定積分的簡單應(yīng)用求體積

1、定積分的簡單應(yīng)用(-)復(fù)習(xí)：(1)求曲邊梯形面積的方法是什么定積分的幾何意義是什么微積分基本定理是什么引入：我們前面學(xué)習(xí)了定積分的簡單應(yīng)用一一求面積。求體積問題也是定積分的一個重要應(yīng)用下面我們 介紹一些簡單旋轉(zhuǎn)幾何體體積的求法。1 簡單幾何體的體積計算問題：設(shè)由連續(xù)曲線yf(x)和直線x a xb及x軸圍成的平面圖形(如圖甲) 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，如何求V分析:Xn 把曲線yf(x)( axb)分割成n個垂直于x軸的“小長條”，如圖甲所示。設(shè)第i個“小長條”的寬是x Xixi，門,2|,n o這個“小長條”繞x軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個厚度是的小圓片，如圖乙所示。當(dāng)人很小時，第i個小

2、圓片近似于底面半徑為y f (x)的小圓柱。因此，第i個小圓臺的體積Vi近似為Vif2(x) X該幾何體的體積V等于所有小圓柱的體積和：V(為)為 f2(X2)X2l f2(Xn) Xn這個問題就是積分問題，則有：b2b2V f (x)dx f (x)dxaa歸納:設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線yf(x)和直線x a , xb及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)bo而成，貝U所得到的幾何體的體積為vf2(x)dxa2. 利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積(1) 找準(zhǔn)被旋轉(zhuǎn)的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函數(shù)(2) 分清端點(3) 確定幾何體的構(gòu)造(4) 利用定積分進行體積計算3. 一個以y軸為中心軸的旋轉(zhuǎn)體的體積b

3、 o若求繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積，則積分變量變?yōu)閥，其公式為vg2(y)dya類型一：求簡單幾何體的體積例1 :給定一個邊長為a的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，求它的體積思路：由旋轉(zhuǎn)體體積的求法知，先建立平面直角坐標(biāo)系，寫出正方形旋轉(zhuǎn)軸對邊的方程，確定積分上、下限，確定被積函數(shù)即可求出體積。解：以正方形的一個頂點為原點，兩邊所在的直線為x, y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,如圖BC : y a o則該旋轉(zhuǎn)體即為圓柱的體積為:規(guī)律方法:V 0 a2dx a2x|a0AL耳Bf (x)。確定積分上、下限求旋轉(zhuǎn)體的體積，應(yīng)先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲線函數(shù)為a,b，則體積VHf

4、2(x)dx練習(xí)1:如圖所示，給足直角邊為a的等腰直角二角形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求形成的幾何體的體積。解：形成的兒何休的休積為圓柱的休積減去一圓錐的休積。V a2|a a y2dy a3 丄 y訐a3 f 033類型二：求組合型幾何體的體積例2 ：如圖，求由拋物線y2 8x(y 0)與直線xy 6 一周所得幾何體的體積思路：解答本題可先由解析式求出交點坐標(biāo)再把組合體分開來求體積。解：解方程組y2 8x(y 0)得:y 8x與直線x y 60的交點坐標(biāo)為(2,4)所求幾何體的體積為：V : ( . 8x) 2dx26 (6 x)2dx 160及y 0所圍成的圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)112規(guī)律方法：解決組合體的

5、體積問題，尖鍵是對其構(gòu)造進行剖析，分解成幾個簡單幾何體體積的和或 差，然后，分別利用定積分求其體積練習(xí)2:求由直線y 2x，直線X 1與X軸圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：旋轉(zhuǎn)體的體積：(2x)2dx類型三：有尖體積的綜合問題：例3 :求由曲線y 2X2與y莎所圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋 轉(zhuǎn)體的體積思路：解題的尖鍵是把所求旋轉(zhuǎn)體體積看作兩個旋轉(zhuǎn)體體積之差。 畫出草圖確定被積函數(shù)的邊界確定積分上、下限用定積分表示體積求定積分解：曲線yx2與y 2x所圍成的平面圖形如圖所示：2設(shè)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為V根據(jù)圖像可以看出V等于曲線y殛，直線x 2與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一

6、 一 一 1 2周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為Vi）減去曲線yx直線X 2與X軸圍成的平面圖形繞X軸2旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為V2）V2(,2x)2dx2dx2xdx0-2x4dx4°2 1 1 2 2X Io-1X51284 5512反思:結(jié)合圖形正確地把求旋轉(zhuǎn)體體積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題是解決此類問題的一般方法。2x2以及y軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。忽略了對變量的討論而致錯練習(xí)3 :解：由誤區(qū)警示:x 122 得:9X(x 1)dx2 1例：已知曲線y x，y和直線y 0，xxa（a 0）。試用a表示該四條曲線圍成的平a的討 論。x4dx面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積 思路：掌握對定積分的幾何意義，不要忽視了對變量 y x2解：由y由示意圖可知：要對a與1的尖系進行討論：_a 2 2當(dāng) 0 a 1 時，Vo（x2）2dx 當(dāng)a 1時，V(x2)2dxdx6(0 a 1)所得旋轉(zhuǎn)體的