全等三角形中做輔助線總結(jié)

1、全等三角形中做輔助線技巧要點大匯總口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。1、 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，

2、一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。例2 已知：如圖1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC例3 已知：如圖1-4，在ABC中，C

3、=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)1 已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求證：AB+BD=AC2 已知：在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3 已知：在ABC中，AB>AC,AD為BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC4 已知：D是ABC的BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+C

4、D>AB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180 分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于

5、點P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1如圖2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC中，C=90 ，AD平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。3已知：如圖2-5, BAC=CAD,AB>AD，CEAB，AE=（AB+AD）.求證：D+B=180 。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD 的中點，F(xiàn)為BC 上的點，F(xiàn)AE=DAE。求證：AF=AD+CF。5 已知：如圖2-7，

6、在RtABC中，ACB=90 ,CDAB，垂足為D，AE平分CAB交CD于F，過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，BAD=DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點。求證：DH=（AB-AC）分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如

7、圖3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。例3已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC內(nèi)外角平分線，可得EAAF，從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作ABD關(guān)于AD的對稱AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果

8、AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對稱FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1 已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是BAC的平分線，且CEAE于E，連接DE，求DE。2 已知BE、BF分別是ABC的ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB

9、例4 如圖，AB>AC, 1=2，求證：ABAC>BDCD。例5 如圖，BC>BA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。BDCAABECD例6 如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。練習(xí)：1. 已知，如圖，C=2A，AC=2BC。求證：ABC是直角三角形。CAB2已知：如圖，AB=2AC，1=2，DA=DB，求證：DCACABDC12 3已知CE、AD是ABC的角平分線，B=60°，求證：AC=AE+CDAEBDC4已知：如圖在ABC中，A=90°，AB=AC，BD是ABC的平分線，求證：BC=AB+AD

10、ABCD二、 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)

11、系證明，如：例1、 已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點,求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在BDM中，MB+MD>BD；（2）在CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CEAB+AC>BD+DE+EC（法二：圖1-2）延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FC>G

12、E+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點，求證：BDC>BAC。分析：因為BDC與BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在內(nèi)角的位置；

13、證法一：延長BD交AC于點E，這時BDC是EDC的外角，BDC>DEC，同理DEC>BAC，BDC>BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時BDF是ABD的外角，BDF>BAD，同理，CDF>CAD，BDF+CDF>BAD+CAD，即：BDC>BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且1=2,3=4,求證：BE+CF>EF。分析：要證

14、BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB（輔助線作法）1=2（已知）ED=ED（公共邊）DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的

15、對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在ABC中，AB>AC，1=2，P為AD上任一點求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在APN和APC中AN=AC（輔助線作法）1=2（已知）AP=AP（公共邊）APNAPC（SAS

16、）,PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）在BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PC<AB-AC證明：（補短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在ABP和AMP中AB=AM（輔助線作法）1=2（已知）AP=AP（公共邊）ABPAMP（SAS）PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）又在PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)AB-AC>PB-PC。DAECB例1如圖，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180°，求證：AE=AD+BE。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求證：A

17、DC+B=180º例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，已知RtABC中，ACB=90°，AD是CAB的平分線，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB?！竞粚嵒A(chǔ)】例：中，AD是的平分線，且BD=CD，求證AB=AC方法1：作DEAB于E，作DFAC于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法倍長中線ABC中 方式1： 延長AD到E， AD是BC邊中線 使DE=AD， 連接BE 方式2：間接倍長 作CFAD于F， 延

18、長MD到N， 作BEAD的延長線于E 使DN=MD，連接BE 連接CD【經(jīng)典例題】例1：ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE方法1：過D作DGAE交BC于G，證明DGFCEF方法2：過E作EGAB交BC的延長線于G，證明EFGDFB方法3：過D作DGBC于G，過E作EHBC的延長線于H 證明BDGECH例3：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF提

19、示：倍長AD至G，連接BG，證明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點F，DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長AE至G，連結(jié)DG方法2：倍長FE至H，連結(jié)CH例5：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE提示：倍長AE至F，連結(jié)DF 證明ABEFDE（SAS）進(jìn)而證明ADFADC（SAS）【融會貫通】1、在四邊形ABCD中，ABDC，E為BC邊的中點，BAE=EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G 證明AB=

20、GC、AF=GF 所以AB=AF+FC2、如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG 證明BDEGDE DCFDGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結(jié)CH、FH 證明FH=EF、CH=BE 利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，DABC中，ÐC=90°，CMAB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，過D作DE/AB交BC于E，求證：CT=BE.提示：過T作TNAB于N 證明BTNECD1如圖，ABCD，AE、DE分別平分BA

21、D各ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA2.如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BDAE于D，CEAE于E。求證：BD=DE+CE四、 由中點想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，則SABD=SACD=SABC

22、（因為ABD與ACD是等底同高的）。例1如圖2，ABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。已知ABC的面積為2，求：CDF的面積。解：因為AD是ABC的中線，所以SACD=SABC=×2=1，又因CD是ACE的中線，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中線，所以SCDF=SCDE=×1=。CDF的面積為。（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點為M，連結(jié)ME、MF，ME是BC

23、D的中位線，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而BGE=CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3圖4，已知ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而BE=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD=，故BC=2BD=2。例4如圖5，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊

24、上的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD

25、。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA，CE交于點F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中BE是等腰BCF的底邊CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等

26、中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD（中點定義）1=5（對頂角相等）ED=MD（輔助線作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180°（平角的定義）3+2=90°即：EDF=90°FDM=EDF=90°在EDF和MDF中ED=MD（輔助線作法）EDF=FDM（已證）DF=DF（公共邊）EDFMDF（SAS）EF=

27、MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）在CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長AD

28、至E，使DE=AD，連接BE，CEAD為ABC的中線（已知）BD=CD（中線定義）在ACD和EBD中BD=CD（已證）1=2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC>2AD。練習(xí)：1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點，求AD的取值范圍。BADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點，BAC=BCA，求證：AD=2AE。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，BAC=DAE=90°。求證：AMDC。DMCDEDADBD4，

29、已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。ABDCEF5已知：如圖AD為ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC 常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定

30、的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.3：如

31、圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由（二）、截長補短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2：如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC

32、+BD3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證：5:如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)一個角是另一個角的2倍時，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.如圖中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，則DBC是等腰三角形；如圖中，若ABC2C，如果延長線CB到D，使BDBA，連結(jié)AD，則ADC是等腰三角形；BCDABCDABCDA如圖中，若B

33、2ACB，如果以C為角的頂點，CA為角的一邊，在形外作ACDACB，交BA的延長線于點D，則DBC是等腰三角形.DCBA1、如圖，ABC中，ABAC，BDAC交AC于D.求證：DBCBAC.ABC2、如圖，ABC中，ACB2B，BC2AC.求證：A90°.二、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖中，若AD平分BAC，ADEC，則ACE是等腰三角形；如圖中，AD平分BAC，DEAC，則ADE是等腰三角形；如圖中，AD平分BAC，CEAB，則ACE是等腰三角形；ADCBEECBDABACDEABFCDEG如圖中，AD平

34、分BAC，EFAD，則AGE是等腰三角形.3、如圖，ABC中，ABAC，在AC上取點P，過點P作EFBC，交BA的延長線于點E，垂足為點F.求證：.AEAP.FBACPEFCDEBA4、如圖，ABC中，AD平分BAC，E、F分別在BD、AD上，且DECD，EFAC.求證：EFAB.E圖1ABCD三、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中，若AD平分BAC，ADDC，則AEC是等腰三角形.5、如圖2，已知等腰RtABC中，ABAC，BAC90°，BF平分ABC，CDBD交BF的延長線于D。求證： BF2CD.圖2BFD

35、CA四：其他方法總結(jié)1截長補短法ABCDE6、如圖，已知：正方形ABCD中，BAC的平分線交BC于E，求證：AB+BE=AC2倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。EABCDF 7、如圖（7）AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求證：AC=BFAE8、已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖,求證EF2AD。 FBCD 3平行線法（或平移法） 若題設(shè)中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt,有時可作出斜邊的中線ABCPQO9、ABC中，BAC=60°，C=40°AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q， 求證：AB+BP=BQ+AQOABCPQD圖（1）ABCP