全國數(shù)模大賽B題北京一等獎

1、2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽

2、規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： B 我們的報名參賽隊號為（8位數(shù)字組成的編號）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?北京航空航天大學(xué) 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 馮偉 （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細(xì)核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。） 日期： 2014

3、年 9 月 15 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：標(biāo)題摘要本文以一種采用鉸鏈連接的可折疊桌子為研究對象，立足于折疊桌從平板狀態(tài)到撐起后桌子狀態(tài)的變化過程，建立了三維空間代數(shù)幾何模型和多目標(biāo)線性規(guī)劃模型，分析并解決了下列問題。對于問題1，我們借助建立的幾何模型，以桌腿升起的高度作為變化過程的推進(jìn)量，根據(jù)鋼筋所在位置確定各個桌腿所在直線，又結(jié)合桌腿長

4、度，最終得到每根木條末端位置的數(shù)學(xué)描述，進(jìn)一步從單個木條的變化到桌角邊緣線的變化最后到桌子整體的變化，利用數(shù)學(xué)表達(dá)式和直觀圖像兩方面，由點到面逐步詳細(xì)地分析并描述了該折疊桌變形的動態(tài)變化過程（如圖，公式）。然后利用各個木條所在直線、鋼筋位置、木條末端位置的數(shù)學(xué)描述，借助空間幾何知識，得到了折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)：；桌腿木條最大開槽長度17.8728cm ；撐起后桌子的桌角邊緣線的數(shù)學(xué)描述為： 對于問題2，我們建立了多目標(biāo)規(guī)劃模型，首先借助參考文獻(xiàn)一中桌子的穩(wěn)固性的歐洲標(biāo)準(zhǔn)和檢測方法，對我們所要設(shè)計的折疊桌進(jìn)行穩(wěn)固性檢測模擬，結(jié)合相關(guān)力學(xué)知識給出滿足穩(wěn)固性要求的數(shù)學(xué)表達(dá)作為約束條件，同時把用料最少

5、作為目標(biāo)函數(shù)，最優(yōu)化求解后最終確定最外側(cè)桌腿的長度，進(jìn)而確定長方形平板材料的尺寸。然后考慮加工的便捷性，把各個木條末端距離槽的距離的最小值作為目標(biāo)函數(shù)，求得此目標(biāo)函數(shù)取最大時對應(yīng)的鋼筋位置作為其最佳位置。最后根據(jù)問題1中的幾何模型和相關(guān)位置的數(shù)學(xué)描述方法求得開槽長度。對于題目中給定的桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，我們的運算結(jié)果如下：平板尺寸為長166.48cm，鋼筋距離中心45cm，最大開槽長度為34.3357cm對于問題3，基于問題1中的代數(shù)幾何模型和問題2中穩(wěn)固性和用料量的優(yōu)化處理方法，對于任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀和桌角邊緣線的形狀，我們給出了設(shè)計加工參數(shù)的數(shù)學(xué)模

6、型和具體操作步驟：1)確定最外側(cè)桌腿長度；2)確定鋼筋位置；3)確定剩余桌腿長度；4)確定平板材料形狀尺寸；5)穩(wěn)固性檢驗與可行性檢驗。該模型的適用性很廣，根據(jù)上述模型與操作步驟，對于顧客給出的任意桌面邊緣線、桌角邊緣線和桌面高度，不管桌子是否對稱，是否規(guī)則，我們基本能夠最大限度地滿足顧客需求，呈現(xiàn)出相應(yīng)形狀尺寸且滿足桌子穩(wěn)固性標(biāo)準(zhǔn)的折疊桌。最后，我們給出了三個自己設(shè)計的創(chuàng)意折疊桌。關(guān)鍵詞：桌角邊緣線、桌子穩(wěn)固性、多目標(biāo)規(guī)劃一、 問題背景與重述題目給出了一種創(chuàng)意平板折疊桌，重量輕，變形容易。桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板，桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條

7、連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度?；谶@種創(chuàng)意平板折疊桌，我們具體分析了以下三方面的問題：問題一給定這種桌子的平板尺寸、木條寬度以及折疊后桌子的高度，又已知鋼筋固定的位置，我們建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，并給出了桌子的設(shè)計加工參數(shù)（例如，桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。問題二對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計要求，我們把產(chǎn)品穩(wěn)固性、加工便捷性、用材數(shù)量三方面考慮在內(nèi)，確定最優(yōu)的設(shè)計加工參數(shù)，并給出計算實例。問題三對于顧客任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，我們建立數(shù)學(xué)模型，給出所

8、需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀，最后給出了我們自己設(shè)計的幾款創(chuàng)意平板折疊桌和相應(yīng)的設(shè)計加工參數(shù)。二、 問題分析問題一題目給出了長方形平板的尺寸120 cm × 50 cm × 3 cm，且每根木條寬2.5 cm，由此可以由平面幾何是知識得到木條的數(shù)目以及各個木條的長度。要分析此折疊桌在三維空間內(nèi)的動態(tài)變化過程，我們可以選取桌面升起的高度作為變化推進(jìn)量來描述整個桌子的動態(tài)變化過程。根據(jù)桌面升起的高度以及鋼筋固定位置我們可以得到相應(yīng)時刻空間內(nèi)鋼筋所處直線，從而由勾股定理可進(jìn)一步得知鋼筋相對每根木條的位置以及每根木條末

9、端的位置。隨之桌面升起高度的漸變，就能得到桌角邊緣線的漸變過程以及鋼筋相對每根木條平板狀態(tài)下的偏離距離，每根木條的最大偏移距離即開槽長度也能隨之確定。問題二同樣是問題一中提到的折疊桌，對于任意給定的桌子高度和和圓形桌面直徑，我們考慮桌子的穩(wěn)固性、用料量和加工便捷性，使產(chǎn)品設(shè)計達(dá)到最優(yōu)化，這是一個多目標(biāo)規(guī)劃問題。首先我們可以利用桌子穩(wěn)固性的歐洲標(biāo)準(zhǔn)和檢測方法對折疊桌進(jìn)行檢測模擬，根據(jù)力學(xué)相關(guān)知識給出滿足穩(wěn)固性要求的數(shù)學(xué)表達(dá)式作為約束條件，然后把用料量作為目標(biāo)函數(shù)，求得其最小值時的相關(guān)參數(shù)，由此確定最外側(cè)桌腿的長度，而長方形平板的寬即圓形桌面的直徑已給定，進(jìn)而平板材料的尺寸可以得到。關(guān)于鋼筋位置的

10、確定，我們從加工方便的角度出發(fā)，由于鋼筋位置影響槽的位置，而太過靠近桌腿木條末端的開槽方式在實際加工過程中容易穿透木條，使得加工不便，并且影響桌腿質(zhì)量與桌子的使用壽命，因此我們可以選取鋼筋距離桌腿末端距離最小值作為目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)它取最大值時對應(yīng)的位置為鋼筋的最佳位置。鋼筋位置確定后，借助問題一的幾何模型，可以求得各個木條具體的開槽位置和長度長度。以題目中給出的桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形為例，為使加工方便且美觀，我們?nèi)圆扇∶窟?0根，共40根木條的方案，給出最優(yōu)化方案的計算實例。問題三對于客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，我們的設(shè)計方法可以參照問題

11、二的模型，把產(chǎn)品的穩(wěn)固性，用料量也考慮在內(nèi)，盡可能的設(shè)計出滿足顧客需求的折疊桌。給出折疊桌高度，我們可以參照第二問提到的桌子穩(wěn)固性標(biāo)準(zhǔn)和監(jiān)測方法，首先得到外援桌腿的長度傾斜角度等參數(shù)，然后根據(jù)桌角邊緣線大致形狀來確定鋼筋的位置，最后，把桌角邊緣線還原到每根木條上，可以得到剩余木條的長度，根據(jù)鋼筋位置與桌面連接處之間距離的變化值進(jìn)一步求得木條的開槽長度。此時，折疊桌的各個設(shè)計參數(shù)都已給出，只需把折疊桌還原到平板狀態(tài)，即可知平板材料的形狀尺寸。之后按照上述模型和操作步驟，我們給出了幾個設(shè)計實例，包含了折疊桌設(shè)計的幾種典型情況。三、 模型假設(shè)假設(shè)一：考慮木條時，把它抽象為一根位于真實木條寬度中央處，

12、只有長度沒有寬度的線段；假設(shè)二：忽略木條之間空隙，充分利用平板，且各個木條活動自如；假設(shè)三：桌子質(zhì)量的計算忽略加工過程中的裁剪，就是平板材料的質(zhì)量；四、 符號說明與名詞解釋符號符號說明動態(tài)變化研究過程中桌腿升起的高度折疊桌的高度鋼筋到對應(yīng)桌面連接處距離當(dāng)前研究木條離開中軸線距離離開中軸線處木條的長度離開中軸線處木條末端坐標(biāo)鋼筋所處直線的軸坐標(biāo)鋼筋所處直線的軸坐標(biāo)離開中軸線處的木條上開槽的長度五、 模型的建立與求解問題一1. 模型建立為了方便描述問題一要解決的折疊桌動態(tài)變化過程，我們記平板狀態(tài)為初始狀態(tài)，以平板時刻桌面圓盤中心為坐標(biāo)原點，豎直向上方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），桌面保

13、持原位置不變，讓桌腿逐漸升高直到變形成倒立撐起的桌子模樣。把邊緣桌腿升起高度作為動態(tài)變化推進(jìn)量，令從0變化到桌子高度來描該改折疊桌從平板狀態(tài)逐漸變?yōu)樽雷訝顟B(tài)的動態(tài)變化全過程。由于長方形平板厚3cm，故折疊后桌子下表面的高度為50cm，以下我們只考慮桌子升起高度時只考慮桌面下表面。圖 1考慮木條時，把它抽象為一根位于真實木條寬度中央處沒有寬度的線段（如圖2）。圖 2首先由平面幾何知識，我們求得距離中心處的木條長度為由假設(shè)一可知抽象后，由根據(jù)平板尺寸可知每一邊共有20根木條，對稱后即。當(dāng)邊緣桌腿升起高度時，因為連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，且，由勾股定理及空間幾何知識可知此時鋼

14、筋的位置為并且桌子的每根木條都要與上述鋼筋所在直線相交，即桌面上每一點出發(fā)的木條，均會通過點，由此確定出每根木條所在直線又考慮到每根木條的長度一定，我們可以得到每根木條末端坐標(biāo)滿足：， 同時，這也就是桌腳邊緣線關(guān)于的參數(shù)方程（圖1）。2. 折疊桌動態(tài)描述為了清晰的描述折疊桌的動態(tài)變化過程，我們先從單個木條運動軌跡、桌角邊緣線變化過程兩個方面進(jìn)行描述，最后構(gòu)勒出整個桌子的動態(tài)變化過程，具體如下：1) 單個木條運動軌跡上述模型給出了每根木條末端坐標(biāo)邊緣桌腿上升高度的關(guān)系式（），當(dāng)從0cm逐漸增大變化到50cm時，折疊桌完成了從平板到桌子的變形，對于每個處特定的木條，我們能給出其底端運動的軌跡，即圍

15、繞桌面邊緣連接處在平面內(nèi)的圓周運動的一部分，不同木條轉(zhuǎn)動的角度不同：。 因此木條所在直線隨邊緣桌腿上升高度從0cm逐漸增大變化到50cm時，運動軌跡即在平面內(nèi)掃過圓心角為的扇面。以、的木條為例，下圖給出了對應(yīng)的動態(tài)變化過程（如圖3）。圖 32) 桌角邊緣線變化過程上述坐標(biāo)方程（）同樣可以看做是以為參數(shù)的桌腳邊緣線，隨著從0cm逐漸增大變化到50cm，桌角邊緣線從一條直線逐漸變?yōu)榭臻g曲線，如圖4，兩個曲面的交線即為所求邊緣線。圖 43) 折疊桌的動態(tài)變化過程根據(jù)上述各個木條以及桌角邊緣線的動態(tài)變化過程，再按照假設(shè)一將直線復(fù)原為矩形，就可以得到了桌腿構(gòu)成的曲面在桌角逐漸升高的過程中的變化過程，即折

16、疊桌由平板狀態(tài)逐漸變?yōu)閾纹鸬淖雷訝顟B(tài)的動態(tài)變化過程。（圖5）詳細(xì)參考附件動圖1圖 53. 模型具體求解1) 折疊椅加工參數(shù)題目中給出了平板的尺寸120 cm × 50 cm × 3 cm和每根木條寬度2.5 cm，在假設(shè)二下，我們可以容易得出木條根數(shù)：每邊20根，共40根。在上述模型建立時，我們得到了當(dāng)桌面上升高度為時，鋼筋所在位置，也就是說從桌面上任一點出發(fā)的木條，也一定穿過鋼筋通過的點，因此兩者之間的距離為，對于桌面邊緣出發(fā)的任意一根木條，我們能證明鋼筋所處位置到桌面邊緣點之間的距離是隨著增大而逐漸增大的，具體如下：我們把各個木條投影到平面上來研究其動態(tài)變化過程，由于鋼

17、筋固定在最外側(cè)木條的中心位置，所以在運動過程中鋼筋的投影點到最外側(cè)木條的起始點的距離不變，沿最外側(cè)木條的起始點做圓周運動，當(dāng)最外側(cè)鋼筋轉(zhuǎn)動一個角度時，由鋼筋所處位置以及研究木條的起始點位置即可確定此時木條的狀態(tài)，如圖6，由幾何知識可知，兩者之間的距離隨著角度的增大而增大，即是關(guān)于的單調(diào)不減函數(shù)（除最外側(cè)桌腿木條時外，均為單調(diào)增函數(shù)）。圖 6由分析可知當(dāng)從0cm逐漸增大變化到50cm時，上述距離的浮動即為木條所需開槽的長度，所以對于每根桌腿木條來講，其開槽長度為。我們借助Mathematica求得計算后得到每根桌腿木條上的槽長從最外側(cè)到最內(nèi)側(cè)依次如下表（木條編號從最邊緣開始編）：12345678

18、91026.096925.090025.030925.273125.616625.970426.287526.541526.717426.807238343026221814106204.356447.6637210.368412.592614.39315.803116.844517.531417.87282) 桌角邊緣線上述給出的木條末端坐標(biāo)同樣也是桌角邊緣線的參數(shù)表達(dá)形式，這里取，即可得到折疊桌的桌角邊緣線，整理如下：（圖7中兩曲面的交線）圖 7問題二問題二中給出桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，通過理論力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)，由于對稱性，鋼筋對于兩腿沒有力的作用，也就是說中間搭在鋼筋上的木

19、條對于桌子的穩(wěn)固性并沒有很大影響（忽略內(nèi)部摩擦的影響），且桌面直徑即長方形平板的寬度，已經(jīng)給定，所以木條根數(shù)對于用料也沒有影響。因此，在設(shè)計優(yōu)化過程中，為加工方便且外形美觀，我們?nèi)匀贿x擇每邊20根木條，共40根木條的模型。同時平板厚度仍然為3cm，以下給出設(shè)計的優(yōu)化實例。我們首先對問題進(jìn)行定性分析，折疊桌的設(shè)計要求做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。當(dāng)用材最少時，很明顯應(yīng)該是桌腳處于垂直的狀態(tài)時，此時還有著不易因摩擦不足而滑行失穩(wěn)的優(yōu)點，但是也明顯存在著容易側(cè)翻使得不穩(wěn)固的缺點，而加工方便與用材少沒有太大關(guān)聯(lián)。于是我們對于這個優(yōu)化問題分布求解，先將產(chǎn)品穩(wěn)固（不側(cè)翻）作為約束條件，以用料最少作

20、為目標(biāo)函數(shù)求得平板的尺寸，再求鋼筋的位置使得加工最便捷。1. 平板尺寸按照問題一中建立的模型，圓桌直徑即長方形平板的寬。而長方形平板長的確定我們綜合了產(chǎn)品穩(wěn)固性要求和用料量的多少，于是我們以平板長（設(shè)為L）為決策變量，產(chǎn)品穩(wěn)固（不側(cè)翻）作為約束條件，以用料最少作為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化模型。不側(cè)翻的約束條件，我們參考了歐洲關(guān)于家具的標(biāo)準(zhǔn)和檢測方法BS EN 581-1,2,3（文獻(xiàn)1）和BS EN 12521-2009（文獻(xiàn)2）中關(guān)于穩(wěn)定性的要求，根據(jù)桌子的分類，我們按照據(jù)文獻(xiàn)1中提到的桌子穩(wěn)固性的標(biāo)準(zhǔn)和檢測方法，來確定產(chǎn)品穩(wěn)固的約束條件首先桌子要滿足垂直加載測試（圖8）：圖 8我們在距離桌子邊緣向

21、內(nèi)最危險的位置施加豎直向下大小為的力，保證桌子不發(fā)生側(cè)翻。我們又根據(jù)文獻(xiàn)3得知所有木材的密度幾乎相同，約為，平均值為，其表現(xiàn)密度因樹種不同而稍有不同。下面計算在假設(shè)三的條件下，忽略加工過程中的裁剪，同時折疊桌密度取木材平均密度。于是得到桌子的質(zhì)量M為我們按照最嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)取，在最危險的位置施加力，使桌子仍然無法側(cè)翻，如圖9圖 9在上述方案下，每根木條間隔4cm，最外邊的木條位于處，此時對應(yīng)的。于是得到支持點到重心的距離為對支持力所在處取力矩，使得桌子無法傾倒，得到以下約束：我們再對桌子進(jìn)行水平加載測試，如圖10圖 10在桌子中心放置重物(不超過50kg)，使得在力=100N的作用下，保持穩(wěn)定?？?/p>

22、以發(fā)現(xiàn)在該種情況下可以忽略。于是，按照相同的方法，對支持力所在處取力矩，使得桌子無法傾倒，得到以下約束：至此建立了模型二的關(guān)于求解平板尺寸的部分： 將數(shù)據(jù)帶入求解，得到最優(yōu)的桌子長度L=166.48cm。2. 鋼筋位置由問題一分析可知，鋼筋所處位置影響木條上開槽的長度，對于每個木條來講，槽的長度影響該木條的質(zhì)量，在實際操作中考慮到加工的便捷性，木條上的槽越靠近木條末端，加工時的微小差錯就越容易穿透木條，桌腿木條的質(zhì)量大大受其影響，更容易導(dǎo)致不合格品的產(chǎn)生；且在桌子使用過程中，過于靠近桌腿木條末端的開槽更容易穿透木條，會影響桌子的使用壽命。因此我們選取各個木條末端距離槽的距離的最小值最大時對應(yīng)的

23、鋼筋位置作為其最佳位置。在上節(jié)分析中長方形平板的長和寬參數(shù)已給出，因而可進(jìn)一步得知每根木條的長度，即，假設(shè)鋼筋位于最外側(cè)腿長距離木條頂部分點處，則鋼筋所處坐標(biāo)為，這時鋼筋沿木條距離桌面邊緣的距離為，根據(jù)問題一第三節(jié)中關(guān)于距離變化的討論我們得知當(dāng)時，距離取得最大值，此時鋼筋位置最靠近各個桌腿木條的末端，對應(yīng)開槽的最遠(yuǎn)距離。按照上述分析我們有目標(biāo)函數(shù)：，其中表示各個桌腿木條末端到槽距離的最小值，它是關(guān)于分位點的一元函數(shù)，的范圍為約束條件，求取目標(biāo)函數(shù)的最大值，此時對應(yīng)的即描述了鋼筋的最佳位置。針對題目中的情況，我們代入具體數(shù)據(jù)計算后得到：。還原到實物上，即鋼筋最佳位置應(yīng)該位于距離長方形平板長的中線

24、處。（圖8）3. 開槽長度根據(jù)前兩節(jié)的分析，我們已經(jīng)確定出了的鋼筋位置，即時對應(yīng)的鋼筋所在直線方程：，此時，代入鋼筋位置沿木條距離桌面邊緣的距離，有 。事實上，對于不同木條，即取不同值時，令從0cm逐漸增大變化到70cm，此時對應(yīng)距離浮動的大小就確定了相應(yīng)木條上的槽長。又根據(jù)問題一第三節(jié)中關(guān)于距離變化的討論，我們知道是關(guān)于的單調(diào)不減函數(shù)（除最外側(cè)桌腿木條時外，均為單調(diào)增函數(shù)），所以每根木條的槽長即為。計算后得到每根桌腿木條上的槽長從最外側(cè)到最內(nèi)側(cè)依次如下表（木條編號從最邊緣開始編）：1234567891038343026221814106208.4660614.922720.15724.414

25、827.827530.478532.424333.702334.3357至此我們得到了滿足問題二桌面直徑和桌子高度的最優(yōu)化設(shè)計方案，此折疊桌的模型圖如下（圖11）：圖 11事實上，由力學(xué)分析可知，撐起的桌子有克服地面與桌腿之間摩擦力和鉸鏈系統(tǒng)之間的摩擦力向平板狀態(tài)改變的趨勢，最外側(cè)的承重桌腿與豎直方向的夾角越小，桌子穩(wěn)定性越高，越不容易變?yōu)槠桨鍫顟B(tài)；另一方面，為了達(dá)到便攜式桌子穩(wěn)固性監(jiān)測的歐洲標(biāo)準(zhǔn)，桌腿需要一定的傾斜角度以防止側(cè)翻。我們給出的折疊桌設(shè)計加工方案桌腿與豎直方向的夾角較小，因此上述模型和設(shè)計方案在直觀上也是合理的，可以被欣然接受。問題三為了盡可能的滿足顧客的需求，對顧客任意設(shè)定的折

26、疊桌高度、桌面邊緣線形狀大小和桌角邊緣線的大致形狀，我們首先采取文獻(xiàn)1中提到的便攜式桌子穩(wěn)固性標(biāo)準(zhǔn)和監(jiān)測方法，將桌子的穩(wěn)固性考慮在內(nèi)，確定折疊桌的最外側(cè)桌腳也就是桌腿的長度，然后根據(jù)顧客提供的桌腳邊緣線的大致高度確定鋼筋的位置，確定桌子側(cè)面的形狀，再將顧客所要求的邊緣線的形狀投影到所得到的側(cè)面上，得到折疊桌成品，再重新經(jīng)過安全性測試和可行性測試，就得到最終的折疊桌成品（如下圖12）。圖 12在下面的處理中，我們?nèi)匀∑桨宀牧虾穸葹檫M(jìn)行計算，實際生產(chǎn)中可提供多種材料供顧客選擇，在此不考慮；為使加工方便，我們規(guī)定桌腿均為一邊20根，共40根，在實際生產(chǎn)中可根據(jù)顧客要求桌面尺寸大小確定合適的桌腿數(shù)目；

27、1. 確定最外側(cè)桌腿長度首先，我們對顧客給出的桌面邊緣線進(jìn)行處理，選取合適的位置（規(guī)則圖形的幾何中心）作為坐標(biāo)原點，以桌腿的方向為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，運用相關(guān)軟件擬合出該桌面邊緣線的函數(shù)表達(dá)式。在此平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上以豎直向上為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系（圖1）。此時，的取值范圍為，因為每半邊桌子20根桌腿，所以桌腿之間間隔，由此我們可以確定每根桌腿的位置，。為使折疊桌滿足桌子穩(wěn)固性的歐洲標(biāo)準(zhǔn)，我們選擇最容易發(fā)生側(cè)翻的沿軸方向距離原點最遠(yuǎn)的邊緣向內(nèi)處進(jìn)行測驗，在其正上方施加豎直向下的力，同樣的，我們?nèi)∽顕?yán)格的標(biāo)準(zhǔn)，記撐起的折疊桌邊緣桌腿在平面的投影線段長為。上述分析中我們得知，邊緣桌腿

28、傾斜角度越小穩(wěn)定性越好，在桌腿與垂直方向夾角很小的情況下，我們可以用桌面高度近似代替桌腿長度，并仍然按照長方形平板材料進(jìn)行計算，在假設(shè)三的條件下，若折疊桌關(guān)于方向軸對稱，折疊桌不發(fā)生側(cè)翻，有下列等式成立：，同樣的，若折疊桌不對稱，則只需要對左右兩邊分別進(jìn)行上述分析即可。由垂直加載測試，我們可以得到滿足穩(wěn)固性條件下最好的桌腿水平面上的投影距離，進(jìn)而可以根據(jù)桌面高度由勾股定理求得邊緣桌腿的長度。2. 確定鋼筋位置由上述分析我們知道鋼筋的位置對折疊桌的穩(wěn)固性影響不大，但是影響桌腿木條的開槽長度：桌角邊緣線只能出現(xiàn)在鋼筋位置到木條末端的范圍內(nèi)，鋼筋位置的不同也會影響桌角邊緣線的范圍。所以為了盡可能的滿

29、足顧客對桌角邊緣線的要求，使加工方便，我們把桌角邊緣線作為設(shè)定鋼筋位置時首要考慮的因素：將選取距顧客給出的桌角邊緣線處作為鋼筋所在位置，具體如下。通過上述步驟，我們可以求得邊緣桌腿的長度和傾斜角度，由邊緣桌腿的起點和末端，可以確定邊緣桌腿所在直線，此時桌子的輪廓已經(jīng)確定，我們把桌子輪廓投影到豎直平面上，并把顧客給出的桌角邊緣線繪制在豎直平面的投影上，得到投影曲線，選取桌角邊緣線軸上最小值沿負(fù)方向低處作為鋼筋所在高度（圖11），即，且鋼筋在邊緣桌腿上，經(jīng)過點，因而由邊緣桌腿所在直線可求得鋼筋所在直線，鋼筋在邊緣桌腿上的固定位置由此可知。3. 確定剩余桌腿長度剩余桌腿的長度我們主要通過客戶給出的桌

30、角邊緣線以及鋼筋位置來定。以特定的木條為研究對象，對于桌面上任意一點出發(fā)的桌腿，均經(jīng)對應(yīng)鋼筋上一點，由此兩點可以確定研究桌腿所在直線。又由顧客給出的桌角邊緣線在平面上的投影函數(shù)，可得知當(dāng)時的桌角高度，把此高度再還原到對應(yīng)的木條上即可得到研究木條尾端的位置，進(jìn)一步由勾股定理自然得到所研究木條的長度。4. 確定平板材料形狀尺寸由以上三步我們確定了各個木條的長度，再結(jié)合顧客給出的桌面邊緣曲線，我們可以還原出折疊桌攤平時的形狀，即平板材料的形狀，其最大寬度是桌面最大寬度，最大長度是沿軸方向桌腿長度與桌面長度和的最大值，平板邊緣曲線由桌腿長度以及桌面邊緣線共同確定。5. 穩(wěn)固性檢驗與可行性檢驗穩(wěn)固性檢驗

31、：將求得的木板材料的質(zhì)量帶回歐洲標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于桌子不側(cè)翻的要求中進(jìn)行檢驗是否合理，如不合理，則改變木板質(zhì)量為該質(zhì)量，然后重新進(jìn)行該流程，知道滿足穩(wěn)固性為止?？尚行詸z驗：主要是初始開槽位置的確立，問題一中類似，對于任意一根從出發(fā)的木條，當(dāng)桌面降落高度時鋼筋落回木條上的點，檢驗該點是否原理桌面，如不可行，則提醒客戶所涉及桌腳形狀太高，需要重新設(shè)置。同時利用問題一中的模型方法，可以求解出各木條的開槽長度：。6. 設(shè)計實例1) 假設(shè)客戶要求制作一個桌面為的橢圓，而高度為70cm，桌腳形狀為高度為35cm的三角形的折疊桌按照流程圖，我們首先按照1中方法對于最外側(cè)桌腿長度進(jìn)行求解，得到長度為L=79.73cm接

32、著，由于桌腳高度為30cm,所以我們將鋼筋固定在距離地面30+3=33cm處，投影高為30，寬為80，于是按照客戶的要求，給出如的投影函數(shù)，將其投影到由桌腳和鋼筋位置以及確定的各木條上，作為桌腳的邊緣。綜上就得到了我們的橢圓三角椅子如下圖13圖 13對應(yīng)的各木條長度（從內(nèi)到外）分別為：34.5309, 37.9146, 41.0566, 43.9077, 46.4253, 48.5808, 50.3781, 51.8996, 53.4501, 56.2804再將數(shù)據(jù)帶回得到動態(tài)變化過程（詳細(xì)參見附件動圖2），如圖14：圖 14求得其開槽長度（從內(nèi)到外）分別為：25.7067, 25.2418,

33、 24.3036, 22.8746, 20.926, 18.4137, 15.27, 11.3832, 6.53209, 0.（2）其他創(chuàng)意桌子：桌子為對角線長為50cm的正方形，高度為50，桌腳邊緣線一側(cè)大致是M字樣，另外一側(cè)直接是全部著地。動態(tài)變化過程如圖15：圖 15其中對應(yīng)的各木條長度（從內(nèi)到外）分別為：M一側(cè)：49.8418, 45.7792, 40.602, 34.9945, 29.7625, 25.8508, 24.4116, 26.9223, 35.3421, 52.2921直面一側(cè)：50.514, 50.2193, 50.0478, 50.001, 50.079, 50.28

34、14, 50.6066, 51.0524, 51.6155, 52.2921其開槽長度（從內(nèi)到外）分別為：M一側(cè)：25.637, 21.9088, 18.361, 15.0158, 11.8937, 9.01181, 6.38135, 4.00634, 1.88293, 0.直面一側(cè)：均為0桌子上部為相距30cm，寬60cm的兩拋物線，高度為60，桌腳邊緣線大致都為拋物線。動態(tài)變化過程如圖16：圖 16其中對應(yīng)的各木條長度（從內(nèi)到外）分別為：如圖左側(cè)：45.0247, 45.8445, 47.3706, 49.3887, 51.614, 53.7526, 55.6252, 57.4053, 60.0362, 65.7313如圖右側(cè)：43.4689, 43.8917, 44.7213, 45.9357, 47.5291, 49.549, 52.1513, 55.6719, 60