全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題10

1、2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題10第一試（時間：8:00-9:20 滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.若實數(shù)滿足，且，則的值是 2. 已知集合，且，其中若任意，均有，則實數(shù)的最大值為 3. 復數(shù)滿足，則等于 4. 已知，其中為整數(shù)，則 5. 表示、中較小的數(shù)，不等式的解集是 .6. 在四面體ABCD中，AD平面BCD，ABD=BDC=.已知E是BD上一點，滿足CEBD且BE=AD=1.點D到平面ABC的距離為，則的值為 .7.設為拋物線上相異兩點，則的最小值為 8.電腦每秒鐘以相同的概率輸出一個數(shù)字或.則輸出的前個數(shù)字之和被整除的概率為 .二、解答題：本大

2、題共3小題，共56分.9在矩形中，為邊的中點，設、分別、是上的動點，且滿足，連接與交于點，求動點軌跡方程，并指出它的形狀。10.設數(shù)列定義為 （1）證明：當時，（2）證明： 11. 已知，對任意實數(shù)均有，求使取最小值的所有實數(shù)對.2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題10加試（時間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿分40分）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，延長線交于，延長線交于，為圓上任一點，分別交圓于，若對角線交于，求證：三點共線二、（本小題滿分40分）給定實數(shù)，個復數(shù)滿足證明： 三、（本題滿分50分）求具有下述性質(zhì)的所有整數(shù)：存在無窮多個正整數(shù)使得不整除 四、（本題滿分50分）給定整數(shù)

3、，求最小的整數(shù)，使得存在兩個由整數(shù)構(gòu)成的集合，同時滿足以下條件：（1），且；（2）對中任意兩個不同元素有：當且僅當2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題10第一試參考解答一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.若實數(shù)滿足，且，則的值是 2. 已知集合，且，其中若任意，均有，則實數(shù)的最大值為 解：令得，在上單調(diào)遞增，故，故，當時，故對任意都有成立，所以實數(shù)的最大值為3. 復數(shù)滿足，則等于 4. 已知，其中為整數(shù)，則 解：由條件知，于是，故5. 表示、中較小的數(shù)，不等式的解集是 .解:當時,當時, 故min=又min= 所以有以下四種情形:當時,原不等式為,.此時,.當時,原不等式為.此

4、時,. 當時,原不等式為此時,.當時, 原不等式為.此時,.綜上所述,滿足題意的x的取值范圍為 6. 在四面體ABCD中，AD平面BCD，ABD=BDC=.已知E是BD上一點，滿足CEBD且BE=AD=1.點D到平面ABC的距離為，則的值為 .7.設為拋物線上相異兩點，則的最小值為 解： 設，則所以當時，取最小值8.電腦每秒鐘以相同的概率輸出一個數(shù)字或.則輸出的前個數(shù)字之和被整除的概率為 .解：這n個數(shù)字共有種可能情形。設其中數(shù)字和被3整除的有種。則不被3整除的有種。對于各數(shù)字的情形，若其和被3整除，則前n個數(shù)字之和不被3整除；反之，對于前n個數(shù)字之和不被3整除的每種情形，有唯一的第個數(shù)字可使

5、前個數(shù)字之和被3整除。因此，。這表明，概率滿足遞推關系式。所以法二：若輸出的前n個數(shù)字之和被3整除的概率為，則不被3整除的概率為。要使輸出的前個數(shù)字之和被3整除，則必須使前n個數(shù)字之和不被3整除，且此時第個數(shù)字也隨之確定。所以，由條件概率的公式得，余下同法一。法三：n個數(shù)字共有種可能情形。下面計算其和被3整除的種數(shù)，這等于多項式的展開式種等項的系數(shù)之和，即。其中，為三次單位根，是其共軛復數(shù)。故。因此，所求的概率為. 二、解答題：本大題共3小題，共56分.9在矩形中，為邊的中點，設、分別、是上的動點，且滿足，連接與交于點，求動點軌跡方程，并指出它的形狀。解：以中點為原點，所在直線為軸建立平面直角

6、坐標系則設則由共線得，由共線得，（1）當在上時由得即即×得，化簡得易知此時軌跡形狀是橢圓的一部分（2）當在上時由得即即化簡得易知此時，軌跡形狀是雙曲線的一部分10.設數(shù)列定義為 （1）證明：當時，（2）證明： 11. 已知，對任意實數(shù)均有，求使取最小值的所有實數(shù)對.解：若，則不等式可化為，易知則令，則有，故或，即或，（1）當時若，則由得恒成立，這顯然不可能（2）當時若，則由得恒成立，這顯然不可能；所以（1）當時的兩根為則且，因此此時，等號當時成立（2）當時， 若，則不等式恒成立可化為，所以當或時即，令則當時即。令若則恒成立，故，對恒成立，所以，所以，此時，所以，此時，當時（*）若，則

7、因為故的兩根滿足且兩個等號不能同時成立，則當時若則與恒成立矛盾，當時若則與恒成立矛盾，因此不合題意若，則因為故的兩根滿足且兩個等號不能同時成立，則若則與恒成立矛盾，因此不合題意即且時，等號當且時成立，由可知，由得因為時也符合上述表達式，因此當時， 同理可得當時綜上，當或時取得最小值12017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題10加試參考解答（時間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿分40分）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，延長線交于，延長線交于，為圓上任一點，分別交圓于，若對角線交于，求證：三點共線二、（本小題滿分40分）給定實數(shù)，個復數(shù)滿足證明： 三、（本題滿分50分）求具有下述性質(zhì)的所有整數(shù)：存在無窮多個正整數(shù)使得不