2013高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇三角函數(shù)、解三角形第7講 正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例教案 理

1、第7講正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例【2013年高考會(huì)這樣考】考查利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題中的角度、方向、距離及測(cè)量問題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1本講聯(lián)系生活實(shí)例，體會(huì)建模過程，掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的基本方法2加強(qiáng)解三角形及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力基礎(chǔ)梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測(cè)量距離問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等2實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖(1)(2)方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖(2)(3)

2、方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45，西偏東60等(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)一個(gè)步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角

3、形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 m C25 m D. m解析由正弦定理得，又B30AB50(m)答案A2從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為()A BC90 D180解析根據(jù)仰角與俯角的定義易知.答案B3若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60，且

4、ACBC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A北偏東15 B北偏西15C北偏東10 D北偏西10解析如圖答案B4一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速度是每小時(shí)()A5海里 B5海里C10海里 D10海里解析如圖所示，依題意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，從而CDCA10(海里)，在RtABC中，得AB5(海里)，于是這艘船的速度是10(海里/時(shí))答案C5海上有A，B，C三個(gè)小島，測(cè)得A，B兩島相距10海里，BAC60，ABC75，則B，C間的距離是_海里解析由正弦定理，知.解

5、得BC5(海里)答案5考向一測(cè)量距離問題【例1】如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在這岸定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，試求AB的長(zhǎng)審題視點(diǎn) 在BCD中，求出BC，在ABC中，求出AB.解在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.BCD30，BDC105CBD45在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)锳CB30，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點(diǎn)之間的距離為ABa. (1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角

6、，求得該數(shù)學(xué)模型的解【訓(xùn)練1】 如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75，30，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60，AC0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1 km.又BCD180606060，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.又ABC15在ABC中，所以AB(km)，同理，BD(km)故B、D的距離為 km.考向二測(cè)量高度問題【例2】如圖，山腳下有一小塔AB，在塔底B測(cè)得山頂C的仰角

7、為60，在山頂C測(cè)得塔頂A的俯角為45，已知塔高AB20 m，求山高CD.審題視點(diǎn) 過點(diǎn)C作CEDB，延長(zhǎng)BA交CE于點(diǎn)E，在AEC中建立關(guān)系解如圖，設(shè)CDx m，則AEx20 m，tan 60，BDx (m)在AEC中，x20x，解得x10(3) m故山高CD為10(3) m. (1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(畫出)示意圖，明確在哪個(gè)三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理【訓(xùn)練2】 如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB.解在BCD中，CBD，由正弦定理得，

8、所以BC在RtABC中，ABBCtanACB.考向三正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用【例3】如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求BD的長(zhǎng)審題視點(diǎn) 由于AB5，ADB45，因此要求BD，可在ABD中，由正弦定理求解，關(guān)鍵是確定BAD的正弦值在ABC中，AB5，AC9，ACB30，因此可用正弦定理求出sinABC，再依據(jù)ABC與BAD互補(bǔ)確定sinBAD即可解在ABC中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180ABC，于是sinBADsinABC.同理，在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45，由正弦定理：，

9、解得BD.故BD的長(zhǎng)為. 要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個(gè)三角形，在分割時(shí)，要注意有利于應(yīng)用正、余弦定理【訓(xùn)練3】 如圖，在ABC中，已知B45，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD10，AC14，DC6，求AB的長(zhǎng)解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.規(guī)范解答9如何運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問【問題研究】 (1)解三角形實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟是：審題建模(準(zhǔn)確地畫出圖形)求解檢驗(yàn)作答.,(2)三角形應(yīng)用題常見的類型：,實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三

10、角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形，這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問題的解；,實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理.,【解決方案】 航海、測(cè)量問題利用的就是目標(biāo)在不同時(shí)刻的位置數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離，因此解題的關(guān)鍵就是通過這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測(cè)量目標(biāo)歸入到一個(gè)可解三角形中.【示例】(本題滿分12分)如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位

11、于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里問：乙船每小時(shí)航行多少海里？ (1)分清已知條件和未知條件(待求)(2)將問題集中到一個(gè)三角形中(3)利用正、余弦定理求解解答示范 如圖，連接A1B2由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2是等邊三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，(8分)在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B210.因此，乙船的速度為6030(海里/時(shí))(12分) 利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解 【試一試】 如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的