全國高考數(shù)學(xué)理科立體幾何部分解析匯編

1、【全國卷·新課標(biāo)I·第19題】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，ABB1C（1）證明：AC=AB1；（2）若ACAB1，CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值解：（1）面BB1C1C為菱形BC1B1C，O為B1C和BC1的中點(diǎn)ABB1CB1C面ABC1令BC1與B1C交于點(diǎn)O，連接AOAO面ABC1B1CAOB1O=COAO是B1C的中垂線AC=AB1（2）因?yàn)锳O、BC1、B1C兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系令|OB|=1，由ACAB1，CBB1=

2、60°，AB=BC易得：A（0，0，），B（1，0，0），B1（0，0），C（0，-，0）=（0，），=（-1，0，），=（-1，-，0）設(shè)向量(x，y，z)是平面AA1B1的一個(gè)法向量，則：由此，可取(1，)同理可得，平面A1B1C1的一個(gè)法向量為：(1，)二面角A-A1B1-C1的余弦值為【全國卷·新課標(biāo)II·第18題】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)（1）證明：PB平面AEC；（2）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積解：（1）連接BD交AC于O，連接OE底面ABC

3、D為矩形O為BD的中點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)PBOEOE面AEC，PB面AECPB平面AEC（2）PA平面ABCDPAAB，PAAD又ABAD，即PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系平面ADE與平面yOz重合可取平面ADE的一個(gè)法向量為(1，0，0)設(shè)CD=a，由AD=，則C（a，0）=（a，0）由AP=1，易得E（0，）=（0，）設(shè)向量(x，y，z)是平面ACE的一個(gè)法向量，則由此，可取(，3)二面角D-AE-C為60°解得：，即CD=SACD=AD·CD=過點(diǎn)E作EFAD于F則EF=AP=，EFAPPA平

4、面ABCD，即PA平面ACDEF平面ACDEF是三棱錐E-ACD的高VE-ACD=·SACD·EF=××=【全國卷·大綱版·第19題】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2（1）證明：AC1A1B；（2）設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1-AB-C的大小解：（1）點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上A1D平面ABCA1D平面ACC1A1平面ACC1A1平面ABCACB=90°，即BCACBC平面ACC1A1AC1平面AC

5、C1A1AC1BC連接A1C，由AC=CC1知，側(cè)面ACC1A1為菱形AC1A1CBC、A1C平面A1BCAC1平面A1BCA1B平面A1BCAC1A1B（2）過點(diǎn)D作DFAB于F，連接A1FA1D平面ABC，AB平面ABCABA1DAB平面A1DFA1FABA1FD是二面角A1-AB-C的平面角過點(diǎn)A1作A1ECC1于E則A1E平面BCC1B1AA1平面BCC1B1A1E為直線AA1到平面BCC1B1的距離A1E=AC=CC1=2，A1DAC由菱形ACC1A1的面積得，A1D=A1E=在RtA1DA中，A1A= CC1=2AD=易得AFDACB，則AB=DF=tanA1FD=二面角A1-AB

6、-C的大小為【北京市·第17題】如圖，正方形AMDE的邊長為2，B、C分別為AM、MD的中點(diǎn)，在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD、PC分別交于點(diǎn)G、H（1）求證：ABFG；（2）若PA底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長解：（1）ABDE，DE平面PDE且AB平面PDEAB平面PDE平面AFGB平面PDE=FGAB平面AFGB，F(xiàn)G平面PDEABFG（2）由題知，AP、AM、AE兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由AM=AE=PA=2，易得：B（1，0

7、，0），F(xiàn)（0，1，1），C（2，1，0），P（0，0，2）=（1，1，0），=（1，0，0），=（0，1，1），=（2，1，-2）設(shè)向量(x，y，z)是平面ABF的一個(gè)法向量則由此，可取(0，1，-1)設(shè)直線BC與平面ABF所成角為，則直線BC與平面ABF所成角=設(shè)H（a，b，c），點(diǎn)H在棱PC上，不妨=k，其中0k1=（2，1，-2），=（a，b，c-2）（a，b，c-2）=k（2，1，-2）a=2k，b=k，c=2-2k=（2k，k，2-2k）(0，1，-1)為平面ABF的一個(gè)法向量且AH平面ABFk-2+2k=0，得k=|PC|=|PH|=2【天津市·第17題】如圖，在四棱錐

8、P-ABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)（1）證明：BEDC；（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（3）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BFAC，求二面角F-AB-P的余弦值解：（1）由題意知，AP、AB、AD兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系易得：B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，2）=（2，0，0）E是PC的中點(diǎn) E（1，1，1）=（0，1，1）·=0 BECD（2）=（-1，0，2），=（-1，2，0）設(shè)向量(x，y，z)是

9、平面PBD的一個(gè)法向量則由此，可取(2，1，1)設(shè)直線BE與平面PBD所成角為，則直線BE與平面PBD所成角的正弦值為（3）點(diǎn)F在PC上，不妨設(shè)=k，其中0k1設(shè)F（a，b，c），由=（2，2，-2）得：（a，b，c-2）=k（2，2，-2）a=2k，b=2k，c=2-2kF（2k，2k，2-2k）=（2k-1，2k，2-2k）BFAC，且=（2，2，0）·=0即2(2k-1)+4k=0，得=（2k，2k，2-2k）=（，）又=（1，0，0）設(shè)向量(x，y，z)是平面ABF的一個(gè)法向量則由此，可取(0，3，-1)因?yàn)槠矫鍭BP與平面xOz重合，則可取平面ABP的一個(gè)法向量為（0，1，

10、0）二面角F-AB-P的余弦值為【重慶市·第19題】如圖，四棱錐P-ABCD，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD=，M為BC上的一點(diǎn)，且BM=，MPAP（1）求PO的長；（2）求二面角A-PM-C的正弦值解：（1）連接BD、AC底面ABCD是菱形，中心為O且PO底面ABCDOP、AC、BD兩兩互相垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由AB=2，BAD=，易得A（，0，0），C（-，0，0），B（0，1，0）=（-，-1，0）BM=，BC=2=（-，-，0）M（-，0）設(shè)P（0，0，a），則=（-，0，a），=（，

11、-，a）APMP·=-+a2=0a=，即PO的長為（2）由(1)知：=（-，0，），=（，-，）設(shè)向量(x，y，z)是平面APM的一個(gè)法向量則由此，可取(1，2)同理可得，平面CPM的一個(gè)法向量為：(1，-2)二面角A-PM-C的正弦值為【江蘇省·第16題】如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5求證：（1）直線PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC解：（1）D、E分別是PC、AC的中點(diǎn)PADEDE平面DEF，PA平面DEF直線PA平面DEF（2）D、E分別是PC、AC的中點(diǎn)DE=PA=3E、F分別

12、是AC、AB的中點(diǎn)EF=BC=4DF=5DE2+EF2=DF2DEF=90°，即DEEFDEPA，PAACDEACACEF=E DE平面ABCDE平面BDE平面BDE平面ABC【浙江省·第20題】如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDE=BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=（1）證明：DE平面ACD；（2）求二面角B-AD-E的大小解：（1）在直角梯形BCDE中，易求得BC=在ABC中，AC=，AB=2AB2+BC2=AB2ACB=90°，即ACBC平面ABC平面BCDE且AC平面ACDAC平面BCDEDE平面BCD

13、EACDECDE=90° DECDCD平面ACDDE平面ACD（2）由題，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系易得E（1，0，0），B（1，1，0），A（0，2，）= （1，0，0），=（0，2，）= （1，1，0）設(shè)向量(x，y，z)是平面ADE的一個(gè)法向量則由此，可取(0，-1，)同理可得，平面ADB的一個(gè)法向量為：(1，-1，)二面角B-AD-E的大小為【山東省·第17題】如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB=60°，AB=2CD=2，M是線段AB的中點(diǎn)（1）求證：C1M平面A1ADD1；（2）若CD1垂直于平面

14、ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值解：（1）連接AD1.M是線段AB的中點(diǎn)，AB=2AM=1C1D1=CD=1 C1D1=AMAMCD，CDC1D1C1D1AM四邊形AM C1D1是平行四邊形C1MAD1C1M平面A1ADD1，AD1平面A1ADD1C1M平面A1ADD1（2）過點(diǎn)C作CEAB于E，則CECDCD1平面ABCDCD1CD，CD1CE以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由CD1=得，D1（0，0，）由DAB=60°，AB=2CD=2，在等腰梯形ABCD中，易求得CE=，EM=M（，0）=

15、（，-）易得C1（-1，0，），則=（1，0，0）設(shè)向量(x，y，z)是平面C1D1M的一個(gè)法向量則由此，可取(0，2，1)因?yàn)槠矫鍭BCD與平面xOy重合，則可取平面ABCD的一個(gè)法向量為（0，0，1）平面C1D1M和平面ABCD所成的角的余弦值為【江西省·第20題】如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD（1）求證：ABPD；（2）若BPC=90°，PB=，PC=2，問AB為何值時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值解：（1）底面ABCD是矩形 ABAD平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=ADAB

16、平面PADPD平面PAD ABPD（2）BPC=90°，PB=，PC=2BC=過點(diǎn)P作POAD于O平面PAD平面ABCD PO平面ABCDVP-ABCD=AB·BC·PO過點(diǎn)O作OEAD交BC于E，連接PE在RtBPC中，BC·PE=PB·PCPE=設(shè)AB=x，則OE=xPO=VP-ABCD=當(dāng)，即時(shí)，VP-ABCD有最大值故，AB=時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大由前述，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系PO= P（0，0，）BE=，CE=B（，0），C（-，0）D（-，0，0）=（，），=（，0，0）=（-，0，），= （0，0）設(shè)向量(x，y

17、，z)是平面PBC的一個(gè)法向量則由此，可取(0，1，1)同理可得，平面PDC的一個(gè)法向量為：(-1，0，2)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為【廣東省·第18題】如圖，四邊形ABCD為正方形PD平面ABCD，DPC=30°，AFPC于點(diǎn)F，F(xiàn)ECD，交PD于點(diǎn)E（1）證明：CF平面ADF；（2）求二面角D-AF-E的余弦值解：（1）PD平面ABCD，AD平面ABCDADPD四邊形ABCD為正方形 ADCDPD、CD平面PCDAD平面PCDCF平面PCD CFADAFPC，即CFAF且AD、AF平面ADFCF平面ADF（2）因?yàn)镻D、CD、AD兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，

18、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則AD=CD=1A（0，0，1），則=（0，0，1）由(1)知，DFPC，在RtPDC中，由DPC=30°，易求得DF=；由EFCD，在RtDEF中，易求得DE=，EF=E（，0，0），F(xiàn)（，0）=（0，0），=（，0，-1）=（，0）設(shè)向量(x，y，z)是平面AEF的一個(gè)法向量則由此，可取(4，0，)同理可得，平面ADF的一個(gè)法向量為：(，-1，0)二面角D-AF-E的余弦值為【湖南省·第19題】如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，四邊形ACC1A1和四邊形B

19、DD1B1均為矩形（1）證明：O1O底面ABCD；（2）若CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值解：（1）四邊形ACC1A1為矩形A1AAC由題知，四邊形ABCD和A1B1C1D1是菱形點(diǎn)O是AC、BD的中點(diǎn)點(diǎn)O1是A1C1、B1D1的中點(diǎn)OO1A1AOO1AC同理可證：OO1BDAC、BC底面ABCDO1O底面ABCD（2）底面ABCD是菱形ACBD由（1）知，AC、BD、O1O兩兩互相垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè)四棱柱所有的棱長為2由CBA=60°，可求得OC=O1C1=1，OB=OD=O1B1=O1D1=C1（0，1，2），B1（，0

20、，0）=（0，1，2），=（，0，2）設(shè)向量(x，y，z)是平面OB1C1的一個(gè)法向量則由此，可取(2，2，-)因?yàn)槠矫鍻B1D與平面xOz重合，故可取平面OB1D的一個(gè)法向量為：(0，1，0)二面角C1-OB1-D的余弦值為【遼寧省·第19題】如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120°，E、F分別為AC、DC的中點(diǎn)（1）求證：EFBC；（2）求二面角E-BF-C的正弦值解：由題條件，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面BCD內(nèi)作BC的垂線，并以之為x軸；以BC為y軸；在平面ABC內(nèi)作BC的垂線，并以之為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。由BC

21、=2得，C（0，2，0）= C（0，2，0）由AB=BC=2，E為AC的中點(diǎn)，ABC=120°得：EBC=60°，BE=1過點(diǎn)E作EHBC于H則BH=，EH=E（0，）同理可得：F（，0）=（，0，）（1）·=0EFBC（2）有=（0，），=（，0）設(shè)向量(x，y，z)是平面BEF的一個(gè)法向量則由此，可取(1，-，1)因?yàn)槠矫鍮EC與平面yOz重合，故可取平面OB1D的一個(gè)法向量為：(1，0，0)二面角E-BF-C的正弦值為【湖北省·第19題】如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)

22、，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP=BQ=（02）（1）當(dāng)=1時(shí)，證明：直線BC1平面EFPQ；（2）是否存在，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解：（1）連接AD1.AD1、BC1是立方體相對(duì)側(cè)面的對(duì)角線AD1BC1當(dāng)=1時(shí)，P、Q為DD1、BB1的中點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)PFAD1AD1平面EFPQ，PF平面EFPQAD1平面EFPQBC1平面EFPQBC1平面EFPQ（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。易得P（0，0，），Q（2，2，），F(xiàn)（1，0，0），N（1，0，2）=（2，2，

23、0），（1，0，-），=（1，0，2-）設(shè)向量(x，y，z)是平面EFPQ的一個(gè)法向量則由此，可取(1，-1，)設(shè)向量(x，y，z)是平面PQMN的一個(gè)法向量則由此，可取(1，-1，)當(dāng)面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角時(shí)，有=01+1+=0整理得：解得：，均滿足02故，當(dāng)時(shí)，面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角【福建省·第17題】在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖（1）求證：ABCD；（2）若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值解：（1）平面ABD平面BCD平面ABD平

24、面BCD=BDAB平面ABD，ABBD，AB平面BCDCD平面BCD ABCD（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)（0，0，1），D（0，1，0）=（0，1，-1）M為AD的中點(diǎn)M（0，）=（0，）CDBD，CD=1C（1，1，0）=（1，1，0）設(shè)向量(x，y，z)是平面MBC的一個(gè)法向量則由此，可取(1，-1，1)設(shè)直線AD與平面MBC所成角為，則【安徽省·第20題】如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，ADBC，且AD=2BC，過A1、C、D三點(diǎn)的平面記為，BB1與的交點(diǎn)為Q（1）證明：Q為BB1的中點(diǎn)；（2）求此四

25、棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；（3）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，求平面與底面ABCD所成二面角的大小解：（1）ADBC，AD平面A1D1DABC平面QBC平面QBC平面A1D1DA平面A1CD面QBC=QC平面A1CD平面A1D1DA=A1DQCA1DA1AB1BAA1D=BQCRtAA1D=RtBQCA1A=B1BBQ=B1BQ為BB1的中點(diǎn)（2）連接QA，QD。設(shè)AA1=h，梯形ABCD的高為d，四棱柱被平面所分成上、下兩部分的體積為V1、V2。設(shè)BC=a，則AD=2aVQ-ABCD=VQ-A1AD=V2= VQ-ABCD+ VQ-A1AD=V四棱柱=V1= V四棱柱-V1=故，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比為（3）過點(diǎn)A作APCD于P，連接A1PAPCD，A1ACDCD平面A1APA1P平面A1APA1PCDA1PA是平面與底面ABCD所成二面角的平面角連接AC，由AD=2BC得：SACD=2 SABC梯形ABCD的面積為6即SACD+SABC =6SACD=4CD·AP=4，由CD=2得，AP=4AA1=4tanA1PA=A1PA=平面與底面ABCD所成二面角的大小為【陜西省·第19題】如圖1，四面體ABCD及其三視圖（如圖2所示），過棱AB的中點(diǎn)E作平行于