倒易點(diǎn)陣與衍射

1、倒易點(diǎn)陣與衍射西安交通大學(xué)材料物理系宋曉平2008.07一、倒易點(diǎn)陣基礎(chǔ)z 倒易點(diǎn)陣是一種數(shù)學(xué)方法z 利用這一概念，可使晶體幾何的問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。z 對(duì)于一般的衍射現(xiàn)象其解釋變得更加簡(jiǎn)單理解亦可更加深入。z 對(duì)于復(fù)雜的衍射效應(yīng)，它可以提供必要的門(mén)徑。一、倒易點(diǎn)陣基礎(chǔ)z 晶體由質(zhì)點(diǎn)按一定的規(guī)律排列而成，如果將這種周期排列規(guī)律抽象出來(lái)，就是空間點(diǎn)陣。z 將空間點(diǎn)陣（真實(shí)點(diǎn)陣或?qū)嶞c(diǎn)陣）經(jīng)過(guò)倒易變換，就得到倒易點(diǎn)陣。z 倒易點(diǎn)陣的外形也很像點(diǎn)陣，但其上的結(jié)點(diǎn)并不代表質(zhì)點(diǎn)，而是對(duì)應(yīng)著真點(diǎn)陣的一組晶面。YZN(hkl)X（hklPhklO圖1.晶體點(diǎn)陣中的晶面與倒易點(diǎn)一、倒易點(diǎn)陣基礎(chǔ)z 真點(diǎn)陣中的一組晶面）

2、，在倒易空間中將用一個(gè)點(diǎn)Phkl表示z 點(diǎn)子與晶面有倒易關(guān)系，這種關(guān)系表現(xiàn)為：點(diǎn)子取在（hkl）的法線H上，且Phkl點(diǎn)到倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)的距離與晶面間距成反比。陣中倒易矢量的關(guān)系(hkl)XNPhklO圖1.晶體點(diǎn)陣中的晶面與倒易點(diǎn)一、倒易點(diǎn)陣基礎(chǔ)z 從原點(diǎn)到Phkl點(diǎn)的Z矢量稱(chēng)為倒易矢量，其大小為：Hhkl=k/dhklz 式中k位比例系數(shù)，在多H數(shù)場(chǎng)合下取作1，但很多時(shí)候亦可令之等于X射線的波長(zhǎng)。陣中倒易矢量的關(guān)系倒易矢量的數(shù)學(xué)定義z 設(shè)真點(diǎn)陣的基本平移矢量為abcz 設(shè)倒易點(diǎn)陣的基本平移矢量為a*b*c*z a*b=a*c=b*a=b*c=c*a=c*b=0不同文字的倒易矢量與正矢量的數(shù)量

3、積為零，其涵義為a*b及c; c* a及b; b*a及c。z a*a=c*c=b*b=1同文字的倒易矢量與正矢量的數(shù)量積為1.b*c*cb(001)a倒易矢量的數(shù)學(xué)定義z a*a=c*c=b*b=1同文字的倒易矢量與正矢量的數(shù)量積為1的圖形解釋見(jiàn)圖2.z 從圖2可知，c cos是（001）面的面間距d001，因此：c*c=c* c cos=c*d001=1可得c*=1/d001Oa*圖2.晶體點(diǎn)陣基矢與倒易點(diǎn)陣基矢的關(guān)系倒易矢量的數(shù)學(xué)定義z 從以上定義可知：（1）如果正點(diǎn)陣晶軸相互垂直，則倒易軸亦相互垂直且平行于晶軸。（2）倒易矢量可以表征真點(diǎn)陣（hkl）晶面的方位，而H（hkl）的長(zhǎng)度可以表

4、示（hkl）的晶面間距dhkl. 圖3是用平面圖像表明立方110H210b*ca(010)020120220(100)210(210)a*H，且圖3. a=4埃 的立方晶體及其倒易點(diǎn)陣的兩倍。 可以看出，H矢量的長(zhǎng)度b(110)110 必須指出，像nh,nk,nl(nc100200220110110系倒易點(diǎn)陣的圖形表示z系晶體與其倒易點(diǎn)陣的關(guān)4埃0.25埃-1z等于其對(duì)應(yīng)晶面的間距的倒數(shù)，且與晶面相垂直。010z為整數(shù))這樣的倒易陣點(diǎn)，000對(duì)應(yīng)著與（hkl）平行且間距為其1/n的點(diǎn)陣面。如圖3中的H平行于是Hb*ac*cb(001)Oa*點(diǎn)陣基矢的關(guān)系倒易點(diǎn)陣的應(yīng)用舉例z 1、單胞體積z 單

5、胞體積等于底面積乘高。z 底面積為 a b sin =abz 高是（001）面的面間距，為 c cos故體積：V= a b sin c cos=（ab） c=（bc） a 圖2.晶體點(diǎn)陣基矢與倒易=（ca） b倒易點(diǎn)陣的應(yīng)用舉例2、晶面間距z Hhkl=1/dhkl，兩邊平方得：z H2=1/d2=H H=（ha*+kb*+lc*）（ha*+kb*+lc*）=h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hk(a* b*)+2kl(b* c*)+2kl(b* c*)對(duì)立方晶系 a*2=b*2=c*2 ，(a* b*)=(b* c*)=(b* c*)=0代入上式得：1/d2=h2a*2+k2a*2+l2a*2=(h2+k2+l2)a*2= =(h2+k2+l2) / a2故:d= a / h2+k2+l2z 對(duì)其他晶系，把參數(shù)帶入公式中，可求出晶面間距。倒易點(diǎn)陣的應(yīng)用舉例3、晶帶與晶帶軸z 若干個(gè)晶面族同時(shí)平行于某一軸向時(shí)，則這些晶面族屬于同一晶帶，而這個(gè)軸向就稱(chēng)為晶帶軸。設(shè)晶帶軸矢量= u a+v b+w c晶面族的任一個(gè)晶面的倒易矢量= h a*+k b*+l c*z 若兩個(gè)矢量互相垂直，則其數(shù)量積必為零，故（u a+v b+w c）（h a*+k b*+l c*）=0簡(jiǎn)化可得：h u+k v+l w=0這就是判別晶面是否平行于某晶向的條件。Am