全國二卷立體幾何真題及模擬題理科

1、立體幾何（理科）立體幾何解題中常用的判定定理及性質(zhì)定理1.直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（線線平行線面平行）若aa，ba，ab，則aa2.直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（線面平行線線平行）若aa，a，ab，則ab3.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直若m，n，mnO，lm，ln，則l4.直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行若a，b，則ab5.平面與平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有

2、兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行面面平行）若aa，ba，abA，ab，bb，則ab6.平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行若ab，aa，bb，則ab7.兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直若la，lb，則ab8.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面若ab，abl，aa，al，則ab空間角的計(jì)算(1)兩條異面直線所成角的求法設(shè)直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的

3、角)(2)直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如圖所示，m，n即為所求二面角的平面角對于易于建立空間直角坐標(biāo)系的幾何體，求二面角的大小時(shí)，可以利用這兩個(gè)平面的法向量的夾角來求如圖所示，二面角-l-，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2， n1，n2，則二面有-l-的大小為或.空間距離的計(jì)算直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)P到平面的距離，d (其中n為的法向量，M為內(nèi)任一點(diǎn))空間角的范圍(1)異面直

4、線所成的角()：0；(2)直線與平面所成的角()：0；(3)二面角()：0.歷年高考真題及解析(2013課標(biāo)全國，理18)如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值解：(1)連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1DF.因?yàn)槠矫鍭1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB得，ACBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)CA2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面

5、A1CD的法向量，則即可取n(1，1，1)同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量，則可取m(2,1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值為.(2014課標(biāo)全國，理18)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（）證明：PB平面AEC；（）設(shè)二面角D-AE-C為60，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.zxyABCDEGP解：（）設(shè)AC的中點(diǎn)為G, 連接EG.在三角形PBD中，中位線EG/PB,且EG在平面AEC上，所以PB/平面AEC.（）設(shè)CD=m, 分別以,AB, AD,AP為X,Y,Z軸建立坐標(biāo)系，則(2015課標(biāo)全

6、國，理19)如圖，長方體，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，. 過點(diǎn)E,F的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.（I）在圖中畫出這個(gè)正方形，不必說明畫法和理由；（II）求直線AF與平面所成角的正弦值.解：（）交線圍成的正方形如圖：（）作，垂足為，則， ，因?yàn)闉檎叫危杂谑?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的法向量，則即所以可取又，故所以直線與平面所成角的正弦值為（2016課標(biāo)全國，理19）（本小題滿分12分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到的位置.（I）證明：平面ABCD；

7、（II）求二面角的正弦值.（）證明：，四邊形為菱形，；又，又，面（）建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)面法向量，由得，取，同理可得面的法向量，(2016課標(biāo)全國，理19)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（）證明：MN平面PAB；（）求直線與平面所成角的正弦值解：（）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，. 又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由題意知，.設(shè)為平面的法向量

8、，則，即，可取，于是.高考模擬題1如圖，已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)（1）證明：AEPD；（2）若PA=AB=2，求二面角EAFC的余弦值2如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB=60，PD平面ABCD，PD=AD=1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD中點(diǎn)（）求證：直線AF平面PEC；（）求PC與平面PAB所成角的正弦值3.在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，點(diǎn)E在棱AB上移動（1）探求AE等于何值時(shí)，直線D1E與平面AA1D1D成45角；（2）點(diǎn)E移動為棱AB中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面

9、A1DC1的距離高考模擬題答案1.（1）證明：四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，ABC=60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)，ABC是等邊三角形，AEBC，AEAD，PA平面ABCD，AE平面ABCD，AEPA，AEAD=A，AE平面PAD，PD平面PAD，AEPD（2）解：由（1）知AE、AD、AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，PA=AB=2，A（0，0，0），B（，1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，則取z1=1，得=（0，2，1），BDAC，BDPA，P

10、AAC=A，BD平面AFC，為平面AFC的一法向量又，cos=二面角EAFC為銳角，所求二面角的余弦值為2.解：（）證明：作FMCD交PC于M點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，又AEFM，四邊形AEMF為平行四邊形，AFEM，AF平面PEC，EM平面PEC，直線AF平面PEC（）已知DAB=60，進(jìn)一步求得：DEDC，則：建立空間直角坐標(biāo)系，則 P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，0），B（，0）所以：，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為：，則：，解得：，所以平面PAB的法向量為：，設(shè)向量和的夾角為，cos=，PC平面PAB所成角的正弦值為3.解：（1）解法一：長方體ABCDA1B1C1D1中，因?yàn)辄c(diǎn)E在棱AB上移動，所以EA平面AA1D1D，從而ED1A為直線D1E與平面AA1D1D所成的平面角，RtED1A中，ED1A=45解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA、DC、DD1依次為x、y、z軸，建