( CPBPAP 可見可見即即A,B,C三事件兩兩獨立三事件兩兩獨立.而而即它們不互相獨立即它們不互相獨立. 4/116/4)()()( BCPACPABP),()()(),()()(),()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP .81)21()()()(, 0)()(3 CPBPAPPABCP 注注 事件的獨立性在概率論的理論分析及事件的

5、獨立性在概率論的理論分析及實際應(yīng)用中都十分重要實際應(yīng)用中都十分重要.但在實際應(yīng)用時但在實際應(yīng)用時,我們我們通常是根據(jù)通常是根據(jù)事件的實際背景事件的實際背景而不是由定義來而不是由定義來判斷其獨立性，即是看一個事件的發(fā)生對另判斷其獨立性，即是看一個事件的發(fā)生對另一個事件是否有影響，若沒有就獨立一個事件是否有影響，若沒有就獨立. 例例1.5.3 敵機(jī)俯沖時敵機(jī)俯沖時,被一門高射機(jī)槍擊中被一門高射機(jī)槍擊中的概率為的概率為0.05,現(xiàn)集中現(xiàn)集中40門高射機(jī)槍門高射機(jī)槍,求擊中敵求擊中敵機(jī)的概率機(jī)的概率. 解解 設(shè)設(shè) 表示表示“敵機(jī)被第敵機(jī)被第i門高射機(jī)槍擊門高射機(jī)槍擊中中” 則各則各 之間獨立。又設(shè)之間

6、獨立。又設(shè)A表表示示“敵機(jī)被擊中敵機(jī)被擊中”,則則于是于是iA；40, 2 , 1,i.05. 0)(401iiiAPAA且每個且每個iA.8715. 0)05. 01(1)(111)(1)(40401401401iiiiiiAPAPAAPAP 例例1.5.4 甲甲,乙乙,丙三人各自獨立地向靶子射丙三人各自獨立地向靶子射擊一次擊一次,設(shè)其命中率分別為設(shè)其命中率分別為0.3,0.5,0.7,求靶上求靶上僅中一彈的概率僅中一彈的概率.（0.395） 解解 設(shè)設(shè)B表示表示“靶上僅中一彈靶上僅中一彈”，則，則且根據(jù)實際情況認(rèn)為且根據(jù)實際情況認(rèn)為 互相獨立互相獨立.由概由概率的有限可加性及獨立性，得率的

7、有限可加性及獨立性，得，123123123BA A AA A AA A A 123,A A A123123123( )()()()0.395P BP A A AP A A AP A A A 例例 若若 ,則則A與與B互互不相容和不相容和A與與B獨立不能同時發(fā)生獨立不能同時發(fā)生. *例例 證明：若證明：若 則事件則事件A與與B獨立獨立.1)(0 , 1)(0 BPAP),B|()|(APBAP 例例 設(shè)事件設(shè)事件A與與B不相容，不相容，A與與C、B與與C均均獨立，獨立，P(A)=0.6,P(B)=0.3,P(C)=0.4,則則._)| )(CBAP 例例 設(shè)甲設(shè)甲,乙乙,丙三人同時獨立向坦克射擊

8、一丙三人同時獨立向坦克射擊一次次,命中率各為命中率各為0.2,0.3,0.5.坦克命中一次而被坦克命中一次而被擊毀的概率為擊毀的概率為0.2,命中二次而被擊毀的概率為命中二次而被擊毀的概率為0.6,命中三次而被擊毀的概率為命中三次而被擊毀的概率為0.9,求坦克被求坦克被摧毀的概率摧毀的概率?1.5.2 可靠性問題可靠性問題 在航空在航空,航天及其他科學(xué)鄰域常常會遇到航天及其他科學(xué)鄰域常常會遇到可靠性問題可靠性問題,即一個系統(tǒng)由多個元件組成即一個系統(tǒng)由多個元件組成,只要只要少量元件有故障少量元件有故障,就可能使整個系統(tǒng)出現(xiàn)故障就可能使整個系統(tǒng)出現(xiàn)故障.因此因此,就產(chǎn)生了可靠性理論研究就產(chǎn)生了可靠

9、性理論研究.一個系統(tǒng)的可一個系統(tǒng)的可靠性可以用可靠度來刻畫靠性可以用可靠度來刻畫,它是指系統(tǒng)正常工它是指系統(tǒng)正常工作的概率作的概率. 以下以下,我們總是假定系統(tǒng)中各元件能否正我們總是假定系統(tǒng)中各元件能否正常工作是互相獨立常工作是互相獨立. 設(shè)一個系統(tǒng)由設(shè)一個系統(tǒng)由n個元件構(gòu)成個元件構(gòu)成, 表示表示“第第i 個元件正常個元件正?！? A表示表示“系統(tǒng)正常系統(tǒng)正?！?記記iA)(iiAPp )., 2 , 1(ni （1）串聯(lián)系統(tǒng)）串聯(lián)系統(tǒng).如圖如圖1.5.這時這時特別地特別地,若每個若每個123n則則,1niiAA )19. 1( .)()(11 niiniipAPAP則則, ppi )20.

10、1( .)(npAP (2) 并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng).如圖如圖1.6. 這時這時123n則則,1niiAA )21. 1( . )1(1)(1)(1)(1)(1)(1111 niiniiniiniipAPAPAPAPAP 特別地特別地,若每個若每個則則, ppi )22. 1( .)1(1)(npAP 例例1.5.5 一個混聯(lián)系統(tǒng)如圖所示一個混聯(lián)系統(tǒng)如圖所示: 設(shè)該系統(tǒng)由設(shè)該系統(tǒng)由5個元件組成個元件組成,每個元件的可靠每個元件的可靠度為度為p,求系統(tǒng)的可靠度求系統(tǒng)的可靠度. 解解 設(shè)元件設(shè)元件2與與3組成并聯(lián)系統(tǒng)組成并聯(lián)系統(tǒng),其可靠度為其可靠度為 把子系統(tǒng)把子系統(tǒng)視為一個元件視為一個元件,它與元件它

11、與元件1,4組成串聯(lián)系統(tǒng)組成串聯(lián)系統(tǒng),可靠度為可靠度為而系統(tǒng)而系統(tǒng)與元件與元件5組成整個系統(tǒng)組成整個系統(tǒng),這又是一個并這又是一個并聯(lián)系統(tǒng)聯(lián)系統(tǒng),故其可靠度為故其可靠度為123452)1(1p ).2(pp ).2(2ppp .32)2(1)1(15433ppppppp*例例 設(shè)設(shè)A，B為兩事件且為兩事件且 則（則（ ）成立。）成立。, 0)(, 1)(0BPAP，)|()|(ABPABP)()()()( )()()()()|()|()( )|()|()(BPAPABPDBPAPABPCBAPBAPBBAPBAPA，1)|()|( ABPABP 例例 設(shè)設(shè)P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8,則下則下列結(jié)論中正確的是列結(jié)論中正確的是( )(A)事件事件A與與B互不相容互不相容;(B)(B)(C)(C)事件事件A與與B互相獨立互相獨立;(D)(D)P(AB)=P(A)+P(B).；BA 例例 事件事件A,B滿足滿足 則則一定一定_.A 不相互獨立不相互獨立 B 不互斥不互斥 C 相互獨立相互獨立 D 不相容不相容, 1)()( BPAPBA與與作業(yè)作業(yè)P13-16 *例例 設(shè)設(shè)A、B、C為三個相互獨立的隨機(jī)事為三個相互獨立的隨機(jī)事件且件且